完整版线性代数试题及答案

1、线性代数习题和答案第一局部选择题共28分311312=m,3133113 213223233211.设行列式=n,那么行列式an a12 -313a213 22 323B. - (m+n)D. m- n、单项选择题本大题共 14小题,每题2分,共28分在每题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分.A. m+nC. n- m13001200B.00100120011003/JA.C.*3.设矩阵,Z3-1210-1V-214,A *是A的伴随矩阵,贝U AA=中位于1 , 2的元素是0002003/2.设矩阵A=,那么A-1等于B. 6D. -2

2、)A. -6C. 24.设A是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC,贝U必有A. A = 0B. BC 时 A=0C. A #0 时 B=CD. | A| #0 时 B=C5. 3X4矩阵A的行向量组线性无关,那么秩 AT等于A. 1B. 2C. 3D.46. 设两个向量组a 1, a 2,as和6 1, 3 2,3 s均线性相关,那么s=0 =0 =0.+A. 有不全为0的数入1,入2,入s使入1 a 1+入2 a 2+ +入s a s=0和入1 6 1+入2 3 2+入s.B. 有不全为0的数入1,入2,入s使入1a 1+6 1+入2 a 2+ 3 2+入sa s+.sC. 有不全为0的数入1

3、,入2,入s使入1 a 1- 3 1+入2a 2- 3 2+入sa s- 3 sD. 有不全为0的数入1,入2,入s和不全为0的数H 1,号,H s使入1a 1+入2a 2+入 s a s=0 和1 3 1+2 3 2+ + 1 s.s=07. 设矩阵A的秩为r,那么A中A.所有r- 1阶子式都不为0B.所有r- 1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08. 设Ax=b是一非齐次线性方程组,Y 1,门2是其任意2个解,那么以下结论错误的选项是A. Y 1+ Y 2 是 Ax=0 的一个解C.门1-门2是Ax=0的一个解9. 设n阶方阵A不可逆,那么必有(A.秩(A)

4、3)阶方阵,以下陈述中正确的选项是()A. 如存在数入和向量a使A a =入a,贝U a是A的属于特征值 入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a ,使(入E- A) a =0,那么入是A的特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值,妇,a 2, a 3依次是A的属于入,入2,入3的特征向量,贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关11. 设入0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于入的线性无关的特征向量的个数为k,贝U必有()B. k3C. k=312. 设A是正交矩阵,那么以下结论错误的选项是(A.| A|2 必为 1-1 T

5、C. A = A13. 设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,A. A与B相似)B.| A必为1D. A的行(列)向量组是正交单位向量组B=C TAC .那么()B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同46.1 12 00 2/14. 以下矩阵中是正定矩阵的为(i2 3A. |2 3 (9 4；100*C. 0 2-30 -3 5 /第二局部非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题,每题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内.错填或不填均无分.11115. 3 56=.9 25 36、n 1 t 1 r123 r m16. 设 A =, B =L那

6、么 A+2 B=.地 1 -V1 -2 4J17. 设 A =(aij)3 * 3 , |A|=2 , Aj表示|A |中元素 的代数余子式(i,j=1,2,3 ),那么 (a11A21+a12A22+a13A23) +(a21A21 +a22A22+a23A 23) +(a31A 21+a32A22+a33A23) =18. 设向量(2, -3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关,贝U a=19. 设A是3X 4矩阵,其秩为3,假设门1,门2为非齐次线性方程组 Ax=b的2个不同的解,那么它 的通解为.20. 设A是m x n矩阵,A的秩为r(n),那么齐次线性方程组 Ax=0的一个根

7、底解系中含有解的个 数为.21. 设向量a、3的长度依次为 2和3,那么向量a +.与a - 3的内积(a +.,a -.)=22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,A有2个特征值-1和4,那么另一特征值为气 10 6、?2、23.设矩阵 A =1 是它的一个特征向量,那么为.24.设实二次型 f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为 4,a所对应的特征值正惯性指数为3,那么其标准形为 6分,共42分)12025.设 A=340,B=231-5126.试计算行列式201-542327.设矩阵A =11023)2-13133 -14 02-4-1.求(1) ABT； (2) |4A|.,求矩阵B使

8、其满足矩阵方程AB =A+2 B.、计算题(本大题共7小题,每题试判断a 4是否为3；a 1, a 2,4 )a 3的线性组,口 ,9；假设是,那么求出组合系数.q _2 -1-2 4229.设矩阵A = 2-10333求：(1)秩(A);(2) A的列向量组的-,02 2 0 2*6 -6 .2 33 4j个最大线性无关组.30.设矩阵A= -227 44的全部特征值为1, 1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵aa也4=D,使 T-1AT=D.28.给定向量组a 1=0 210-32-1431.试用配方法化以下二次型为标准形f(x 1 ,X2 ,X3)= x 2 +2x2 3x3 +4X1X2

9、4X1X3 4X2X3 ,并写出所用的满秩线性变换.四、证实题(本大题共 2小题,每题5分,共10分)32. 设方阵A满足A3=0,试证实E- A可逆,且(E- A) - 1= E+A+A21,33. 设门0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解,弋1,弋2是其导出组 Ax=0的一个根底解系. 试证实(1)门 1=门 0+ E 1,门 2= y 0+ E 2 均是 Ax=b 的解；(2 ) Y 0, Y 1 , Y 2 线性无关.答案：一、单项选择题(本大题共14小题,每题2分,共28分)1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C11.A12.B二、填空题本大题共15. 6电 3 7*8.A9

10、.A13.D14.C10空,每空2分,共20分)10.B16.17. 418.19.20.21.22.2-Y 1 , c为任意常数-10Y 1+C(门 2- Y 1)(或 Y 2+C( Yn- r-5t223. 1222224. z1 z2 z3 _z4三、计算题(本大题共(1(1) ABT=25.解7小题,Z86181064 j1-4T23所以B=(A- 2E)-1A=1-5T1 10L64 /1-123?AB =A +2 B 即(A- 2 E)B= A,而一 J /27.解=2-9-6L-2 129 Jz-2130%t-5 32、10-1Jh1 D 0 102240 11234-1 9 J

11、0 13 -1 12 ；f 3-628.解一1035、q 0 3 5、0 11201120 08800110 0 14-14 Je 0 0 0.)1 0 0 20 10 10 0 11, 0 0 0.)1+ a 2+ a 3,组合系数为 解二 考虑 a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x 1 x 2 3x 3 = 0 X1 -3x2 =1 2x2 +2x3 =4所以a 4=2 a2, 1, 1).x1 +4x2 -x3 =9.方程组有唯一解(2, 1, 1)29.解对矩阵A施行初等行变换T,组合系数为(2, 1, 1).A1-2-102 0006-20328-20963-2J-

12、2-102 328006-200-217 JA:=3,所以秩10010-2312082、27A)=0秩00(B)0 0 =3.30-10 J=B.1秩B2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B的列向量组的一个最大线性无关组,故A个最大线性无关组.B是阶梯形,B的第1、2、4列是 的第1、2、4列是A的列向量组的一30.解 A的属于特征值入=1A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是的2个线性无关的特征向量为1= (2, - 1, 0) T,E2= (2,0, 1) T.,25/52J5/15经正交标准化,得 Y 1 =T5/5,U 2=糖/15顶/3 J入=-8的一个特征向量为

13、1/3、3=2,经单位化得门3=2/32/32V5/5 所求正交矩阵为T = -75/501 00 对角矩阵 D = 0 10 .0 0 -8 /2.15/154,5/15,5/31/32/3-2/3,25 / 5 2 岳/15(也可取T =0书/35/5 -4V5/151/32/3 .)-2/3,31.解 f(X1 , X2, X3)=(X1+2X2- 2x3)2- 2X22+4X2X3- 7X32=(X1+2X2- 2X3)2- 2 ( X2-X3)2- 5X32.y1 =X1 +2X2 -2X3设寸2 = X2 X3,J3 =X3*-2因其系数矩阵C= 0 100X1 =y1 -2y2即、X2 = y2 +y3,X3 =y30*1可逆,故此线性变换满秩.1经此变换即得f(X 1, X2, X3)的标准形y1 - 2y2 - 5y3 .四、证实题(本大题共 2小题,每题5分,共10分)32.证 由于(E- A) (E+A +A2) =E- A3=E ,所以E- A可逆,且(E- A) -1= E+A+A2 .33.证 由假设 A y 0= b, AE 1=0, A 弋 2=0.(1) A r 1=A (门 0