课例抛物线的定点弦问题简案

1、课题：抛物线的定点弦问题 上海大学附届中学李昉 2021 年 11 月 26 日 一、教材分析： 抛物线,作为四种二次曲线一一圆、椭圆、双曲线、抛物线中的最后一种,教材在这一小节中简单介绍了抛物线的几何性质及一种奇特的光学性质,学生通 过对这些性质的学习,可进一步掌握抛物线的概念及其标准方程,同时也为学生进一步探究抛物线的其它性质留下了广阔的空间.抛物线的性质,除了书上介绍的之外,还有如抛物线的焦点弦问题、抛物线的定点弦问题等等,都可以作为我们教学中探究的课题.抛物线性质的探究,对丁培养学生综合应用知识的水平、培养学生良好的思维品质,培养学生勇丁探究的精神等,都具有重要的作用. 二、教学目标

2、1. 熟练掌握向量的数量积运算、直线与抛物线相交问题中的常规解题思路、 分类讨论思想与方法等 2. 学会发现问题,提出问题,综合应用知识探究、解决问题的方法；形成纵 向思考问题、逆向思考问题的意识,优化思维品质 3. 培养学生勇丁探究的精神,提升学生合作交流的水平 三、教学重点、难点： 学会发现问题,提出问题,综合应用知识探究、解决问题的思路和方法 四、教学方法及手段： 以“疑为枢纽,创设问题情景,师生互动,生生互动,引导学生共同探 究解决问题 五、教学过程： (一) .问题引入： 在平面直角坐标系 xoy 中,设直线 l 与抛物线 y22x 相交于 A,B 两点, (1)假设 l:yx3,求

3、 OAOB,(2)假设 l:y2(x3),求 OAOB (学生分两组解答问题,老师强调：联立方程组消元时方法的选择以及常规 的解题思路) (二) .问题探究： 1. 引导学生发现问题： 上述两组问题中,所给的直线方程不同,而所得结果却是一样的,考察两条直线的方程,有何共同之处？不同之处？假设直线过点(3,0),当它的斜率改为 3,k 或直线斜率不存在,其结果还是一样吗？ 2. 引导学生提出问题： 问题一：从这两组问题的解答中,你能概括出怎样的一个命题？它是真命题还是假命题？ 命题：在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y22x 相交于 A,B 两点,假设直线 l过点 T(3,0),

4、那么 OAOB3,是真命题 (学生答复,老师补充归纳) 3. 引导学生进行推广 问题二：至此,我们已经在原来问题的根底上,对直线的斜率进行了推广,一般来说,对一个问题进行推广可以从“特殊到一般、数字到字母、具体到抽象等方面考虑,那么,围绕这个命题,我们还可以进一步作怎样的探究？ 学生：在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y22x 相交于 A,B 两点,假设直线 l过点 T(t,0),那么 OAOB? (师生一起通过同上解法,得到如下结论：) 结论：在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y22x 相交于 A,B 两点,假设直线 l过点 T(t,0),当点的横坐标在 x

5、轴正向或负向且直线斜率 c1一一 C 取 k2范围时,OAOBt22t,即数量积只与点的横坐标 2t 有关而与直线的斜率无关 4 .引导学生进一步推广 问题三：至此,我们对直线的斜率、直线过的定点都作了推广,那么, 围绕这个问题,还能再作进一步的推广吗？ 学生：在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y22px(p0)相交于 A,B 点,假设直线 l 过点 T(t,0),贝 UOAOB? (师生一起通过同上解法,得到如下结论：) 结论：在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y22px(p0)相交 于 A,B 两点,假设直线 l 过点 T(t,0),当点的横坐标在 x 轴正

6、向或 负向且直线斜率取 k2卫范围时,OAOBt22pt,即数量积 2t 只与点的横坐标及抛物线焦参数有关,而与直线的斜率无关 5 .引导学生逆向思考： 问题四：刚刚我们围绕着问题一中的命题作了纵向考虑,即将特殊情况进行了推广,获得了一般的结论.同学们在平时的学习中,有时会遇到这样一类问题,即正面解决比拟困难,那么我们可以从其反面来考虑.因此围绕这个命题,我们的研究还可以作逆向的思考,你可以探究一个怎样的问题？ 学生：设直线l与抛物线y22x相交丁A,B两点,假设OAOB3,那么直线l过定点T 3,0吗？ 老师引导：设直线过定点t,0,由上述研究过程可以得出如下结论：结论：在平面直角坐标系 x

7、oy 中直线 l 与抛物线 y22x 相交于 A,B 两点, 假设 OAOB3,那么当直线 l 与抛物线的交点 A,B 位丁 x 轴两侧时, 所有直线 l 过定点3,0,当直线 l 与抛物线的交点 A,B 位于 x 轴同侧 21. 且直线 l 的斜率满足：k时,直线 l 过定点1,0t 6 .引导学生进一步探究: 问题五：既然上述结论不一定成立,那么我们可以作进一步的探究 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y22pxp0相交 uuuuuu 于 A,B 两点,右OAOBmm 为正的常数,那么直线 l 与 x 轴的交点坐标是什么？是定点吗? 师生一起通过同上解法,得到如下结论: 结

8、论：在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 过点t,0,与抛物线 y22px unnuur p0 相交于 A,B 两点,假设 OAOBm 也正的常数 ,当直线 l 与抛物线交点 A,B位丁 x 轴两侧时,所有直线过定点p77,0,当直线 l 与抛物线的交点 A,B 位于 x 轴同侧,且直线 l 斜率满足: k2壹时,直线 l 过定点pJp,0 三.小结： 这堂课,我们研究了直线与抛物线相交时的定点弦问题.对于一个问题的探究,我们的方法可以从特殊到一般,即作纵向考虑,也可以作逆向的思考.探究一个问题,要学会发现问题、提出问题,从而解决问题,这里掌握方法最重要 四.作业： 思考：关于抛物线的焦点弦问题,我们还可以作哪些方面的探究？ 五设计说明： 本节课是一节探究课,设计这样一个问题,主要是为了使学生感悟并学会发现问题,提出问题,综合应用知识探究、解决问题的思路和方法. 本节课设计的这个问题,有三个可以研究的变量,即直线的斜率、直线经过的定点以及抛物线中参变量.教学设计分两局部进行,首先我们通过上述问题一至问题三,从特殊到一般,不断引导学生对问题中的三个变量作纵向的探究；其次进一步引导学生对问题作逆向的思考,培养学生的逆向思维,优化学生的思维品质. 逆向思维是指由果索因,知本求源,从原问题的相反