圆锥曲线秒杀法

1、圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余,本人也研究高考数学的秒杀方法,主要包括 隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线局部小题用到的方法1、椭圆C: xZ8+y22=1与斜率K=1/2的直线l相切,那么切点坐标为注:传统方法我就不讲了,讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对C: x2/8+yZ2=1求关于X导数可得x/4+yy'=0, 带入K=1/2, x=-2y,带入椭圆方程,很容易解出切点为(-2,1)和(2,- 1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题,将 X轴压缩为原来的1/2, 即x=2x'(这里不是导数,只表示一个未知数)；斜率K'

2、;=2K=1 ,椭圆 化为圆C': x'a y'2=2;很容易求得I'与C相切于(-1,1)和(1,-1),复原, 可知I与C相切于(-2,1)和(2,-1)2、椭圆C: xZ4+yZ3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范围为:法一、直接用柯西不等式 椭圆和直线相交,最小距离为 0,最大距离为椭圆C与l平行的切 线l'与l的距离,l'= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(xZ4+y2/3) (4+12) >(x-2y)2;-4< b<4;把4和-4代入l'再利用平行线距离公式求I和1'距离,最大距

3、 离为,5所以0<0,5法二、缩放坐标系椭圆和直线相交,最小距离为0,最大距离为椭圆C与1平行的切线1'与1的距离.1'= x-2y+b=0 ;缩放 y=v3/2 y'椭圆 C 缩放前方程 C'为：x2+y2=4; 1' 缩放后表达式为1''=x- v3y+b=0, C与1相切,利用点到直线距离为 半径,容易求的b=4和-4;再利用平行线距离公式很容易求得范围 为 0<d<V53、过定点(4、0)的直线1与椭圆C: x2/4+y2=1有公共点,那么直线1 斜率K取值范围为:法一、直接用柯西不等式1:my=x-4,那么 x

4、-my=4;构造柯西不等式,(x2/4+y21 (22+ m2) >(x-my)2可得,m2A12,注意是反设斜率,故k= 1/m;很容易解出k的范围为-v3/6<k<A3/6法二、缩放坐标1:my=x-4 , x=2x 'C': x' a y' 2=1; I ':m y'=2 x'-4, 用点到直线距离公式,d=4/ v(4+ m 2)W1;可解的m2A12,注意是反设斜率,故 k= 1/m;很容易解出k的范围为-v3/6<k<A3/6、柯西不等式柯西不等式在高中数学提升中非常重要,是高中数学研究内容之一,

5、是求某些 函数最值中和证实某些不等式时经常使用的理论根据,技巧以拆常数,凑常值为主.柯西不等柯西不等式-方和积不小于积和方222aia2L anbi22ai b a2 b2L an bn当且仅当bib2 Lbn0或亘电L 2时取等bi b2bn柯西不等式的主要变形公式变形公式1ai 匕a2b2Lanbna匕a2b?L anbna|La2 ?b22Lb2取等条件同变形公式2_ 一 _ _ 2,ai也 a2 ,b2L ,an,bnaa2L an gbb2Lbn变形公式3a； a2 La2, b2不等式三角公式L b：aibia2b2L2_bnSSL变形公式2Lanbn24吨L取等条件同bib2 L

6、bn变形公式52史也L 曳一以电La取等条件同hb2bna bi a2 b2 L a0、仿射仿射变换罂典型.次向境的你灌方程4i将比桶照m标班方程i衽形式上模为段近胭的标就力程 T M甲 h? + .r-r< “送 训,我的着直郡还利用仿射彩演用摘屁壹搅力圆.再利用圆的良好几何件或解决同理 的方法.*i X - d. W对椭肥的标宸力即=4 = = 1.独打K要4 >轴进行仲豳交换!A 得利方看二+ 1=1一了 tr卜 Da' p'仲期变模不会改变tt蛇与网锥曲线的交点救、也不强改变#鸵纹段K度的比何关系.平行和直线共 立美系等等.但是即端生哑改变抄段的粒度,法宙超

7、弓1起充分眄注电I将占1倍引殳换t Alling Trinskutr是一箱二跣史痣到二推生标之I此的地金堂拽-保持二年图彩 的“半亢鹏,件江：用di&ht耻制,券变换后直线注是鱼乳不防利用.国弧迳是胤姐6/ 柠他-4法：2i*耻IncH,其实是指保二雄蜀都司的相计长夏英系不更一中行成正是十. 致.而立埋上息的祖置却年不支.另特奥京地行号向更由叮髓套女生史化一年染史溟耳比 再4一索列明再于变低的聂今之现,也指二平楼TraflsUlioti上喈攻< Swltk朝轮【Flip L 虬特Koution 1 和借切 I Shear <Lfr法1衣伸缩及胡下.惮圈才枢E二二十二=1变为

8、图E；/ + 4 =rL布画上的点尸事.mJ变为 a' bp ； 4 ,巴卜 图此过画£ 土一国尸的浦附加建才我为：* - 3, = */ b .心1信it用通it伸腐作战机可以祥打过岫! E上一皮尸的喃周灼切我方和L4jt+0乂j/=#即 b "经换前变换扁/ l'a方竹 丁4'+ y2» aj横坐标¥X X织里标Vr HV = 一 F触上=¥* OiV v用后Ad Av h向枳¥=?打的'5* =2A/ W 土 § 2 b卜而是优射变换同后此中二主对悔美系:艾 K i = Ji + l -

9、 Av_ 招/,m .硕t平行关系g共线段段比例关系：点分幽的比,熟悉仿射射交w, toil=1, .嘀®r的.出为】十=1("bo,公尸的坐尿为(-0,可.h(D一百线y=4i*p叱椭rr、D芭依.： = K： 干八E. 一& =鼻证实：£为(7)的中点：对r嘴囱上的点c(ug?疝©)"5)七头箱/上存在不同的两个交点小a满足匹)可二10,写出求作点&. 2的步骤.【解折】作仿闿交换、怅31疗程先为一+=,&'= 1:C八OE、极定理,£0的中点 十是£是CD的中点.如下用.求作上£

10、;,八的步来为；I以.为司心,相司的长轴太.为丰冷作同：2.迂.作右线.货Q站五方向划过盘线的角为夕、书我与©文子0,3.4国与?轴正向的攵点作V转的垂或,过画与x躺负向的支点作x作的圣我.而务看我文于上4.连姑,取井中KA"191jC：样:-M .一 邛S号与丰"W/第耳'p牛空切/y耳mo誉 o i"一二0.料城VH修白工封丫工条自妙川务华芬斗.回“冬邛响"1为.¥3屏M*名田仆亿领 :融?我书、3同电不导上冬书3区出承于卒4市督9本女也rw法【耳格】dd+ /=付"Ud = M=&Or.4环下力;勺加吊

11、忸.好中8玄爷¥窄外¥冬时供丁丐,取;Y才肝五%/印.“切节打c仔多,=£时¥籽第3：小夕辨'/人扪1号洋岳书也可：的寸邛以'?甲,回M2 ,笫牛?耶"船?“筝投9X W4EI '茶V3耳手NO什拈NN '人.琳亨,4伊 a "=+/可%*/¥耳优卜 彳漱¥住力 £ "、坤3,= 丫不声,节耳/工京印方伊,某叮后.ea羊【用制】 一 一 ' 一 !闻丫理班冷以807东太4琳印/篡H居.产地w,2 ,、了审印引:；J 1-"1配弱&,-1.

12、“善如修；1rJMYY：tj2io： ；M 4,施三款印觞四率黑芍丫出箱底力WZLK? .纣4浙h,1区而甭取三灯吊同时幻K1F冷不和力PR里蓟哥卯M,1-1二.4再'怎出国丁努?学筝耳8.第早 上1城后：0,之二下. 化皿灯郸这甲歹k*既«1切0号1M03*M '格修器M材同/符甲既K '廿口切爵甲丁 'J有"典节即用/工,小慎那卜U t"口百0|叩! 忸蜘 "冽门,户,中勒W 在山含.正U粉UD *",尸R所审草川犯 尸尸+ja可U中|他/比?10 依聿孝号当且仅当取味因此/.3后?的武大值为g.薛习2201

13、.年邮 机工已如桓质L + : = 呐接.角物/*. IL顶点'的标4%6 243所在直线的斜率为岑.当48.的面积最大时,求直铁-8的方程.c坐标力G6；宜城 直代/川§、“.“谀宜我45的方量为x-j+m=0,那么0到点我/史的龙用为造"/夕卜,当工3 .昨刖-工"时Sgy取得最大值3, 此时直林,8'妁方社为0.因此S 9的病火临勺*.此时4R的方程力/门# = 1缥习32021年版匕.模J晨:,他1三小二1的乩右顶虫分加为.4、H.过曲星为1的侬父桂前于另一由5,企林洞r t的r满足：八K彳的而林为g.试推定点7的个收.2【解析】杵怖21逵

14、过仿哥左捺|交式国./,产=4 fsm-2S*,.y*2y5九2八2.即"-"4 = 0囚7外直线4S的跑为力京,花长/fS-2,2!-方三行,r <«J包线AS1的花离力- = TI 4 4$3飞由于/.在仇必上杼在两个T点 又由于力2. .,衣/蓝上不存在r*,x. 即:上.上,的人数也即名r的个会是2.练习42021年齐武一播文有线/：2/尸2 = 0.杨网丁十二二1的交力为/、B.求使 W 的面4枳力:的£的个般：【解析】工Q练习52021年杓城模设有线,.怖禺;-广二交J/, B西乩艮以46为由?的同过怖国的右顶亘C,求AMC面枳的尺八值

15、.【解析妫出相史标系炖3中珞身那么供3方摄发为匕整,产=|4、：+6*9炉=0.没立找AB盟方以为；r -叫+ 明 止或立支妙方保刍mDO方经#人6K上把+ ,即9.团上,l + 3o axj a x a而人上二 -l. 9+l + £ = 0, “ = -,日比CD = ±X .r.aSS将例S通过变快: 二 ：变力/ +尸=9. JNS“ = !$wc v -3r3HO'到/"的无街为 d .- J 2& d,J,Ji/,9 j12,当且仅当=98,“取肉最大值!X千足S-收.=-S/r W:,即A46C面猊的双上伍力-.12 "&q

16、uot; 88利用用射射换系理弦弦,?£*2021升立小 而亩,占诵丽C的中央,匚,z ,、GkU/、前T；前EISc的is梏为MV, lie；. 6的离心本程为e.比钱/±MN, /与C；交十两点,响点, 这四点按纵性标从大到小正次为,.BX.D.I|设-2,求B.与卜修的出值； 2当e变化时,是否存在1或八使得BO/AN,理4.的也国,作为时交换H = f时饰21的作仿好交楝尸,-2=y财C；： /十/80 ：' A* o 编=hv o I-3 5 = / ： "、0 答=设里£(acosA.dsin0)(.“工).irv = -cos 夕

17、If= =-更cos-l= icos,costf = !e(-l.I)%8s81-yQJt 昨(f.0)U(2. + s)伙)/No,2 .,方0.?巫片.不存在：S史H.存在. e IA利用伪射变及凸显四府几何条件利用仍见变换可以称一些越H中“平凡的条件特化为对前他很有利的符妖条件,比方：X利用侪射攵换可以改变斜的从一可以使用某些与楠国相关的平行四边市转化为矩杉,从而笥化 向鼠同用仅时变化可以珞树网变为国.从而可以使装叫.眄阮和美的丫疗四边形转化为更形.从而荷 化何世锹 2021年莫庆龈匚匚1. 4 2D理科设动4/满足:丽=丽+而,其中M、WD国上曲乩直线OM与ON的网,率之联、d &qu

18、ot;"晒个£. 4.便叫历|,|%|为定值 ；.求百,月的坐:L林：假设不存在,说引盘由.i义科谀动良,滔足：丽三厢+ 2万.其中M. N显机身上的点. H我OU与.、的, 制W之积为H：是否存在立.殳存点P到内e的川商R到直线X：,/而的距因之比为, 定值?假设存住,求尸的华林：假设不存在说明母由. 一一 一 *« 一.一 一 一-一 一 一 *« 一 . 一一 一 一 一 一 一 *« 一 一一 « 一一;【解析】作优射史,M网国方程变为,/ + 2=4.JLOV'IOV.伸科四边招OWQV为正方影.t«.|O

19、F| = |WV|=2V?,产点的机逆方福为回/十/=8,因此P点的械方程为一网,* = .,.存&合题意的点£,. +标为t2.0.琳国眄用卜媒名I文科四边出OWP V力矩格. I加|=|MV|=2有,.点的叱方程力固/+ /= 20,因此P&恰如4方行为/+£ = ?«.即上一二二1 1720 10存在括合题意的点尸,上林力而.0.即用口的右熬点.练习12021年海淀 线阳X战/:产H + rw平|； 而网? +J = |川文于/、8两点,以钱及04.6为加边作平行四边形."6 .其中顶点布桶回.匕.为?1<弧点.求|.1的取

20、侑范礼【解析】用体封交报蛾圈痔化为田于是平行四边寿.铲8支为乏彩017>8'由K|W：和号根据“用时角互相击立,子;因此gWL- v3也就是河Hl=k/wi*3目此团的取色弟国是I6.孚.练习2 2021沟淀模理 L如比线点 > 二h-明.书画G：二1交J/. 5两点,有线/、： “h+他制产m：与描14G交C.两点.用M = |CC|,如下列图.1证实；网+ J叫=0；21求四边字48c 的面积$的总大值.【解析】考虑用伤身变耀.,BQ为粕囹内提平行四边招,作竹豺交核自变为IE内我不行内过彩,为齐影.臼JU十角线为立在,七式是运幅因内拄T行口边杉的升角蝶£如分子

21、原白,手是啊.桁一0;3内接短影当且区当花称力止方形时如积最大,黄大值为4,十是帕面内接手行四边形如枳的病之佰为3 = ?J"6【&泣】也可以着作杞关支段问题议直我二£所与的21文十四点4、8,那么【£文五钱与方粗,#I+:卜:ZJbnx + m：-1-0i - .“倒=677.芋价于川；:叫,又刷尸吗,叫股+码=o由648与CD关于的夕H#.可边形/BCD为讨知中央4氏及的牛行日边形不桁段叫0r ;4 ,4 1 g7 L */-l m 4",2入Y 而入Y222明川 *74Y亲,29当JL优当吗!二犬十!吁取群孑号内 也22,田边号408的面积

22、S的最大小是26.原 已二M为慨y = :"而吟+千=1在第呆限内的文点,四与OM皆讨而畋于 力、"两点.求证k找Ml.左线；/B与x轴陶成的三角形是图膛三角形.过作*14的全线. ,文isr+y二8于点m刈易如、2,-2.,.¥2,-2, AO.W iaVe "“/ ,.丫148根梃学径定理.学分览/以,于是"A.是N/W9的平分先干艮4三乂门：2%",即义MH1.P. .,乙1.0是等匿三角彩.证聚【备注】2021年密云一横理加圉所示,幡国的中7在原点,热点在工转上,长轴长足短转式的3倍. 且红土工"3.1.平身于.M的

23、直线/在曲上的或无为用加*0,且文的图于/, 8两不 FI息.-38的方杈;求成的取假定田：束隹.直我M4. Mb与,轴始绛国成L个等接三角机【解析】S+2L.j； 18 2设之我,：p = +M“市0 对 rnw -2. 0U0, 2|；现为丑强套jt问地的推广其用份毋爻扶均年解决.362021年四中方二胡中考邢己加点2,1便扁国工+匕=1上点,直线弓椅一交于4.S两点.求AM4B的内心的物型标.【解行】*用出的也去与本补的问处.考虑使用仿叁变换居利区外化为15加以解决. 在3中,容务证实A/0是NOMd的十分式.千足时0定/阴的十分找. 囚北人,£"的内的耀生弥为的横生

24、杯,电也是2.综合 例6 12021年山东己如动亘线/.桶laic： 9十/二1文丁川占,8,0'. 2为不同乩且N0的而伙工叫勺,其中.为坐榇鼠乩1一明：M+U和鼻'人均为定值;2出线收收的中点为必,求mH%的显大值：触&-j在二ND.E,G.仗丹$二肌$/-5_/*?4在,WiDEG 的形状：假设不在在,请说明理也.【解析】8周、作仿布殳按K=i,玉=玉,那么料用C史力BIC： K., c 6 c 3r 二了 二5设.到女4.0的距离为d.也那3-/"="解算公与.十足|产0|=onog.因比X? = yJ, I：二而OC2 f二4 + x；=“

25、 + x： 3,后y-j/! + h：|-2.造也的材*为匕如.的朴为 士'l°M 同=3 、4；.卜(' S 一 一<> 0 0一饰 巳娜18|4+?1上的两点/, 6关于x轴对移,P(4.0)是脑GI长轴所在自或 忆4 3点.我上线PR.弧网网至7D,证实 1. -1；1二.» ： _比-S2； _ 5(«, 一£, ' Sjwe - S&g S w _ 7LL,daic中,£ UG、EG所片的Bpu均为力,r 四北.不存在漏为典忠的三角杉.练习7(2021上京吕平二慎国)如除£+?1g

26、"O)的长轴为/8.过点8的宜线,与轴电工桁区的需心 / b幸日,夕为帕同的左隹"且|"|附1=1.(I)求此机眼的方程:设P足此机愎上升丁4A的任意 点,P"l"轴,为 垂足,第K/翎点0使得-0.追接4.井廷K交 111也A为M8的IS、,用定口线QNb以.48为 苴径的国.的位亮关系.【备注】设10号佛国文于2./?,用AA刍泊鸣如切,北建与助可以引用仿针交掖解决.利用仿射变换将问题转化为几何问题MM1将携II通过伸馆交发力财需证实：假设点4, 8为关于回的有在RG对柞朽而点,出所去五级上的一点P均8点的连就交国于., 元,4.与丹/文十

27、定点E.法用*下：如图,连转北1 2.设力与团交手C.3 EH；G为孤CD和松仙晌中点八；, AG.,分别是4*欧7的十分战 而XX71D"."G是NEDP的牛分伐.而4EDE二EG KH 邦交位定理,APDP= AP P=汽；PH 切划线定理“EG EH EG EG 仙 EG PGI A.? - PG-PH K PG EH PH生为定依在木例中力1任为定值 E力定尤在本的中 1,0薛习8设百城八户h + m.梅团;-y：T相交于M. I两戊.F是楠出为方住点,TOFV rjF 线卬的斜率互为相反数.求证：角线/过定点,并求该定点的坐标.【解析】或我/过文42, 0.本府与

28、间题相凡应习9 2021年江於如困,在平山 向坐I球血中,'-工=1的1 1点为才、8.A也口为卜 设讨由9,即的且线.用与此桶府分别交 mA,！,、*Y：,K.乂中 川0.Mo,%?0.设J = 9求证：有线M/V必过X轴的定点,其%棕.川无美.z笔一一)g qq jr sa 、,警2«(7¥闻- -* ry7应力小 ,丁 U ru J Cj f心匕% "二力二华阳二名"四k一 IX/、而、KF W .J f NL / t NFA JJV 9UI-777 不 7TTT 身"始 4M 4 wmi AA VIJ “ W7 P A J iq

29、 </r朝务8 )7“¥仃8卜T可手一24在咐令多 掌,ZX卞1*8八.w芋F04HF* Ar 'M+h«otit in 上甘'?一零到T、$Tkm手,卜0夕/ o点在耳夕#/"；3安明例学J中«野秫不uW总5中91/芋的节£广行#3X冷,q -.工*朝1硬'0二/Dtnwi-彳*七团“曾工位 |时工件茶w修'半如国,工用【畀停】/产r-r»及 AC -4u . Z FAC - a,乙YdC - D * AT - . AM - luma , BT - BN - 2acus0 C6“cos/?及乙U

30、OC-2",乙NOC =邛、那么OCWOF的角力a-,以0为k& OC为极经,那么五拨AW6方但力(a夕)卜d(O,MV),PPpcos 9 (a f)卜d8 coe(a+夕)工*.c AB cos(a4夕)cosacos/T smasi"I - tmaunfl1 UD - AB ABcus(tf -0)cusacus.+sina 疝i.It vmu uui/7而 / nc N ZMAB - - ZMOB - a , ZNAB-Z.VO5-/J,.i江ACBe,Un/? = unZBfC =2JJlOP=于是点.力定点.四、参数方程椭圆参数方程吴磊一、没吃过猪肉,你

31、还没见过猪跑x=acos8; y=bsin 9是一组我们熟悉而又陌生的方程,可问题是你真懂 他们的含义吗 9究竟是个什么东东,和圆参数方程和极坐标方程中9是一个意思吗1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开例1、P是椭圆C上一点：x= 4 cos p y=2 v3sin 8且在第一象限OO为原点P的倾斜角为九/3,那么P点的坐标为经典错法：由于倾斜角为冗/3, x= 4cos 0;y=2 v3sin q所以x= 4cos 兀/3=2;y=2 Tsin 兀/3 =3求得 P 坐标2、3正解：椭圆参数方程e是旋转而成的圆心角而不是倾斜角由于OP的倾斜角为冗/3,故OP的斜率K= tan 7t/

32、3=v3;v3=y/x2V3sin /4cos =v3 1sin盼cosa 82=12 联立二式,P在第一象限,可解cos 9=v5/5 sin =2v5/5P 点坐标为4V/5、4V15/5 2、椭圆参数方程的推导和含义解释1切J r阳 I I*1 - LX h；£131 *匕、 夕?另U 旧上 . I < ii- -1>- 4f > >t -I"“TT 同*针皿. 与生n 圮 人团I 产1资.a 1 j j-MU 口勺 女儿底工工人 M 八 z l c. f后 JUL * Xztnfli rfcM _i_ 八 z 用 JUL>1/%;.派r

33、、F彳#£人学是<,迄4-tH J /A< M /J为九.i力便一故 yj #V .珀可： iAt aio l Aox Vj xii *< > a.jZlrrj ihyrj >反c Aj段金收,iWW3、椭圆参数方程的设法可能有的同学会根据焦点在X轴:x=acos .y=bsin 9焦点在Y轴:x=b cos 8; y=asin 0去记忆,老师告诉你别这么理解,你只要记住 cos 8对应的系数是a和b中大的,cos和扩 大谐音,参数方程复原主要看 cos 8前的系数,它一定是大的,焦点在哪个轴,他在哪个下面二、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题口知】

34、椭圆为7十六<jI7J妾比照A&CD.1:二技 X,人 Hi 不只解:可设 A( 10 cos 9; 8sin 9 ),利用对称性可知 B( 10 cos 8 ; - 8sin 9 )C( -10 cos 8; - 8sin 0 ) ； D( -10 cos 8; 8sin 0 )AB长度为16 sin 9 ; AD长度为20 cos 9 ,矩形面积S=160 sin2 9,由三角函数知识可知,面积最大为160例2:设椭圆二+=1和x的正半轴的交点为A,d b-和V的止半轴的交点为B, P为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB面积的最大值为解：要使Soap跟大,由图可知SOA

35、B为定值,需求出P到直线AB距离,距离最大 时Sbpa大,从而SoapbJ大,用椭圆参数方程设 P为 x=acos 0 ; y=bsin 0用P到AB的距离公式可以求得距离最大为直线AB的方程为:x/a+y/b=1 ab(v2-1)2, SoAPB=abv2/22、椭圆相关距离问题例1:点P在杯有I回+ P2 = 1上运动,点Q4在圆 z+(y-10 =3 上运动, 求pq的最大值,O|Mg + |/a|= |a | +/2所以只婪求1"工|白勺显大值解：用椭圆参数方程设P为 x=2 cos q y=sin f A(0,3/2)由点到距离公式可知AP最大为5/2,所以PQ最大值为3例

36、2:椭圆约束下二次型最值问题 2)厂 V-假设动点P(xzy)在曲线 + yv= 1 S >0)上运动, 4 b-那么x2+2y的最大值为解：用椭圆参数方程解,转化成三角函数最值问题.由于 b牙口 4大小未知,显 然需要分类讨论0Vb<2,时 P(x=2 cos q y=bsin为转化成求4 cos 2什2bsin 8最大值 可求得最大值为(bZ4)+4b >2P( x=b cos 0; y=2sin 队 转化成求 b2sos 2什4sin 8最大值可求得最大值为2b3、椭圆与向量求范围、求值问题椭圆E:,A在E上(1,1/2 ),假设点P在E上满足(1)求t的范围(2)过原

37、点O的直线交E于BC求SA BCA的最大值解：l) ) Ft2 cos sin.= (V3- 2cos sinDO rI沪o&m亡工=cos 2 一 m) = L mi n = -2c os or, sin 43"), C(i 2 cos- sm q)= £1 2 cos slaM-' ICZz4 = <1 + 2 cos d + sin a=1|=| ad-bc1- 2cos a1 + 2 cos 盘1 .sm a:.卜4-sin. a2max= v2五、极点极线圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多,原因有二：其一,有高等数 学背景,结论非常完美

38、；其二,运用高中知识解决问题,能够考查学生思维、计 算多方面水平.掌握有关极点与极线的根本性质,才能“识破试题中蕴含的有 关极点与极线的知识背景,做题事半功倍.1 .从几何角度看极点与极线定义1如图1,设P是不在圆锥曲线上的一点,过 P点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G, H ,连接EH ,FG 交于N ,连接EG,FH交于M ,那么直线MN为点P对应的极线. 假设P为圆锥曲线上的点,那么过 P点的切线即为极线.由图1同理可知,PM为点N对应的极线,PN为点M所 对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线 于点A,B两点,那么PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.定理

39、1 (1)当P在圆锥曲线 上时,那么点P的极线是曲线在P点处的切线；(2)当P在 外时,过点P作 的两条切线,设其切点分别为 A,B,那么点P的极 线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3)当P在 内时,过点P任作一割线交于A, B,设 在A, B处的切线交于点Q ,那么点P的极线是动点Q的轨迹.定理2如图2,设点P关于圆锥曲线 的极线为l ,过点P任作一割线交于PA PBA,B ,交l于Q ,那么上 工2；反之,假设有成立,那么称点 P,Q调和分割线段 AQ BQAB,或称点P与Q关于 调和共食,或称点 P(或点Q)关于圆锥曲线一7P的调和共辗点为点Q (或点P).点P关于圆锥曲线的调和共

40、食点是一条直线,这条直线就是点P的极线.I、/B 一推论1如图2,设点P关于圆锥曲线的调和共辗,一 .,211点为点Q ,那么有三 ；反之,假设有成立, PQ PA PB那么点P与Q关于调和共食.可以证实与是等价的.事实上,由有AQ BQ PQ PAPA PBPAPB PQPBPQPA1 1曳PB11PQ ( ) 2PA PB211PQ PA PB特别地,我们还有推论2如图3,设点P关于有心圆锥曲线PQ连线经过圆锥曲线的中央,那么有 OR2 OP Q关于调和共食.设其中央为OQ证实：设直线PQ与的另一交点为R ,那么O的调和共食点为点 Q,反之假设有此式成立,那么点 P与PR PRRQ RQO

41、P OR OP OR ,化简OR OQ OR OQ即可得OR2 OPOQ .反之由此式可推出PR PR 口口一,即点RQ RQP与Q关于调和共食.R 臼推论3如图4, A,B圆锥曲线 的一条对称轴l上的两点不在 上,假设A,B关于 调和共食,过B任作 的一条割线,交于P,Q两点,那么PAB QAB .证实:关于直线l对称,故在 上存在P,Q的对称点P ,Q .假设P与Q重合,那么Q与P也重合,此时P,Q关于l对称,有 PAB QAB假设P与Q不重合,那么Q与P也不重合,由于A, B关于调和共食,故A, B为上完全四点形PQ QP的对边交点,即Q在PA上,故AP, AQ关于直线l对称,也有 PA

42、B QAB .定理3 (配极原那么)点P关于圆锥曲线的极线p经过点Q 点Q关于 的极线q经过点P ;直线p关于 的极点P在直线 q上 直线q关于 的极点Q在直线p上.由此可知,共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证实的定理,可参阅有关高等几何教材,如【1】,其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2 .从代数角度看极点与极线定义2圆锥曲线：Ax2 Cy2 2Dx 2Ey F 0 ,那么称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x Cy0y D(x x0) E(y y0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线.事实上,在圆锥曲线方程中,以 x°x替换x2,以x替换x,以y°y

43、替换y2 ,2以 里上替换y即可得到点P(Xo, y°)的极线方程.2特别地：22(1)对于椭圆今 冬 1,与点P(xo,y.)对应的极线方程为 曾岑 1; a ba b22(2)对于双曲线、41,与点P(xo,yo)对应的极线方程为 W 誓 1; a ba b(3)对于抛物线y2 2px,与点P(x0, y0)对应的极线方程为 y0y p(x0 x).22(4)如果圆锥曲线是椭圆x7 匕 1,当P(xo,yo)为其焦点F(c,0)时,极线恰为 a b 22椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线与冬 1 ,当P(xo,yo)为其焦点F(c,0)时,极a b线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是

44、抛物线y2 2px,当P(xo,yo)为其焦点F(,0)时,极线恰为抛物线的准线.23.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2021江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中,如图,椭圆22 1的左右顶点为 A, B ,右焦点为F .设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆95分别交于点 M (x y1),N(x2,y2),其中 m 0 , y1 0, y 0 设动点P满足PF2 PB2 4,求点P的轨迹;、-1设x1 2, x2 一,求点T的坐标;1 2 3 设t 9,求证：直线 MN必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关)分析与解：前面两问比较简单,这里从略.对于(3),当t 9时,T点

45、坐标为(9,m),连MN ,设直线AB与MN的交点为K ,根据极点与极线的定义可知,点 T对应的极线经过K,又点T对应的极线方程为之/曳21 ,即95x m- 1 ,此直线恒过x轴上的定点K (1,0),5从而直线MN也恒过定点K (1,0).22_【例2】(2021安徽卷理22)设椭圆C:与三 1(a b 0)过点M (J2,1),且左 a b焦点为F1( . 2,0).求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C交于两个不同的点 A, B时,在线段AB上取 uum uuruuu uuu点Q,满足 AP QB AQ PB ,证实点Q总在某定直线上.|y22分析与解：(1)易求得答案 1.42uuuPBuuur,说明点P,Q关于 BQuuuPA(2)由条件可有4utrAQ圆锥曲线C调和共辗.根据定理2,点Q的轨迹就是点P对应的极线,即4金1上1,化简得2x y 2 0. 42故点Q总在定直线2x y 2 0上.22x y . . x y一【例3】1995全国卷理26椭圆C: 1,直线1:一 - 1, P是l24 1612 8 、.一一 .1 2. 上一点,射线 OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足 OQ OP OR ,当点P在1上移动时,求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知 OROP OQ可知点P,Q关于圆锥曲线