利用勾股定理解决最短路径问题教学设计

1、教材分析教学难点教 学知识 目标能运用勾股定理求最短路径问题水平学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念；在将实 际问题抽象成几何图形过程中,提升分析问题、解决问题的水平及渗透卜目标数学建模的思想.标情咸通过有趣的问题提升学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中,体验 11目於目标数学学习的实用性,表达人人都学有用的数学,增强自信心,表达成功 感.学情分析教学重点探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径,利用勾股定理求最短路径问题.利用数学中的建模思想构造直角三角形,寻找不同路径,利用勾股定理, 解决实际问题.?利用勾股定理解决最短路径问题?教学设计本节课是最短路径问题的延续和拓广

2、,不但要寻找最短路径,还要计算 其长度.在初中阶段,求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计 算,在中考中占有一定地位.而勾股定理是直角三角形非常重要的性质, 有极其广泛的应用.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系, 是几何图形和数量关系之间的一座桥梁.学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内,两点之间, 线段最短,初二上学期学习轴对称一章时,又接触了最短路径问题, 因此对最短路径问题有一定的理解.分类讨论一直都是学生觉得比较难 掌握的思想方法,分类不清、分类不全是学生经常犯的错误.教学过程1教学环节教学内容教学活动学生活动设计意图1.如图,在 Rt9BC中,/C=90,B

3、引导学生学生回忆帮助学生AC=4, BC=2,那么复习利用勾股定理温故知新AB=r勾股定理和两点之AC计算二角问线段最2.如图,小华的家在A处,书店在B处,形的边短的知星期日小明到书店去买书,他想尽快的长.识.反四赶到书店,请你帮助他选择一条最近的引导学生路线回忆同一A. AT CT DT B平向内,B. At C-* Ft b rci两点之间C. AT CT ET f T B线段最短D. At Ct M t b的知识.探究问题类型一：圆柱体中的最短路径1 .如图,一只蚂蚁沿着图示 的路线从圆柱高AAi的端点A 到达Ai,假设圆柱底面半径为 6,高为5,那么蚂蚁爬行的最 冗短距离是.2.如图,

4、圆柱高8cm,底面 半径2cm, BC是上底面的 直径.一只蚂蚁从点A出发,. 沿着圆柱的侧面爬行到点B, 那么蚂蚁爬行的最短路程是.冗的值取3变式一：将“侧面改为“外表,求蚂蚁爬行的最短路程.变式二：再将“高为8cm改为“2cm, 求蚂蚁爬行的最短路程.解决圆柱体中的最短路径问题的步骤:类型二：正方形中的最短路径 如图,边长为1的正方体 中,一只蚂蚁从顶点A ； 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是./匚-变式：如图,边长为1的 正方体中,一只蚂蚁从棱 的中点A出发沿着正方 体的外外表爬到顶点B 的最短距离是提问：怎 样确定平 面上两点 问的最短 距离立 体图形上 的最短距 离问题如

5、 何解决引导学生 寻找关键 点.引导学生 根据不同 的条件选 择不同的 路径.引导学生 思考最短 距离怎么 表达.怎 样计算最 短距离引导小结 结圆柱体 中计算最 短距离要 注意的问 题.提问：正 方体由几 个面组 成这些 面有什么 关系正 方体怎么 展开至 少需要展 开几个 面学生审 题,思考 并作答 指明圆柱 体、正方 体上的数 量和展开 图上的数 量之间一 一对应关 系,以及 如何利用 勾股定理 进行计算由有趣的 实际问题 引入,激 发学生学 习兴趣.启发学生 把立体图 形展开成 平面图 形,并用 平面图形 的知识来 解决立体 图形中最 短距离问 题.注重 路径的多 样性,渗 透分类讨

6、论思想.使学生体 会数学上 的转化思 想.通过先寻 找“关键 点,冉 找到不同 路径,最 终在直角 三角形内 利用勾股 计算最短 距离这一 过程,使 学生再次 领悟任何 一个几何 图形都是 由根本元“面构 成,回归 几何的本 真！类型三：长方体中的最短路径在教师引如图,长方体长、 宽、高分别为5cm、 3cm、4cm. 一只蚂蚁 从顶点A出发沿外表 爬到顶点B.求蚂蚁经过的;小结：解决路径最短问题的r引导学生 思考长方 体与止方 体启何区 别为什 么长方体 有八种展 开方式长,宽, 高的组 合,为 什么排除 后只有二 种重 复引导学生 小结解决 立体图形 上的两点 之间最短 路径问题 的步骤引

7、导学生 将此问题 与利用轴 寻找最短 路径的问 题相结 合.导下,学 生对六种 展开方式 分析排 除,最终 归纳出三 种方式计 算比较得 出最短距 离.总结归纳 做题的步 骤将曲线化 直线,将 此问题转 化型1用 轴对称解 决取短路 径问题.在圆柱体 日勺根底上 提升难 度,变为 止力体, 再变为长 方体,引 导学生由 浅入深, 熟悉到要 解决立体 图形上的 最短路径 问题f 要将其展 开.渗透 分类讨论 思想.在初二上 学期寻找 最短路径 的问题上 提升到求 取短路径 长,表达 勾股定理 是计算线 段长的有 力手段.最短路程.文据是】,的赛也就是将曲面或多闻体展成一个面,然后连接需求最短路径

8、的两点,构 造三角形,用勾股定理的数学模型去解决.解决最短路径问题四部曲1 .展立体展平向2 .找找各种路径3 .算算各种路径的长度4 .比比较各种路径的长度类型四拓展提升：与物体外表和内 部相关的最短路径如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm 底向周长为18cm,在杯内国杯底4cm 点C处有一滴蜂蜜,此时蚂蚁正好 在杯外壁,离杯上沿5二二4cm与蜂蜜相对的靖蚊a八、点A处,那么蚂蚁到达蜂蜜的最短跑离稣是.匕:J1.如图世-个二级台阶,它的年-级的 长、宽、高分别为 20cm、3cm、2cm. A 和B是这个台阶上两个相对的端点,点A 处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的 食物,那么蚂蚁沿着台阶面爬行

9、到点 B的通过配套 练习加深 学生对本 节课所学 知识的印 象和理解稳固练习最短路程为cm.课后完成20-B2.如图,在一个长为 2m,宽为1m的长方 形草地上,放着一根 长方体的木块,它的 棱和场地宽AD平行 且棱长大于AD,木块从正面看是边长为 0.2m的正方形,一只蚂蚁从点 A处到达C处需要走的最短路径是m.秒ACB3 . 一盛满水的圆柱形容器,它的高等于 8cm.底面半径等于3cm, 在圆柱下底面上的 A点 有一条小鱼,它想从点A 游到点B,小鱼游过的最 短路程是多少 假设是 蚂蚁想从点A爬到点B, 最短路程是多少冗的值取3假设把圆柱的高改为2cm呢4 .如下列图,有一棱长为3cm的正方体, 把所有的面均分成3M个 小正方形.假设一只蚂蚁每 秒爬行2cm,那么它从下底面 点A沿外表爬行至侧面的B点,最少要用5.如图,长方体盒子无盖的长、宽、 高分别 12cm, 8cm, 30cm.1在AB中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,最短路程 是多少2此长方体盒子有盖 能