第五讲_原函数及不定积分_柯西积分公式_解析函数的高阶导数

1、第五讲 原函数与不定积分原函数与不定积分Cauchy积分公式积分公式解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数& 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念& 2. 积分计算公式积分计算公式3.4 原函数与不定积分原函数与不定积分 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由由2基本定理的推论知：设基本定理的推论知：设f (z)在单连通区在单连通区域域B内解析，则对内解析，则对B中任意曲线中任意曲线C, 积分积分c fdz与路与路径无关，只与起点和终点有关。径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在当起点固定在z0, 终点终点z在在B内变动内变动,c f (z)dz

2、在在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作 zzdfzF0)1()()( 定理定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)在在B内解析，且内解析，且)()( zfzF 定义定义 若函数若函数 (z) 在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f (z) ，即，即 ,称称 (z)为为f (z)在在B内的原函数内的原函数. )()( zfz zzdfzF0)()( 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一个的一个原函数。原函数。设设H (z)与与G(z)是是f (z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，)(,)()(0)()()(

3、)( )()(为为任任意意常常数数cczHzGzfzfzHzGzHzG 这表明：这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。( (见第二章见第二章2 2例例3)3) czFdzzf)()(2. 积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是f (z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f (z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析， F(z)是是f (z)的一个原函数，则的一个原函数，则),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式类似于

4、微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强例例1 计算下列积分：计算下列积分：;3,3, 0Re, 31)12iizzCdzzC终终点点为为起起点点为为为为半半圆圆周周：其其中中 解解1) 32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在32319312222222ideideiedzziiiC ：解解., 1arg1)2的的任任意意曲曲线线终终点点为为起起点点为为内内：为为单单连连通通区区域域其其中中zzDCdzzC ).(ln1lnln11l

5、n,1DzzzdzzzzDzC 故故的一个原函数，的一个原函数，是是又又内解析内解析在在解解2)例例3 计算下列积分：计算下列积分：32|332izdzziiii 11111|11 nnnnnzndzz iiizzzzdzziicossin|cossinsin00 小结小结 求积分的方法求积分的方法knkkncxfdzzf 1)(lim)()1( udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3( 0)(,)()4( cdzzfBCBzf则则单单连连通通解解析析若若)()(,)()(,)()5(1010zfzFzFdzzfBBzfzzzz 则则单单连连通通

6、内内解解析析在在若若 利用利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上基本定理在多连通域上的推广的推广,即复合闭路定理即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法路积分的方法.内内 容容 简简 介介3.5 Cauchy积分公式积分公式0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在则则的的一一条条闭闭曲

7、曲线线内内围围绕绕是是内内解解析析在在单单连连通通设设 CdzzzzfzzzzfzDCBzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf的的内内部部曲曲线线在在内内部部的的任任意意包包含含由由复复合合闭闭路路定定理理得得CCz 10,分析分析DCz0C1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 时时当当上上的的函函数数值值在在的的连连续续性性 .,这这就就是是下下面面的的定定理理这这个个猜猜想想是是对对的的DCz0C1猜想积分猜想积分特别取特别取定理定理(Cauch

8、y 积分公式积分公式)内内任任意意一一点点为为它它的的内内部部完完全全含含于于曲曲线线内内任任意意一一条条正正向向简简单单闭闭是是内内处处处处解解析析在在设设CzDDCDzf0)3,)2,)()1 Cdzzzzfizf00)(21)( ).(2)(lim:,)()(.000000zifdzzzzfRKdzzzzfdzzzzfCRzzzKKRCK 只只须须证证明明无无关关的的半半径径与与的的内内部部设设证明证明 )(2)( ,0, 0:000zifdzzzzfRzzK即即要要证证 kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)( 2)()(00 KKdsRdszzz

9、fzf )()(0, 0)()(lim0000zfzfRzzzfzfzz kdzzzzfzf00)()()(2)(lim000zifdzzzzfKR Cdzzzzfizf00)(21)( 积积分分公公式式仍仍成成立立. .上上连连续续及及在在内内解解析析, ,所所围围区区域域在在( (1 1) )若若定定理理条条件件改改为为CauchyBBCBCzf,)( A . . , , f f( (z z) ) . .C C积积分分公公式式 ( (2 2) )定定了了内内部部任任一一处处的的值值也也就就确确则则它它在在区区域域确确定定在在区区域域边边界界上上的的值值一一经经即即若若值值来来表表示示的的值

10、值可可以以用用它它在在边边界界的的内内部部任任一一点点表表明明函函数数在在Cauchy CidzzzzfizfzzC000)(21)(Re:)3( 则则若若A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值. . 200Re)Re(21dRiezfiiii 200)Re(21dzfi 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求： 0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解.1122线线在在内内的的任任意意简简单单正正向向曲曲为为

11、包包含含求求 zCdzzzzC例例2 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzzC 4 212211210 积积分分公公式式由由).1( ,173)(, 3222ifdzzfyxCC 求求表圆周表圆周设设 例例3解解 )613(27)1(62)1( 3)76(230)( 3)173(230173)(173222 iiiifzzizzfzzzizdzzfzzC 故故又又在全平面上处处解析，在全平面上处处解析，内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导本节研究解析函数的无穷次可导性，

12、并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。一点与实变函数有本质区别。6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数求求导导得得两两边边在在积积分分号号下下对对对对积积分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)( Cdzzzzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzz

13、finzfCnn 形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn 而而且且它它的的内内部部任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在其其中中阶阶导导数数为为它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 定理定理证明证明 用数学归纳法和导数定义。用数学归纳法和导数定义。zzfzzfzfDznz )()(lim)( .100000的的情情形形先先证证 Cdzzzzzfizzf 00)(21)( Cdzz

14、zzfizf00)(21)( 由由柯柯西西积积分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(21)()(21)()(000000 令为令为I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21)()(21 则则有有取取则则上上连连续续在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 ）（*)()(21)()(lim)( 200000 Czdzzzzfizzfzzf

15、zf 从从而而有有显显然然，的的长长度度）,0lim(03 ICLdMLzIz .2)()(的的情情形形的的方方法法可可证证式式及及推推导导再再利利用用 n Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)( )( lim)( 依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得 Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(无无穷穷次次可可导导内内解解析析即即在在具具有有各各阶阶导导数数内内在在内内解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn 可可计计算算积积分分用用途途 CzCdzzedzzzrzC225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列积积分分值值例例1iizidzzzzzC12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面处处解析在全平面处处解析解解的的内内部部不不相相交交且且在在取取处处不不解解析析在在CCCizCizCizizez21221122,:.)()2 21222222)()()1(CzCzCzdzzie