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文档简介
1、圆的参数方程x=2t,0 = 2t解把点Mi(0, 1)的坐标代入参数方程y_3t2_1得_ = 3t2_ 1,. t =将点b -3,3的坐标代入x= 2cos 0y= 3sin 0x= 2cos 01.曲线 C的参数方程为,(.为参数,0W.2兀判断点 A(2, 0),y=3sin 0B2是否在曲线C上假设在曲线上,求出点对应的参数的值.x= 2cos 0 cos 0= 1,解:将点A(2, 0)的坐标代入,得y= 3sin 0 sin 0= 0.由于0W长2兀,解得0= 0,所以点A(2, 0)在曲线C上,对应0= 0.一 /3 = 2cos 0,3 一 .-=3sin 0,2 cos
2、0=,即1sin 0=.由于0W长2兀,解得仁竺6所以点B -73, 2在曲线C上,对应仁智. x = 2t.、,八、“,.2.曲线C的参数方程是 9, (t为参数).y=3t2 1判断点Mi(0, 1)和M2(4, 10)与曲线C的位置关系;(2)点M(2, a)在曲线C上,求a的值.思路点拨(1)将点的坐标代入参数方程,判断参数是否存在.(2)将点的坐标代入参数方程,解方程组.0.即点Mi(0, 1)在曲线C上.一一 一 .x= 2t,1 4 = 2t、一 一把点M2(4, 10)的坐标代入参数方程.得 9,万程组无解.y=3t2T,10=3t2-1即点M2(4, 10)不在曲线C上.(2
3、)二点M(2, a)在曲线C上,2 = 2t, a= 3t2 1.t= 1, a=3X121 = 2.即a的值为2.x = t2 + 13.曲线C的参数方程为,(t为参数).y=2t判断点A(1, 0), B(5, 4), E(3, 2)与曲线C的位置关系;假设点F(10, a)在曲线C上,求实数a的值.解:把点A(1, 0)的坐标代入方程组,解得t=0,所以点A(1, 0)在曲线上.把点B(5, 4)的坐标代入方程组,解得t=2,所以点B(5, 4)也在曲线上.,一入口,3=t2+1,广 t=啦,把点E(3, 2)的坐标代入方程组,得到即2=2t,t=1.故t不存在,所以点 E不在曲线上.令
4、10=t2+1,解得t=七,故a=2t=%.x = t、,/,.,一、,.一一 一4.(1)曲线C:, (t为参数)与y轴的父点坐标是 .y = t 2解析:令x=0,即t=0得y=2, .曲线C与y轴交点坐标是(0, 2).答案:(0, -2) . x = t+ 1、,八、“,.一2在直角坐标系xOy中,曲线Ci :.为参数与曲线 C2:x= asin 0 .,.为参数,a0有一个公共点在x轴,那么a =.y= 3cos 0一 ,-_1.13斛析:由 y=0 知 12t=0, t = 2,所以 x= t+1 = +1=2.令 3cos 0= 0,那么 0= + k 兀 KC Z, sin 0
5、= 1,一一 .3一一. 3所以2=母又a0,所以a = 3.3答案:2x = 1 + 2t5.某条曲线 C的参数方程为2 ,其中t为参数,aCR.点M5, 4在该y= at曲线上,那么常数a=.解析:二.点M5, 4在曲线C上,5=1 + 2t t=2, ,解得 ,a的值为1.4 = at2a= 1.答案:18.圆x+22+y32=16的参数方程为,.为参数99,.为参数.为参数9 ,一,.为参数x= 2 + 4cos 0 A.y= 3+4sinx= 2+ 4cos B.y= 3+4sin 0x= 2 4cos 0C.,y= 3 4sin 0x= 2 4cos D.y= 3 4sin 0x=
6、 a+ rcos 0解析:选B. ,圆(xa)2+(yb)2=r2的参数万程为,(.为参数)y= b+ rsin 0一 x=- 2+4cos 0圆x+ 2产+ y- 3产=16的参数万程为,.为参数y=3 + 4sin 09.圆的方程为 x2+y2=2x,那么它的一个参数方程是 .解析:将x2+y2=2x化为x12+y2= 1知圆心坐标为1, 0,半径r=1,它的x= 1 + cos 0一个参数方程为.为参数.6.圆x+12+y12= 4的一个参数方程为 .x+1y1x= 1 + 2cos 0解析:令F-=cos仇 :一=sin.得.为参数.22y=1+2sin 0x= 1 + 2cos 0答
7、案:.为参数注此题答案不唯一y=1+2sin 07.圆的普通方程 x2+y2+2x-6y+9=0,那么它的参数方程为 解析:由 x2+y2+2x6y + 9=0,得x+12+y32= 1.x= 1 + cos 0答案:.为参数y= sin 010.圆P:x= 1 + V10cos 0 y=- 3 + 10sin /.为参数,那么圆心P及半径r分别是A . P(1, 3), r= 10B. P(1, 3), r=V0C. P(1, 3), r = VwD. P(1, 3), r = 10解析:选C.由圆P的参数方程可知圆心 P1, 3,半径r=V10.“一 ,x= 1 + cos 0令x+1=c
8、os 0, y- 3= sina所以参数方程为,.为参数.y= 3+ sin 0x= 1 1 + cos 0答案:,.为参数注答案不唯一y=3+sin 0x = 2+2cos 011圆的参数方程为,.为参数,那么圆的圆心坐标为y= 2sin 0A. 0, 2B, 0, 2y= sin 0C. (-2, 0)D, (2, 0)-、,x = 2+2cos c 、,、一解析:选D.由得(x 2)2+y2=4,其圆心为(2, 0),半径r = 2.y = 2sin 0x = 2cos12 .直线:3x4y9=0与圆:(.为参数)的位置关系是()y=2sin 0A.相切8 .相离C.直线过圆心D.相交但
9、直线不过圆心解析:选D.圆心坐标为(0, 0),半径为2,显然直线不过圆心,又圆心到直线距9 .离d=r0 .在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: p=4cos 0.1说明Ci是哪一种曲线,并将Ci的方程化为极坐标方程;2直线C3的极坐标方程为0=O0,其中00满足tano=2,假设曲线Ci与C2的公共点都在C3上,求a.解1消去参数t得到Ci的普通方程x2+y12=a2.Ci是以0, 1为圆心,a为半径的圆.将x= poos & y= psin.代入Ci的普通方程中,得到 Ci的极坐标方程为任一2psin.+ 1 a2= 0.2曲线Ci, C2的公共点的极坐标满足方程
10、组 2 psin 0+ 1 a2=0,尸 4cos a所以x 2y的最大值为i + 季.16cos2 0 8sin 匕os 0= 0,从而 1 a?= 0,斛得 a = 1(舍去)或 a = 1.假设 pw 0,由方程组得16cos2 - 8sin 9cos 0+ 1a2=0,由 tan 0= 2,可得a=1时,极点也为 Ci, C2的公共点,在 C3上.所以a=1.X= 2+ COS a22.假设P(x, y)是曲线,(a为参数)上任意一点,那么(x5)2+(y+4)2的最大y= sin a值为()A. 36B . 6C. 26D. 25解析:选A.依题意P(2 + COS a, sin a
11、),.(x5)2+(y+4)2=(cos a- 3)2+ (sin a+ 4)2 = 26-6cos a+ 8sin 后 26+10sin(aM(其中 cos(f)= * sin()= 3) 55-一一TT一 一, 一 ,当sin( a- (f)=1,即a= 2卜兀+2+MkCZ)时,有最大值为 36.X 、月x= cos 023 .点 P 3 , Q是圆,(.为参数)上的动点,那么|PQ|的最大值是22y=sin 0解析:由题意,设点 Q(cos 0, sin 0),那么 |PQ| =cos. 2 + sin.乎=山一也sin 9- cos 0= ,2 2sin 0+6故1PQ|max=72
12、 + 2 = 2.答案:2x= 1 + cos 024 .曲线方程,(.为参数),y= sin 0那么该曲线上的点与定点一1, 2的距离的最小值为.那么|PA|=7(1+cos.+ 1) 2 + (sin 0+ 2) 29 + 4/2sin 0+-4 ,故 1PAimin = . 9 4 2=2 2 1.答案:201x = cos 025.圆C,与直线x + y+a= 0有公共点,求实数a的取值范围.y= 1 + sin 0x= cos 0,解:法一:消去仇彳# x2+(y+1)2 = 1.y= 1 + sin 0 圆C的圆心为(0, - 1),半径为1. 圆心到直线的距离d = |0- 1+
13、 a L 1.,2解得 1j2w aw 1 -1-2.26.设Px, y是圆x2+y2=2y上的动点.求2x+y的取值范围;假设x+y+c 0恒成立,求实数 c的取值范围.x= cos 0解:圆的参数方程为,.为参数.y= 1 + sin 02x+y=2cos 0+ sin 0+ 1 =&sin 0+j+1由 tan 后 2 确定,. 1 J5w 2x+ y0恒成立,即 c cos 0+ sin 0+ 1对一切0 R成立.一一兀一一,一一 一 L且一(cos 0+ sin 0+ 1) = 2sin 叶 1 的取大值是 .一1,那么当 c2- 1 时,x+ y+c 0恒成立.27.圆的极坐标方程
14、为正一4、/2pcos 0-4 +6=0.(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)假设点P(x, y)在该圆上,求x+y的最大值和最小值.解(1)由 p2- 4j2 pcos 94 +6=0,得产一4 pcos 0 4 psin 0+ 6=0,即 x2+ y2 4x 4y+ 6= 0,圆的标准方程(x 2)2+(y2)2=2, 3分令 x2=42cos a, y2 =,2sin a,r ,.一、一x= 2+V2cos a 、得圆的参数方程为,(a为参数)6分y= 2+ 2sin a(2)由(1)知 x+ y= 4 + /(cos a+ sin a)= 4+2si
15、n a+ 4 , 9 分一 .兀 .又一 1w sin a+ 4 4 1,故x+y的最大值为6,最小值为2.12分28 .圆的直径 AB上有两点 C, D,且|AB|=10, |AC|=|BD|=4, P为圆上一点,求|PC| 十 |PD|的最大值.解:如下列图,以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系.x= 5cos 0,圆的参数方程为(.为参数).易知点C(-1, 0), D(1 , 0).y= 5sin 0由于点P在圆上,所以可设 P(5cos 0, 5sin ).所以 |PC|十|PD|=(5cos 0+ 1) 2 + (5sin 0) 2+ (5cos 9 1) 2 + ( 5sin 9) 2=26 + 10cos 0+ 26 10cos 0(726+ 10cos 0+ /26-10cos 02=,52 + 2山62 100cos京 ft当cos 0= 0时,|PC|十|PD|有最大值为2小6.29 .(2021高考课标全国卷n)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为 ,一 .、 一 一兀极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标万程为P= 2cos 0,长0, 2 .(1)求C的参数方程
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