匀变速直线运动的位移与时间的关系要点梳理

1、匀变速直线运动的位移与时间的关系【要点梳理】要点一、匀变速直线运动的位移公式推导 方法一：用v-t图象推导在匀变速直线运动中,虽然速度时刻变化,但只要时间足够小,速度的变化就非常小,在这段时间内 近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移,其误差也非常小,如下列图.0 Q t O Q t O Q t甲乙丙如果把每一小段 t内的运动看做匀速运动,那么矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移,显然小 于匀变速直线运动在该段时间内的位移.但时间越小,各匀速直线运动的位移和与匀变速直线运动的位移 之间的差值就越小,当 t一0时,各矩形面积之和趋近于v-t图线下面的面积.可以想象,如果把整个运动过程划分得非

2、常非常细,很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了,位移的大小等于图丙 中梯形的面积.这一推理及前面讲瞬时速度时,都用到无限分割逐渐逼近的方法,这是微积分原理的基本思想之一,我们要注意领会.匀变速直线运动的 v-1图象与t轴所夹面积表示t时间内的位移.此结论可推至任何直线运动.图线与时间轴间的面积表示位移,下方的面积表示负向位移,它们的代数和表示总位移,算术和表示路程.由前 面的讨论可知,当时间间隔分割得足够小时,折线趋近于直线AP,设想的运动就代表了真实的运动,由此可以求出匀变速运动在时间 t内的位移,它在数值上等于直线 AP下方的梯形 OAPQ的面积如图丙.这 个面积等于S =s

3、+S2 = OA LoQ +-AR_RP = vt0+-at2 , 2 一2r ,、一12即位移 x =v0t + at .2这就是匀变速直线运动的位移公式.方法二：用公式推导,、, 一 一 v0 Vt由于位移x=vt,而v = -0L, 2又 vt =v +at,v0 V0 ati故 x =Lt,2一12即 x =v0t +-at . 2要点诠释：该式也是匀变速直线运动的根本公式,和vt =v0 + at综合应用,可以解决所有的匀变速直线运动问题.公式中的x、v0、a、vt都是矢量,应用时必须选取统一的方向为正方向.假设选v0为正方向,那么在加速运动中,a取正值,即a> 0,在减速运动

4、中,a取负值,即a< 0.要点二、位移一时间图象(x-t图象)要点诠释：1、位移-时间图象的物理意义描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况.2、位移-时间图象的理解 能通过图像得出对应时刻物体所在的位置.(2)图线的倾斜程度反映了运动的快慢.斜率越大,说明在相同时间内的位移越大,即运动越快,速度 越大.(3)图线只能描述出对于出发点的位移随时间的变化关系,不是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系, 两者不能混淆.(4)初速度为零的匀变速直线运动的对应的x-t图象为过原点的抛物线的一局部.要点三、x-t图象与v-t图象的比较要点诠释：图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在x-t图象与v-

5、1图象中的比较.x -t图v-t图表小物体做匀速直线运动(斜举表小速度v)表示物体静止表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)表示物体做匀速直线运动表示物体静止在原点O表示物体静止表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为x表不物体做匀减速直线运动,初速度为v0交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度t1时间内物体位移为 x1t1时刻物体速度为v1(图中阴影局部面积表示质点在01时间内的位移)要点四、运用图象要注意问题要点诠释：1 .首先明确所给的图象是什么图象,即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系.特别 是那些图形相似,容易混淆的图象,更要

6、注意区分.2 .要清楚地理解图象中的“点、“线、“斜率、“截距、“面积的物理意义.(1)点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态,特别注意“起点、“终点、“拐点, 它们往往对应一个特殊状态.(2)线：表示研究对象的变化过程和规律,如v-t图象中图线假设为倾斜直线,那么表示物体做匀变速直线运动.(3)斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值,常有一个重要的物理量与之对应.用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题.如x-t图象的斜率表示速度大小,v -1图象的斜率表示加速度大小.(4)面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应.如 v-t图象与横轴包围的 “面积大小表

7、示位移大小.(5)截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界条件下的物理量的大小.由此往往能得到一个很有 意义的物理量.【典型例题】类型一、关于位移图象的理解例1、某物体的位移图象如下列图,假设规定向东为位移的正方向,试求；物体在OA、AB、BC、CD、DE各阶段的速度.【答案】见解析【解析】物体在t=0开始从原点出发向东行做匀速直线运动,历时 2s；接着在第3s5s内静止；第6s内 继续向东做匀速直线运动；在第 7s8s内匀速反向西行,至第 8s末回到出发点；在第 9s12s内从原点 向西行做匀速直线运动.由x t图得各阶段的速度如下：x16OA 段：v1 =- = -m/s=3m/s, 向东ti

8、 2AB段：物体静止,速度为 0BC 段：丫3=& = 12_6m/s = 6m/s,向东 t31一 x 0-12CD段：v4 = =m/s = 6m/s,负w说明方向向西t42DE 段：v5=& = -m/ s = -1m/s, 向西 t54【总结升华】位移图象的斜率表示速度的大小和方向(斜率的正负表示速度的方向).图象平行于t轴,说明物体的速度为零,表示物体静止；图象斜率为正值,表示物体沿与规定方向相同的方向运动；图象斜率 为负值,表示物体沿与规定方向相反的方向运动.举一反三【变式】如下列图,A、B两物体从O点开始运动,从A、B两物体的位移图象可知, 下述说法正确的选项是A

9、、A、B两物体的运动方向相同B、A物体2s内发生的位移是10mC、B物体发生10m的位移的时间是2sD、A物体的速度大小是 5m/s, B的速度大小是2.5m/s* Hl【答案】ABD 类型二、位移与时间关系公式的应用中注意问题例2、列车进站前刹车,刹车前列车速度为60km/h ,刹车加速度大小为 0. 8m/s2,求刹车后15s和30s列车的速度.【答案】4.7m/s0【解析】以初速度方向为正方向,60km/h = 16. 7m/s,杀ij车后15s,列车的速度=v0+at =16.7m/s0.8M15m/s =4.7m/s；刹车至列车停下所需时间t=±1V.;.-167s= 20

10、.9s ,故刹车后a-0.830s列车的速度V2= 0.【总结升华】解匀减速问题应注意：1书写格式标准,如不能写成V1 = V0-at,因a是矢量,代入数字时带有方向“ +或“-".“ + 可以省去.2刹车类问题应注意停止运动的时间,一般应先判断多长时间停 下,再来求解.此题假设代入30s运算得V2=-7. 3m/s,是错误的.物理题目的求解结果一定要符合实际,例如你所求得的量假设质量出现负值就是不符合实际的.举一反三【变式1】以18m/s的速度行驶的汽车,紧急刹车后做匀减速直线运动,其加速度的大小为6m/s2,求汽车在6s内通过的距离.【答案】27m1 2【解析】如果把 a= -6

11、m/s2和vo= 18m/s代入位移公式x=v0t+at,得21 /2 cx =18 M6m + M-6父6 m =0 .23s, 3s t0汽车在6 s内的位移竟然为 0,这可能吗为什么会出现这样的结果 原来汽车刹车后只运动了 后便停下了,直接把 6s的时间代入公式必定会出现错误的结论.故应先判断汽车停下的时间,设历时 停下,t0:18m/s =3s, t =6s>t0 ,故6s内的位移等于3 s内的位移.a.1 .解法一：由 x=v0t0 +at0,有2_ _1_ _ 2_x =18 x3m +- 父-6父3 m = 27m .2解法二：由逆向运动法知,12 1c 八2cx= at0

12、 =一父6父3 m = 27m .22vn,18解法二：由 x=-0t0有,x= x3m=27m. 22【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第5页】【变式2】由静止开始做匀加速直线运动的汽车,第 ls内通过0.4m位移,那么不正确的结论是 A .第1s末的速度的0.8m/s2B,加速度为0.8m/sC.第2s内通过位移为1.2mD. 2s内通过的位移为 1.2m【答案】D类型三、位移图象描述相遇问题例3、如下列图是做直线运动的甲、乙两物体的 x-t图象,以下说法中正确的选项是A、甲启动的时刻比乙早t1B、当t = t2时,两物体相遇C、当t = t2时,两物体相距最远D、当1 = t3

13、时,两物体相距x1【答案】ABD【解析】由x-t图象可知甲物体是在计时起点从坐标原点Xi处开始沿x负方向做匀速直线运动,乙物体是在t1时刻开始从坐标原点沿 X正方向做匀速直线运动,两物体在t2时刻相遇,然后远离,t3时刻两物体相距x1,因此选项ABD正确.【总结升华】x-t图象中两图线相交说明两物体相遇,其交点 A的横坐标表示相遇的时刻,纵坐标表示相遇处对参考点的位移.举一反三直线b是表示物体乙从B地向【变式1】如下列图,折线a是表示物体甲从 A地向B地运动的位移图线,A地运动的位移图线,那么下述说法中正确的选项是A、甲、乙两物体是相向运动B、甲物体是匀速运动,速度大小是7.5m/sC、甲、乙

14、两物体运动 8s后,在距甲的出发点 60m处相遇D、甲在运动中停了 4s【答案】ACD【解析】由图象知,甲、乙两物体在开始运动时相距100m,后来相距越来越小,甲向乙的出发点运动,乙向甲的出发点运动,因而它们是相向运动,选项 A正确.两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置,即相遇的时刻与位置,应选项C正确.甲在运动中有一段图线与时间轴平行,这表示甲在4s内位置始终没变,因而是静止的,选项D正确.甲在全过程中并不是匀速运动,应选项B是错的.【变式2】一质点的x-t图象如图甲所示,那么此质点的v-t图象可能是图乙中的.【答案】A【解析】解题关键明白两种图象斜率的物理意义不同.v-t图象的切线斜率

15、表示速度,由图象可知：0L2时间内图象的斜率为正且越来越小,在卜时刻图象斜率为0,即物体正向速度越来越小,8时刻减为零；22从上ti时间内,斜率为负值,数值越来越大,即速度反向增大,应选项 A正确.2类型四、位移公式解决实际问题例4、某市规定,汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40 km/h. 一次,一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车,由于车轮抱死,滑行时在马路上留下一道笔直的车痕.交警测量了车痕长度x=9m,又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间t=1.5s,立即判断出这辆车违章超速,这是为什么【答案】汽车超速x一 9【斛析】斛法一：速度判断法由于x= 9m, t= 1.5 s,据

16、v =一得平均速度v = m/s = 6m/s,又因t1.5为 v=v0,得初速度 v0 = 2v =2x 6m/s= 12m/s= 43. 2km/h. 2由于车速超过 40 km/h,可知此车超速.,、一、"100 一解法二：位移判断法设汽车恰以v°=40km/h=m/s的速度行驶,那么刹车后 1.5s停下,刹车9100加速度 a =生=0_包=-9-m/s2 =-200m/s2 .t 1.51.527,.1 o 一100. 1 2 200一以此加速度刹车,刹车位移x =v0t+ at2= |父1.5+父父1.52 im=8.33m<9m,故21 92 I 27

17、J汽车超速.【总结升华】超速判断涉及科技生活情景,是高考热点,可用速度判断,即根据刹车的运动矢量判断刹车 前速度与限速关系；也可用位移判断,即假设以限速行驶,在实际刹车情景中的刹车位移与求得的刹车位 移比照,从而判断是否超速.举一反三【变式】一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动,该公路每隔15 m安置一个路标,如下列图,汽车通过AB两相邻路标用了 2s,通过BC两路标用了 3s,求汽车通过 A、B、C三个路标时的速度._ABC【答案】8.5m/s6.5m/s3.5m/s【解析】题目中条件是位移、时间,求的是速度,所以可用位移公式求解.汽车从A到C是匀变速直线运动,设汽车通过路标A时速度为va

18、,通过AB的时间ti = 2s,通过BC1 212的时间t2=3s.根据位移公式 x = v0t + at ,研究AB运动的过程,有 xAB =vAt +-at1 .2 21 , 2研允AC运动过程,有 xAC =vAt十一 at ,2其中 t=t1+t2=5s,2解得 va = 8. 5m/ s, a= - 1m/ s .再根据速度公式vb= VA+at1= 6. 5m/s, vc= VA+at= 3. 5m/s.求得a=-1 m/s2,其中“-说明a的方向与初速的方向相反,汽车做匀减速直线运动.【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第6页】【变式2】两物体从同一地点同时出发,沿同一方

19、向做匀加速直线运动,假设它们的初速度大小不同,而加速度大小相同,那么在运动过程中A.两物体速度之差保持不变B.两物体的速度之差与时间成正比C.两物体的位移之差与时间成正比D.两物体的位移之差与时间的平方成正比【答案】AC【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第8页】【变式3】一物体以5m/s的初速度,2m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行,4s内物体通过的位移为A. 4mB . 36mC. 6.25mD .以上答案都不对【答案】C【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第10页】【变式4】矿井里的升降机由静止开始匀加速上升,经过5s速度到达v=4 m/s后,又以这个速度匀速上升20s,

20、然后匀减速上升,再经 4s停在井口.求矿井的深度.【答案】98m【稳固练习】一、选择题：1、关于物体运动的 x-t图象,以下说法中正确的选项是 A、x-t图象表示的是质点的位置随时间而变化的函数关系B、x-t图象就是质点运动的轨迹C、x-t图象上各点的坐标表示对应的各时刻质点相对参考点的位移的大小D> x-t图象上各点的坐标表示对应的各时刻质点通过路程的大小2、假设一质点从t=0开始由原点出发沿直线运动,其速度一一时间图象如下列图,那么该质点A、t = 1 s时离原点最远B、t = 2 s时离原点最远C、t=3 s时回到原点D、t = 4 s时回到原点,路程为 10 m3、某做直线运动的

21、质点的位移随时间变化的关系式为x= 4t+2t2, x与t的单位分别是 m和s,速度和加速度分别是A、4m/ s 和 2 m/ s2B、0 和 4m/ s2C、4m/ s 和 4m/s2D、4 m/ s 和 0那么质点的初4、在图所示的x-t图象中,表示质点做匀速直线运动的是那么B、CDE、如图所5、甲、乙两物体在同一直线上的 x t图象如下列图,以甲的出发点为原点,出发时间为计时起点,A、甲、乙同时出发乙比甲先出发甲开始运动时,乙在前面 x.处甲、乙从同一地点出发甲在中途停止了一段时间,而乙没有停止6、一遥控玩具小车在平直路上运动的位移 示,那么 A、15 s末汽车的位移为 300 mB、2

22、0 s末汽车的速度为一1 m/s 2C、刖10 s内汽车的加速度为 3 m/sD、前25 s内汽车做单方向直线运动ix/m0 510 15 20 25 M7、某物体的位移一时间图象如下列图,那么以下表达正确的选项是A、物体运行的轨迹是抛物线B、物体运动的时间为 8 sC、物体运动所能到达的最大位移为80 mD、在t=4 s时刻,物体的瞬时速度为零二、解做题：1、一辆沿平直路面行驶的汽车,速度为 36 km/h,刹车后获得加速度的大小是4m/s2,求刹车后3s汽车滑行距离.2、某飞机起飞的速度是50m/s,在跑道上加速时可能产生的最大加速度为4m/s2,该飞机从静止到起飞成功需要跑道的最小长度为

23、多少3、一汽车在平直公路上运动,它的位移一时间图象如图甲所示:1根据图象在图乙所示的位置坐标轴上标出A B C D、E各点代表的汽车的位置.x / km02040 S 80100乙2求出以下各段时间内汽车的路程和位移大小：第l h内前6 h内 前7 h内 前8 h内4、一质点从 A点开始运动,沿直线运动到 B点停止,在运动过程中,物体能以 ai = 6. 4m/s2的加速度加 速,也能以a2 = 1. 6m/s2的加速度减速,也可以做匀速直线运动.假设 AB间的距离为1. 6 km,质点应该怎 样运动,才能使它的运动时间最短,最短时间为多少5、火车沿平直轨道匀加速前进,通过某一路标时的速度为1

24、0. 8km/h, imin后变成54km/ h,需再经多少时间,火车的速度才能到达64. 8km/h?【稳固练习】1、一质点做匀变速直线运动,A、位移的大小可能小于 B、位移的大小可能小于C、加速度的大小可能小于 D、加速度的大小可能大于-、选择题:某时刻速度大小为4m/s, 1 s后速度的大小变为10 m/s,在这1 s内该质点4 m10 m24 m/s210 m/s2、假设一质点从t=0开始由原点出发沿直线运动,其速度一时间图象如下列图,那么该质点 A、t = 1 s时离原点最远B、t = 2 s时离原点最远C、t=3 s时回到原点D、t = 4 s时回到原点,路程为 10 m3、如下列图是某质点运动的速度图象,由图象得到的正确结果是A、01s内的平均速度是 2m/sB、02 s内的位移大小是C、01 s内的加速度大于D、01s内的运动方向与3 m24 s内