立体几何证明垂直专项含练习题及答案

1、立体几何证明垂直一. 复习引入1空间两条直线的位置关系有：三种。2. （公理4）平行于同一条直线的两条直线互相.3. 直线与平面的位置关系有三种。4. 直线与平面平行判定定理:如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5. 直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线 的平面和这个平面相交，那么.6. 两个平面的位置关系.7. 判定定理1：如果一个平面内有直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行.8. 线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面.9. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的平行10. 如果两个平面平行，那么其中一个平

2、面内的所有直线都于另一个平面二. 知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义判定语言描述如果直线1和平面a内的任 意一条直线都垂直，我们就 说直线1与平面庄互相垂直， 记作1丄a一条直线与一个平面内的两 条相父直线都垂直，则这条直 线与该平面垂直.图形f吕丨/条件b为平面a内的任一直线, 一直线总有丨丄a而丨对这I 丄 m , I 丄 n , m A n = B, mu a , nu a结论I丄aI丄a要点诠释：定义中“平面 二内的任意一条直线”就是指“平面 二内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直；线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述条直线垂直于个平面，那么

3、这条直线垂直于这个平面内的所有直线垂直于同一个平面的两条直线平行图形14条件1丄G懦匸/丄化曲丄既：结论丿丄耕Iflm知识点三、二面角I.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角:-AB - . （简记 P AB - Q ）二面角的平面角的三个特征:i .点在棱上ii .线在面内iii.与棱垂直.二面角的平面角：在二面角:-丨-1的棱I上任取一点O，以点O为垂足，在半 平面 内分别作垂直于棱丨的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 AOB叫做二 面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围:0° 心:：

4、:1800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所 成的二面角是直二面角，就 说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形PI m匹/k;/结果aAp af=90° af/丄 抚J ua丄戸(垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼)常用证明垂直的方法而证明线线垂直一般立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直, 有以下的一些方法：(1) 通过“平移”。(2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。(3) 利用勾股定理。(4) 利用直径所对的圆周角是直角/ 12(1) 通过“平移”，根据若a

5、/ lb,且b丄平面a,则a丄平面a1.在四棱锥中，为正三角形，丄平面，/, 求证：丄平面.丄，E为PD中点.2DAECP2.如图，四棱锥P的底面是正方形，丄底面，/ 45。，点E为棱的中点.求证：平面丄平面；P(第 2题(2 )利用等腰三角形底边上的中线的性质3、在三棱锥 PABC 中，AC=BC=2 , . ACB =90 ,(I)求证：PC _ AB ；PP(3)利用勾股定理4.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA_CD,PA = 1,PD “2. 求证:PA _平面ABCD ；(4 )利用直径所对的圆周角是直角5、如图，是圆0的直径，C是圆周上一点，丄平面(1)求证：

6、平面丄平面；课堂及课后练习题：1.判断下列命题是否正确，对的打“V” ，错误的打“X”。(1) 垂直于同一直线的两个平面互相平行()(2) 垂直于同一平面的两条直线互相平行()(3) 条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直()2.已知直线和平面，且a _ b, a _ ：,则b与的位置关系是3.女口图所示，在四棱锥P ABCD中，AB _平面PAD , AB/CD , PD二AD , E是PB的中点，1F是CD上的点，且DF =-AB , PH为-PAD中AD边上的高。(1)证明：PH _平面ABCD ;590 o4.如图所示，四棱锥一底面是直角梯形BA_AD, CD_AD

7、, CD = 2AB, PA _底面,E为的中点，=。 证明:BE _平面PDC ；5.如图，在三棱锥P-ABC中，/ PAB是等边三角形，证明：丄6.如图，四面体中，O E分别是、的中点，CA =CB =CD =BD =2, AB =AD 二,2.(1) 求证：AO _平面；(2) 求异面直线与所成角的大小;C7.如图，四棱锥S-ABCD中，AB_BC , BC CD，侧面SAB为 等边三角形，AB 二 BC =2，CD =SD =1 .(I)证明：SD_平面SAB；8.如图，在圆锥点.证明：平面P0中，已知P0 = 4 , o 0的直径AB=2是狐的中点，D为AC的中POD _ 平面 PA

8、C ；P课堂及课后练习题答案:(1) V (2) V(3)v2. b :或者 b 二3.证明：因为PH为PAD中AD边上的高，所以PH _ AD，又因为AB _平面PAD，所以AB_PH， AB" AD=A，所以 PH _ 平面 ABCD3. 分析：取的中点F,易证，易证丄平面，从而BE_平面PDC.5.证明：因为 PAB是等边三角形， PAC=/PBC=90 ,所以 Rt. PBC 二 Rt PAC ,可得 AC 二 BC。如图，取AB中点D，连结PD , CD ,贝U PD _ AB, CD _ AB,所以AB _平面PDC ,所以AB _ PC。6. (1)证明：连结BO 二 DO, AB 二 AD, AO _ BD.：BO =DO, BC =CD, CO _ BD.在 AOC中，由已知可得 AO = 1,CO二、3.而 AC =2,AO2 CO2 = AC2,AOC -90o,即 AO _ OC.TBD|OC =O, AO _ 平面 BCD7.(I )