线代基本复习题

1、2010年度第二学期线性代数期末考试安排预计考试时间：2011年5月7日考场班级课室容量期末答疑安排答疑时间：2011.04.27答疑地点：平时上课的课若干公式|A*|=|A|n-1, A*A=| A|l , |AT|=|A|, |A|=|A|,(A)的特征值()ab、1(d-b A2d丿ad bea丿基本问题Ch1计算行列式,求逆矩阵Ch2判断线性相关性,求秩,求最大无关组Ch2解线性方程组(齐次的和非齐次的)Ch3求矩阵(方阵)特征值和特征向量Ch3矩阵的对角化Ch4向量组的正交化Ch4二次型的正交标准化Ch4二次型正定性的判断1.12( P35)计算下列行列式Ch1计算行列式xyx +y

2、1七七2(x+y)2(x +y)2(x +y)yx +yx=yx +yx= 2(x+yx +yxyx +yxy111yx亠yr2 M3 r -y r12(x+y )01x-yx-xy =2(x +y )1x-yxy-x=2 x y 1 x2 xy y2 = 2 x3 y3 .求逆矩阵1.7 (P34)利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵1 2 2(1) 2 1 -2'2 -2 112210013 -22?221001210100-3-2102-21001 一0-330-13 -2'1 _22一2329119932 .231 23_1三、Ch2判断线性相关性2.1( P63)讨论下列

3、向量组的线性相关性(3) a =(1, 2,-1,2),(%2=(3 ,1,0,1), a=(2, -1, 3,2),久4=(1, 0 ,3,1)fl321 )<035-2匚103TTTT2-1韵01卡0-15-60-15-6(a , a, a , %4 )=ST03-34-103035-22半3<212-1丿23-1丿<023-1丿-103(-103r3卡E0-15-60-10-1、Tr4 H2r20020-20001-1013二3<0000丿四、Ch2求秩,求最大无关组'2-1033 _32503122*2-10312-12T0j-105-212 1223张

4、,31-15 12,0000 ,、J0-521丿、J,R=2补充：最大无关组有a1, a2五、Ch2解线性方程组(齐次的)2.2(P63)求下列矩阵的秩2韵03、(3)122315 ,VJ2.3求解下列齐次线性方程组lx12x2 -x3 2x4 =0(1)Xi 1X2 2x - X4 02片、x2 亠x3 亠x4 =0(1)对方程组的系数矩阵作行初等变换q2-122占12T23七101、01T2T>3-210-33-3>11 二201-11111丿<0£3£丿00°得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF).对

5、应的同解方程组为xixs= 0X2 - X3 X4 = 0 '方程组的解为x 二广0、1+k2-110011 J1 J六、Ch2解线性方程组(非齐次的)2.5求下列非齐次线性方程组的通解2x _x2 亠2x3 _x4 =1（1） * 亠 2x2 -x3 亠2x4 =2x1 x2 x3 x4 =3对方程组的增广矩阵作行初等变换,将之化为简化行阶梯形'2-12_1! 1、z00七-5、q11131_ p>-2卡13'232-12 20303; 503035T11 11 i 3?I111113,000°10043530立刻得到方程组的解J f0 30-15+k

6、2+1 03l0丿l1丿0k,k2 ?x =匕七、Ch3求特征值和特征向量3.1 (P80)求下列矩阵的特征值和特征向量1 111 1（3）1 1-1-11 T1-11-1-11九-1-1-1-1几 +200011001七七七小31 1 0 0=（人 _2）10 101 0 1 01 0 0 11 0 0 1='一2=（扎_ 2,（扎+ 2）(3)解特征方程人一1T-1T九一1-1-1-1八:1九一1112 j13十乙-2扎一200Z-21丸114七丸200T11九一1人一200&一2I得特征值-2, 2, 2,2 .-1'1 ,z0000、0H七卡卡 1T100010

7、101,1001010-11 -A =可见特征向量为(1、*=K-1k1-1rbk1x =0对于特征值-2,2,2 , I1 _1“q _1-1-1 ”-11110 0 0 0T-11110 0 0 01 1 1 1 ,0 0 0 0A =可见特征向量为八、Ch3矩阵的对角化3.10将下列矩阵对角化1并求P ,使P -AP二A（ A为对角阵）460(1) A = -3-5 0解特征方程人4-60rfr扎一4-60n-60?J -A =3&+50入1n20=(丸1 )11036Z1九一1011012-，-1 id 亠 2得特征值- -2'-6-60 _1'10 11对于入

8、=-2 , Zj A =3300 1-1，得特征向量匕1（匕式0）.选a =1i36 弋0 0 0 一J1I11-3 弋 0-1 2 0】£0：对于打=免=1, ?J - A =360 |->0 0 0，得特征向量k2-1+ k30i.360_j '0 0 0 一（k2, k3不全为0）.选a2 =_1J2令 P =( a , a2,_1,则有P丄AP = A =九、Ch4向量组的正交化4.5 (P107)设 a = 1,2, -1 T , a -丨1,3,1 T , a-4, -1,o r,试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.正交化:单位化:6, 6 11<

9、;4、<1、sJ2-51 62 -121=20632丿Il1丿l1丿21-1；十、Ch4二次型的正交标准化45J：3l1丿62-1；31I14.20 ( P108)用正交变换化下列二次型为标准形2 2 2 f =3x-,x2x3 一6x,x2 -6x<,x3 -2x2x33二次型f的矩阵为A=i.解特征方程I -A -333-=0,得A的特征值'3= 6 .z_6:-1对于特征值=-3, . I - A =-1,取特征向量I3-1-4I00I1(0 13.取特征向量(%2 =对于特征值2对于特征值'3=6, I _A =-1.取特征向量a =a, a, a是正交的.

10、令13131则P是正交的.作正交变换x =Py ,则给出的二次型化为标准形f 二 -3%2 2y22 - 6ys2. a帥|订|训丿2 611Ch4二次型正定性的判断4.23判别下列二次型的正定性：2 2 2(1) f =-2x, -6x2 -4x32x1x2 2x,x32222(2) f =X!3x2 9X3 19X4 -2X1X2 4x3 2x4 -6X2X4-12X3X4(1)二次型的矩阵 A =| 1-611的各阶主子式依次为-21-211 =-2 £0, A =11 >0, =1-601-610-40-38 ：: 0 .故二次型是负定的.(2)二次型的矩阵A =-6的

11、各阶主子式依次为<1-619=2 0,=60, A = A0.故二次型是正定的若干联系向量组 A = 內，a211|, a构成矩阵 A =( a , a2 I , an )x?线性组合 Xi a +x? a? +川+人 an =(%, aJII, a )=Axa丿向量b能由向量组 A线性表示:二Ax =b有解二R A, b = R A向量组A线性相关:二Ax =b有非零解:二R A : n ( n =向量个数=未知数个数) 基础解系含n -r个解向量.部分定理定理2.1若a, azlll, am线性无关，而a, a?!, am, B线性相关.则B可以由ai, a?, a线性表示.定理2.

12、2 a, al丨I, am (m _ 2)线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理2.3线性相关的向量组添加向量后仍线性相关；线性无关的向量组的子向量组必线性无关；线性无关的向量组中的每个向量扩大同样的维数，得到的新向量组仍然线性无关。定理2.4 m个行向量线性相关的充要条件是R(A)：m定理2.5 矩阵A的秩等于r的充要条件是 A中有r个行向量线性无关，但任意 叶1个行向量(如果 存在)都线性相关。定理2.8设有向量组T,如果(1) 在T中有匚个向量a, a?Ill, a线性无关。(2) T中任意一个向量 a都可以由向量组 a, a?l|l, a线性表示。则a, a 1丨

13、1, a是向量组T的一个最大无关组。引理2.1设向量组3|,協,111,也可由向量组a ,a2,1丨I, ar线性表示.如果S A r，则3,俵,111,也线性相关.定理2.9齐次线性方程组（2.11）,当其系数矩阵的秩 R（ A）二n时，只有唯一的零解；当R（A） ： n 时，有无穷多个解。定理2.11非齐次线性方程组（2.17）有解的充要条件是，他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。定理2.12 设a, a2|, a丄是齐次线性方程组（2.11）的一个基础解系， a是相应的非齐次线性方程 组（2.17）的一个特解，则（2.17 ）通解为：x = a +& a +k2 a2 +kn丄a

14、丄,其中匕*2,，k n丄w 基础解系含有n-r个解向量。定理3.1 n阶方阵A与它的转置矩阵 At有相同的特征值。定理3.2设n阶方阵A有互不相同的特征值，2,，m，（入E -A） x = 0的基础解系为41,-：訂2,-：%(； - 1,2, m) ° 则1112,5 ； ： 21 22,：'2r2 ；m1,m2,兄线性无关。定理3.3设n阶方阵A = （ a j ）的特征值为入1 , N,，办，则有(4.9)(1 )入 1+?2+ + An=a11+322+ +ann(4.10)定理3.4 设A为n阶方阵，（A） = aoI +瞄+ 3m Am，若入为A的特征值，则：（

15、入）=ao + 入+ am f是;：（A）的特征值。定理3.5 若n阶方阵A与B相似，则它们具有相同的特征多项式和特征值。定理3.6 n阶矩阵A与n阶对角阵相似的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量。P73定理3.6 n阶矩阵A与n阶对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量P74定理3.6推论3.2若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角阵相似P73性质3.2若n阶方阵A与B相似，则 A = B , （2） tr A = tr B .定理3.7 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个ni重特征值 i对应着ni个线性无关的特征向量（证明略）。定理4.1 对任意n维

16、向量X和y，恒有I X, y 11 < X y定理4.2 若n维向量组：-12 ： r是正交向量组，则1,2,，： r线性无关。定理4.3禹，忙Pm 1设n维向量组:1，2,，m线性无关，令则得到的，'-2/"，是正交向量组，且与:-K- 2；"<- m等价。上述定理4.3从线性无关组0（ 1心2,5导出正交向量组 艮,氏，艮的过程称为施密特（Schmidt） 正交化过程。它不仅满足与-H2,，、£m等价，还满足:对任何k（1 _ k _ m），向量组 1丄，：2，I'k 与 1 1,2,，k 等价。定理4.4（ 1）方阵A是正交矩阵充

17、分必要条件为A的列向量组是标准正交向量组。（2）方阵A是正交矩阵的充分必要条件为A的行向量组是标准正交向量组。定理4.5正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。定理4.6实对称矩阵的特征值为实数。定理4.7设入、沁是对称矩阵A的两个特征值，P1、P2是对应的特征向量。若刀工入则P1与P2正交。定理4.8若A是实对称矩阵A的k重特征值，则存在k个属于入的线性无关的特征向量（证明略）-1.P AP= 一 =Di,:.2'n其中汕衣，n入是A的特征值。定理4.10任给可逆矩阵 c,令B=CTAC，如果 A为对称矩阵，则 B亦为对称矩阵,R(B)=R(A)定理4.11任给二次型f(x)=xTAx，总有正交变换x=Py,使f化为标准形2 2 2f=好“ + 矽2 + + yn其中'1, ' 2,n为A的所有特征值。了解二次型f =xTAx可通过可逆线性变换 x =Py化为标准形f=ciyi2 2 2+C2y2 + +cryr且 r=R(A)(Ci工o,i=i,2，,r; r称为f的惯性指标)(称(Sylvester定理)二次型 仁X A x通过可逆线性变换化成标准形后，系数为正的平方项的个数为二次型f或矩阵A的惯性指标)不变。定理4.12实二次型f= xTAx为正定的的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。定理