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1、填空题(每空2分,共20分)1 .设随机变量X服从参数为舄的泊松分布,那么 X的特征函数为空了.2.设随机过程 X(t)=Acos(.t+),-8<t<8 其中缶为正常数,A和是相互独立的随机变量, 且A和中服从在区间10,1上的均匀分布,贝U X(t)的数学期望为1(sin(切t+1)-sincot). .1 ,3. 强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为一的同一指数分布.X4. 设Wn,n芝1是与泊松过程X(t),t >0)对应的一个等待时间序列,那么Wn服从二分布.5. 袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回,对每一个确

2、定的t -如果t时取得红球对应随机变量X(t) =. 3、'曰,贝u 这个随机过程的状态空间1 22甘,3t,|;e,e2H|6 .设马氏链的一步转移概率矩阵P=(Pij) , n步转移矩阵P(n) =(pjn),二者之间的关系为P(n) = Pn.7. 设kn,n20为马氏链,状态空间I ,初始概率Pi=P(X°=i),绝对概率Pj(n) =P?Xn = j,n步转移概率pjn),三者之间的关系为 Pj(n) =£ Pi p(n).i i8. 在马氏链Xn,n 芝 0中,记=pXv 孝 j,1 v 壬 n-1,Xn = jX0 = i,n 占1,QOfijf iJ

3、(n),假设f ii < 1,称状态i为非常返的.n=19. 非周期的乱京返状杰祢为遍历杰.O010. 状态i常返的充要条件为Z P?)=.n=0二. 证实题(每题 6分,共24分)1.设A,B,C为三个随机事件,证实条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B|A)P(C AB).证实：左边=PABCL = P(ABC) P(AB)A )=右边P(A)P(AB) P(A)2.设X(t),tX是独立增量过程,且X(0)=0,证实X(t),t*是一个马尔科夫过程.证实：当 0 <ti <t2 <| <tn <t 时,P(X(t) £ x X(t1)=X

4、1 ,X(t 2)=X2, |HX(t n)=Xn)=P(X(t)-X(t n)以-Xn X(ti)-X(0)=Xi,X(t2)-X(0)=X2,|HX(tn)-X(0)=X n)=P(X(t)-X(t n)纹-Xn),又由于 P(X(t) MX|X(tn)=Xn)= P(X( t)-X(t n X-xJ X(t n)=Xn )=P(X(t)-X(t n)软-Xn),故 P(X(t) <XX(ti)=Xi,X(t2)=X2,"|X(tn)=Xn) = P(X(t) MXX(tn)=Xn)3. 设Xn,n 20为马尔科夫链,状态空间为I ,那么对任意整数nN0,1<l<

5、;n和i,jI, n步转移概率p(jn) =,p(k)pkn-l),称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,证实并说明其意义.k z证实：pjn) =PX(n)=j X(0)=i ； = P X(n)=j, UX(l)=k |X(0)=i =、PX(n)=j,X(l)=k X(0)=i / k:曰3=£ PX(l)=k X(0)=i lPX(n)=j X(l)=k,X(0)=i =Z pPp",其意义为 n 步转移概率可以 k三I用较低步数的转移概率来表示.4. 设N(t),t芝0是强度为的泊松过程,Yk,k=1,2,| 是一列独立同分布随机变量,且与(N(t),t 芝0独立,令

6、 X(t)= £Yk,t 占0,证实：假设 E(Y123),那么 EfX(t)=睛£丫.k=1证实：由条件期望的性质 EtX(t) 】=E?EX(t) N(t),而E*(DN() n=E= 丫印 n =E E Yi N(t)_ i=1=n = E|Z Y=nE(Y1),所以 E 仪(t)】=%tEY.J . i=1-!三. 计算题(每题10分,共50分)cos t H11.抛掷一枚硬币的试验, 定义一随机过程：X(t)= h T , t在(-V+B),设PH=PD=-求(1) X(t),t W叫危)的样本函数集合；(2) 一维分布函数F(x;0),F(x;1)解：(1)样本

7、函数集合为cOSnt,t ,t元(-8, + %)；, r1(2)当 t=0 时,PX(0)=0 = PX(0)=1 =,20】x<-1,一 . 1 .故 F(x;0)= 0 x<1 ;同理 F(x;1)= 一一1 x<1_10 八x<0一 1"1I2 x2.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过 3人的概率.解：设N(t),t芝0是顾客到达数的泊松过程,舄=2,故 P?N(2)=k =e-4,那么 k!3271P1N(2) _3- P1N(2)=0 :+P 1N(2)=1 ：+P1N(2)=2 ：+P 1N(2)=3,e4

8、 4e 4 8e4 e4 ： 333.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为a,而今天无雨明天有雨的概率为 P ;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1.设-4e« =0.7, E =0.4 ,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.解：由题设条件,得一步转移概率矩阵为D_ >00P01LP7 0.31 P _>10Pn 一：0.40.6_0.61 0.39P(2) =PP=I,四步转移概率矩阵为0.52 0.48 0.5749 0.4251 “工牛鼻人P(4)= P(2)P(2) = |,从而得到今0.5668 0.4332天有雨

9、且第四天仍有雨的概率为P(? =0.5749.4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻处于1,2,3 是等可能的.写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性,假设有,求出极限分布.010,一一111解：一步转移概率矩阵 P= 111|333_°1°_P(2) = P2±.13317亏9土_±9由p(2)>顷口,此链有遍历性；设极限分布兀=(兀1,兀2,兀3 ),二1=3 二2方程组-3 =3二2二1 .二2 .二3 =1- J O 0 14 1 0 0 14 0 12 12 14 0 12 12 14 05. 设有四个状态I=0,1,2,3的马氏链,它的一步转移概率矩阵P=(1)画出状态转移图；(2 )对状态进行分类；(3)对状态空间I进行分解.解：(1)图略；(2) P33=1,而P30, P31, P32均为零,所以状态3构成一个闭集,它是吸收态,记 C1=3； 0, 1两个状态互通,且它们不能到达其它状态,