初等数论复习题题库及答案

1、?初等数论?本科一填空题(每空2分)1. 写出 30 以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 a b2. 设a,b是任意两个不为零的整数,那么(-,) =1.(a,b) (a,b)3. 假设a,b是非零整数,那么a与b互素的充要条件是存在整数x, y ,适ax + by=14. 写出180的标准分解式是 22 32 5,其正约数个数有_(2+1)(2+1)(1+1)=18个.a .5. 设a与b是正整数,那么在1,2,川,a中能被b整除的整数恰有个.b 6. 设a,b是非零整数,c是整数,方程ax+by=c有整数解(x, y)的充要条件是(a ,b ) |c7. 假

2、设整数集合A是模m的完全剩余系,那么A中含有 m_个整数.8. (3)=2; (4)=2.9. 当 p素数时,(1)中(p) =_ p -1;(2)平(pk) =pk - pk.10. 设 m 正整数,(a, m)=1,那么 a*m)-1 三 0 (mom ).11. 设p是素数,那么对于任意的整数a,有ap-a三 0 (mop ).12. 2x 十3 三5(mod7) ,WJ x 三 1( m od 7 )13. 同余方程x2三2(mod 7)的解是 4(mod7)P-1n 2 三 1(mod p).p-1n 2 三 1(mod p).14. 同余方程 3x2 +10x +12 三 0(mo

3、d 9)的解是.X=6.15. 假设(n, p) =1, n是模p的二次剩余的充要条件是16. 假设(n, p) =1, n是模p的二次非剩余的充要条件是17. (3)=; ( 4)=1.5518. 设p是奇素数,那么(2) =(T)8p(-1)项,1-119. 设p是向素数,那么(=；(；) =, 5、20.(?=9-1判断题(判断下歹0结论是否成立,每题2分).1. a | b且a | c n对任意的x, y亡Z有a | bx + cy .成立2. 假设(a,b) =(a,c),那么a,b =a,c.不成立3. 假设a2 |b3,那么a | b .不成立4. a 三b(mod m), k

4、a0, k 在 N = ak 三 bk(mod mk).成立5. ac 三bc(mod m) n a 三 b(mod m).不成立6. 假设a2三b2(mod m),贝Ua三b(modm)或a三-b(modm)至少有一个成立 .不成立7. 假设a 三b(mod m),贝Ua2 三b2(mod m2).不成立8. 假设x通过模m的完全剩余系,那么x + b(b是整数)通过模m的完全剩余系.成立9. 假设a,a2,川,am与加,0,川岛都是模湖勺完全剩余系.不成立那么ai +bi,a2十b2,HL am +bm也是模m的完全剩余系.不成立10假设(a,m)=1,x通过模m的简化剩余系,那么ax+b

5、也通过模m的简化剩余系.不成立11. 假设m,m2 肴 N ,( mi, m2) =1,那么甲(mm?) =9(mi)甲(m2).成立12. 同余方程4x2 -3x+3三0(mod15)和同余方程4x2+12x-12三0(mod15)是同解的.成立13. 同余方程ax三b(mod m)等价于不定方程 ax+my=b.成立a14. 当m是奇素数时 ,假设x2三a(mod m)有解,那么(一)=1.成立ma15. 当m不是奇素效时,有(一)=1,那么方程x三a(mod m)一正有解.不成立m三计算题1. 求(1859,1573) . (6 分)1. (-1859,1573) =(1859,1573

6、) =(286,1573):= (286,1573 -286 5) =(286,143) =(0,143) =1432. 求-36,108,204. (8 分)2. -36,108,204 =36,108,204,解：,36 =22 32,108 =22 33,204 = 22 3 17, . 36,108,204 =22 33 17=1836.3. 求(125,17),以及 x,y,使得 125x+17y =(125,17). (10 分)3. 由等式6 =5 +1起逐步回代,得初 1 =6-5 =6-(17-2 6)=3 6-17 =3 (125-17 7)-17解：=3 125-22 1

7、7. 125 3-17 22 =1,x =3, y =-22.4. 求整数 x,y,使得 1387x-162y =(1387,162). (10 分)4由等式9 =4x2+1起逐步回代,得1=9-4 2 =9-4 (11-9) =5 9-4 11 =5 (20-11)-4 11=5 20-9 11 =5 20-9 (71 -3 20)=32 20 -9 71解.=32 (91-71)9 71 =32 91 -41 71 =32 91 -41 (162 -91)=73 91 -41 162=73 (1387 -8 162)-41 162=73 1387 -625 162.1387 73 -162

8、 625 =1.5, 分解12!为质因数乘积.8分6. 求最大的正整数k,使10k |199! . 8分7.,、1求1一喘圳+点.10分8. 求方程8x+17y=43的整数解,6分9. +=(10 分)10. 求方程111x-321y=75的整数解,10分11. 求方程15x/10x2+6x3=61的整数解.8分12. 求不定方程3x+6y+12z=15的整数解.8分13. 求不定方程x +2y +3z =7的所有正整数解.8分14. 将 衰写成三个分数之和,它们的分母分别是2,3和5.10分15. 求方程x2y+2x2 -3y -7 =0的整数解,6分16. 求方程x3 +y3 =1072的

9、整数解.8分17. 求方程5xy+yz+ zx =4xyZ勺正整数解.10分18. 求3406的个位数字与最后两位数字十进制.10分19. 解同余方程6x三7mod23.8分20. 解同余方程12x +15三0mod 45. 8分x 三 2mod 321. 解同余式组 救三3mod5. 6分x 三 2mod 722. 解同余式 f(x)三0(mod35), f (x) = x4+2x3+8x+9.(10 分)23. 解同余方程：x2x& 7x,+x+ 2 三0mod5. 6 分24. 求出模23的所有二次剩余和二次非剩余.8分25. 判断方程x2三5mod11 有没有解.6分26. 563是素

10、数,判定方程x2三429mod563是否有解.8分27. 求以3为其二次剩余的全体素数.8分28. 计算：1您;2 73. 8 分152129. 计算中300. 6分x 三 3mod830. 解同余式组x三11mod20. 10分x =1mod15四证实题1. 设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x, y,使得ax+by=1.求证：假设a|n,b|n,那么ab|n.6分1. n = nax by = nax nby证实： 又 ab | na, ab| nb二 ab n.2. 设a,a2,川,an是整数,且a +a? +111+an =02归2川 a = n.那么 4| n.8 分2假设n是奇

11、数,那么n,a1,a2 J|,an都是奇数,那么a1 +a2 +.| +an =0不可能,二2 n.即在a1,a2|,a至少有一个偶数.如果只有一个偶数,不妨设为a1,那么2不 证实：整除ajQSn.由a2+a3 + HI+an =-a1知,左边是n-1个奇数的和,右边是偶数,这是不可能的.二在a1,a2,HI,an中至少有两个偶数,即4 n.3. 任给的五个整数中,必有三个数之和被3整除.8分3.设ai =3qi r ,0 京：3,i =1,2,3,4,5.证实：1尚在r 中数 0,1,2都出现,不妨设1 =0,2 =1,3=2,那么 &+a2+a3=3q+q2+q3 +3成立.2假设在l中

12、数0,1,2至少有一个不出现,那么至少有三个l取相同的值,令r, =r2 =r3 =rr =0,1或2,那么 a a2 a3 = 3q1 q2 q3 3r成.4. 设a,b是整数,且9|a2 +ab +b2,那么3| (a, b).(8 分)4*9 a2 +ab +b2,. 9 (a b)2 +3ab,.3 (a b)2 +3ab,.3 (a b)2,.3 ab,二 9 (a b)2,.9 3ab,.3 ab,. 3 a或3 b.证实：假设 3|a：3|a b,.3|b.假设3b.：3 a b,.3a.故 3(a,b).5. 设 a, b是正整数,证实(a +b)a,b =ab,a +b .(

13、8 分)ab b(a - b)5. (a b)a,b =(a b)a,(a,b)(a,b)5 日b(a +b) =b,a+b(b,a+b),而(b,a+b) =(a,b),.b(a b) =b, a b( a,b),即b(a *b)a +b, 结论成立(a,b)6. 当 a 三b(mod m)时,又n?0, n 亡 N ,那么a三 bn(mod m). (6 分)6. ：,a 三b(modm),m a -b,证实：乂an bn =(ab)(an+anb+anJ3b2 +|bn.,二 m an bn,即an 三bn(mod m).7. 设A =xi, X2,HI,Xm是模m的一个完全剩余系,以x

14、表示x的小数局部.m证实：假设(a,m)=1,那么,竺n=【(m-1). (10 分) m 27由定理2知,ax +b, ax2 +b,HI ,axm +b也是模m的一个完全剩余系,证实：可设 a% +b =km + j(1 壬 j (. / c 4、qc r. / c 4 qc / Ji4qr令n =4q+r,0 Er 3,那么 1+2+3+4 三(1 )1+(2 )2+(3 )3+(4 )4证实:1r 2r 3r 4r(mod5).n 假设5f +2n +3n +4n,即得5 仃 +2+3+4把r =0,1,2,3代入检验可知 r=0,. 4n;u 假设4 n,那么r =0,易知5 |1r

15、 +2+3+4,二 5 |,1n +2n +3n +4n.10. 设m是正整数,(a,m)=1,证实：x三ba *m)(mod m)是同余方程ax三b(modm)的解.10. ：*(a,m) =1,由Euler定理,那么a*m)三 1(modm).证实： 二 ax 三b 三a*m)b(mod m),7 (a, m) =1, x 三 a (m)-1b(mod m).切11. n是模p的二次非剩余的充要条件是n =-1(mod p).(10分)11. 假设(n, p) =1,那么由 Euler定理,np-1 三 1(mod p), p Ap 1.(n 21)(n 2 -1)三 0(mod p),p

16、 -1p-1证实：p是素数,那么n 2 +1三0(mod p)或n 2 -1三0(mod p)中必有一个成立p-1*/n是模p的二次剩余的充要条件是n 2三1(mod p),p 1.n 2 三 1(mod p).12. 设y a(mod p), y三a2(mod p)都是模p的平方剩余(10 分)求证：y三aa2(mod p), y三bib2(mod p)都是模p的平方剩余 y三qbmod p)是模p的平方非剩余.12. 由定理1知, p 1p-1p-1p-1角2 a?2 =1(modp),.2 =b22 =-1(modp),p -1p 4p -1(a) 2 =(g) 2 =1(mod p),(ab) 2 = 1(modp), 得证.13. 设p,q为两个形如4n+3的奇质数,求证：假设x2三p(mod q)无解,那么x2三q(mod p)有两个解.(10分)14. 设p是适合p三1(mod4)的素数,y %(mod p)是模p的平方剩余证实：y三-a(mod p)也是模p的平方