力学竞赛辅导三-动力学普遍定理

1、力学竞赛辅导三 动力学普遍定理一、基本力学量的计算：1、质点系及刚体动量的计算质点系质心的位置矢量及坐标：例1：求图示系统的总动量。ABOvv(1)传动皮带的质量为m，主动轮的角速度为，主动轮与从动轮的质量分别为，半径分别为，设传动皮带和传动轮的质量都是均匀的。 (0)ABOvwOO1(2)长均为l，质量均为m的均质杆OA，OB在O处以光滑铰链连接。（2mv，mv）vwCA(3)质量为m1，半径为R的均质圆盘与质量为m2，长度为l的均质杆铰接于A点。图示瞬时圆盘速度为v，杆的角速度为。解： 圆盘与杆均为平面运动，以A为基点，则杆：B 2转动惯量： 定义： 质量连续分布： 计算：（1）利用回转半

2、径：其中m为整个刚体的质量，由 得 为刚体对z轴的回转半径，具有长度的量纲。（2）积分法（3）平行轴定理： （4）组合法求转动惯量：若机构由几个简单形状的刚体组成，则分别求每个刚体对轴的转动惯量，然后再叠加。（5）实验法常用： 均质圆盘对盘心轴的转动惯量:     圆环：均质细直杆对一端的转动惯量: 均质细直杆对中心轴的转动惯量: miriOyxzriyxzCvirC3、质点系动量矩的计算 下面证即质点系对质心C的动量矩： 由质心坐标公式： 即质点系对任意定点O的动量矩，等于集中于质心的系统动量对点O的动量矩与质点系对质心C的动量矩的矢量和。绝对动量对质

3、心的矩相对动量对质心的矩AOw例2：图中杆长为l，质量为m ，均质圆盘半径为R，质量为m，圆心在A点。已知杆OA以角速度w 绕O轴转动，试求如下几种情况下圆盘对定点O的动量矩： (1)圆盘固结于OA杆上。(2)圆盘绕轴A相对于杆以角速度w 转动。(3)圆盘绕轴A相对于杆以角速度-w 转动。(4)圆盘以绝对角速度w 绕A轴转动。(5)圆盘以绝对角速度-w 绕A轴转动。解：(1) 圆盘固结，则圆盘的运动为绕点O转动，角速度为。(2)圆盘绕轴A转动，相对于杆的角速度为w，则圆盘的绝对角速度等于2w， （） (3)圆盘绕轴A转动，相对于杆的角速度为-w，则圆盘的绝对角速度等于0，(4)圆盘以绝对角速度

4、w 绕A轴转动，与（1）相同。(5)圆盘以绝对角速度-w 绕A轴转动。3、质点系动能和力的功的计算(1)质点系动能(2)平动刚体的动能(3)定轴转刚体的动能(4)平面运动刚体的动能 (5)柯尼希定理 质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对于质心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。 v例3：图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1。车轮可视为均质圆盘，半径为R，两车轮间的距离为pR。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。 解：O1O22q例4：质量为m、半径为 3R 的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为m ，半径为R ，又在粗糙的

5、大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。求以下三种情况下系统的动能。(1)大圆环固定；(2)大圆环绕中心定轴转动；(3)大圆环沿粗糙水平面纯滚动。解：(1)大圆环固定。O1O22q(2)大圆环绕中心定轴转动。jvErO1O22EvO2rO1O22qj(3)大圆环沿粗糙水平面纯滚动。计算系统的动能由运动学可知：建立随质心O1平动的坐标系O1 x1 y1O1O2EvO1vO2rvO1vEr MiCFidrCdriCjbd(4)平面运动刚体上力系的功OBCFSbOBCFbFsFNM平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。例5：滚动摩阻的功：拉力F的功：注：功是

6、力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的OACBPw位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。例6：已知：轮 O 质量为 m，P，f 。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。解：取轮O为研究对象FNOCBPwFTmg主动力的功：由动能定理得：解得：，4、关于动量矩定理的应用 可以证明，对任一动点A，有对该点的动量矩定理：质点系对动点的动量矩对时间的导数以及动点速度与质点系动量的矢积之和，等于质点系的外力对动点的矩。上式表明，以一些特殊点为矩心时，动量矩定理仍具有简洁的形式。如： （1）当A为固定点时；（2）当A为系统质心时； （3）当A为速度瞬心，且到质心C 的距离保

7、持不变时。BACjmgPFNAFNBwaPCFa例7：动力学普遍定理动量定理动量矩定理动能定理动量方法能量方法二、动力学普遍定理的综合应用动力学两类问题和分析程序：先避开未知约束力，求解运动量；然后再选择合适的定理，确定动约束力。注意分析约束的性质。确定： 是一处约束还是多处约束；是理想约束还是非理想约束。对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩定理，求动约束力。例8：均质圆轮A和B的半径均为r，圆轮A和B以及物块D的重量均为W，圆BO2AO130oDWWWM轮B上作用有力偶矩为M的力偶，且3Wr/2> M>Wr/

8、2。圆轮A在斜面上作纯滚动。不计圆轮B的轴承的摩擦力。求：1、物块D的加速度；2、二圆轮之间的绳索所受拉力；3、圆轮B处的轴承约束力。解：1、确定物块的加速度:对系统整体应用动能定理。将所有运动量都表示成广义坐标 SD 的形式为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到DBO2WWFTFByFBxM当M>Wr/2，aD>0，物块向上运动.2、确定圆轮A和B之间绳索的拉力解除圆轮B轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理：根据运动学关系3、确定圆轮B轴承处的动约束力对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用质心运动定理AO30°

9、Cxjw例9：均质圆盘O放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为R，匀质细杆OA长为l，质量为m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。求：杆运动到图示位置时的角速度。解：取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为 vO。杆转动的角速度为 w。 对系统整体应用动能定理AO30°CwvCA由刚体的平面运动分析 即由系统在水平方向的动量守恒得将 vO 代入动能定理方程可解例10有一个三角柱体ABC，质量为m2，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。另一个质量为m1，半径为r的均质圆柱体，沿斜面AB向下滚动而不滑动，如图所示。若斜面倾角为=30o，试求运动过程中，（1）三角柱体的速度与圆柱体的角速度的大小之间的关系；（2）三角柱体加速度的大小；（3）圆柱体的中心O点的加速度的大小；（4）圆柱体沿斜面只滚不滑时，其与支承面之间的滑动摩擦系数f的取值范围。ABCO解：（1）由水平方向动量守恒可得 （2）由动能定理可得（3）基点法求O点加速度得 （4）由圆柱的平面运动微分方程可得 三、关于突然解除约束问题特点：(1)系统的自由度一般会增加；(2)解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，