2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.4 函数的应用（一） Word版含解析

1、3.4函数的应用(一)【素养目标】1了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用(数学抽象)2能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(数学建模)【学法解读】1学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系2会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题必备知识探新知基础知识知识点1一次函数模型形如ykxb的函数为_一次函数模型_，其中k0.知识点2二次函数模型(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya(x)2(a0)(3)两点式：ya(xx1)(xx2)(a0)知识点3幂

2、函数型模型(1)解析式：yaxb(a，b，为常数，a0，1)(2)单调性：其增长情况由x中的的取值而定基础自测1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m1202x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(b)a30元b45元c54元d越高越好解析设日销售利润为y元，则y(x30)(1202x)，30x60，将上式配方得y2(x45)2450，所以当x45时，日销售利润最大2a，b两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从a地到达b地，在b地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回a地(1)试把汽车与a地

3、的距离y(单位：千米)表示为时间x(单位：小时)的函数；(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离a地100千米时x的值解析(1)y(2)当y100时，60x100或15050(x)100，解得x或x.即当x或x时汽车距离a地100千米关键能力攻重难题型探究题型一一次函数模型例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多

4、少元？分析设每天从报社买进报纸的数量为x份，若使每月所获得的利润最大，则250x400，每月所赚的钱数卖报收入的总价付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x20)元；在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.525010)元；没有卖掉的(x250)10份报纸可退回报社，报社付的钱数为(x250)0.0810元注意要写清楚函数的定义域解析设每天应从报社买进x份报纸，由题意知250x400，设每月所获得的利润为y元，根据题意得：y0.5x200.525010(x250)0.08100.35x300.3x1 050，x2

5、50,400因为y0.3x1 050是定义域上的增函数，所以当x400时，ymax1201 0501 170(元)故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元归纳提升建立一次函数模型，常设为ykxb(k0)，然后用待定系数法求出k，b的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题【对点练习】 一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是(d)ay2tby120tcy2t(t0)dy120t(t0)解析因为90 min1.5 h，所以汽车的速度为1801.5120 km/h，则路程

6、y(km)与时间t(h)之间的函数解析式是y120t(t0)题型二二次函数模型例2 a，b两城相距100 km，拟在两城之间距a城x km处建一发电站给a，b两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向a城供电20亿度，每月向b城供电10亿度(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成关于x的函数；(3)发电站建在距a城多远处，能使供电总费用y最少？分析根据发电站与城市的距离不得少于10 km确定x的取值范围，然后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求得最小值

7、解析(1)x的取值范围为x|10x90(2)y0.25x2200.25(100x)2105x2(100x)2(10x90)(3)由于y5x2(100x)2x2500x25 000(x)2，则当x时，y取得最小值，ymin.故发电站建在距a城km处，能使供电总费用y最小归纳提升二次函数模型的应用根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题【对点练习】 (2019江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元市场对此商品的年需求

8、量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：r(x)5xx2(0x5)，其中x是年产量(单位：百台)(1)将利润表示为关于年产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？解析(1)依题意得，利润函数g(x)(5xx2)(0.50.25x)x24.75x0.5(0x5)(2)利润函数g(x)x24.75x0.5(0x5)，当x4.75时，g(x)有最大值故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大题型三幂函数模型例3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为

9、0.125万元和0.5万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？解析(1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)k1x(x0)，g(x)k2(x0)，结合已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20x)万元，依题意得获得收益为yf(x)g(20x)(0x20)，令t(0t2)，则x20t2，所以y(t2)23，所以当t2时，即x16时，y取得最大值，ymax3.故当投资稳

10、健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元归纳提升幂函数模型有两个：ykxn(k，n是常数)，ya(1x)n(a，n是常数)，其中ya(1x)n也常常写作yn(1p)x(n，p为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分【对点练习】 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率r与管道半径r的四次方成正比(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s.求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率r的解析式；

11、(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率(结果保留整数)解析(1)由题意，得rkr4(k是大于0的常数)(2)由r3 cm，r400 cm3/s，得k34400.所以k，流量速率的解析式为rr4.(3)因为rr4，所以当r5 cm时，r543 086(cm3/s)题型四分段函数模型例4 (2019南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为r(x)其中x是仪器的产量(单位：台)(1)将利润f(x)(单位：元)表示为产量x的函数(利润总收益总成本)；(2)当产量x为多少时，公司所获利润

12、最大？最大利润是多少？分析(1)利润收益成本，由已知分0x400和x400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值解析(1)当0x400时，f(x)400xx2100x20 000x2300x20 000；当x400时，f(x)80 000100x20 00060 000100x.所以f(x)(2)当0x400时，f(x)x2300x20 000(x300)225 000，当x300时，f(x)max25 000.当x400时，f(x)60 000100xf(400)20 0004且3x4时，y433x34(5x4)29x4；当甲、乙两户的用水量均超过4 t，即

13、3x4时，y432(5x4)4(3x4)432x8.故y(2)由于函数yf(x)在各段区间上均单调递增，所以当x0，时，yf()19.240.当x(，时，yf()3440.故x(，)令32x840，解得x1.5，所以5x7.5，甲户用水量为7.5 t，应付水费y143(7.54)426(元)；3x4.5，乙户用水量为4.5 t，应付水费y243(4.54)414(元)误区警示忽视实际问题中的定义域例5 东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多

14、，每床每夜应提高租费多少元？错解设每床每夜提高租费x(xn)次2元，则可租出(10010x)张客床，可获得利润y元，依题意有y(102x)(10010x)，即y20(x)21 125.所以当x时，ymax1 125.错因分析本题忽略了变量参数的实际意义xn.正解设每床每夜提高租费x(xn)次2元，则可租出(10010x)张客床，可获得利润y元，依题意有y(102x)(10010x)，即y20(x)21 125.因为xn，所以当x2或x3时，ymax1 120.当x2时，需租出客床80张；当x3时，需租出客床70张因为x3时的投资小于x2时的投资，所以取x3，此时2x6.即当每床每夜提高租费6元

15、时，投资少且又能获得最高租金方法点拨解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义学科素养数学建模函数模型的选择例6 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产

16、量？分析本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型解析由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为a(1,1)，b(2,1.2)，c(3,1.3)，d(4,1.37)这4个数据(1)设模拟函数为yaxb时，将b，c两点的坐标代入函数式，得，解得.所以有关系式y0.1x1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的(2)设模拟函数为yax2bxc时，将a，b，c三点的坐标代入函数式，得，解得.所以有关系式y0.05x20.35x0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二

17、次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x3.5)，不合实际(3)设模拟函数为yabxc时，将a，b，c三点的坐标代入函数式，得由，得ab1c，代入，得 ，则，解得.则a0.8.所以有关系式y0.80.5x1.4.结论为：当把x4代入得y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势因此选用指

18、数函数y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际归纳提升本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际课堂检测固双基1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y6x30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(d)a2 000套b3 000套c4 000套d5 000套解析设利润z12x(6x30 000)，所以z6x30 000，由z0，解得x5 000，故至少日生产文具盒5 000套2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的