强化班余红兵

1、10.1 强化班讲稿余红兵1. 设a,b为有理数,a5+b=2ab.证明:1-ab522 为有理数的平方.2. 平面上存在三个点,使得平面上任意一点到这三点的距离中,至少有一个是无理数.3. 设x1,x2, ,xn为任意实数.求证:存在一个实数x,使得x-x1+x-x2+ +x-xn n-12.这里,y表示实数y的小数部分,即y=y-y.4. 设f(n):N®N,已知对任意正整数n*,有不等式2 f(n)-qn<qq,其中=证明:f(f(n)=f(n)+n对所有正整数n成立.5. 将1,2, ,2n任意分成两组数: a1<a2< <an,b1>b2>

2、; >bn.求证:a1-b1+a2-b2+ +an-bn=n. 26. 设f:R®R,对任意x,yÎR有f(xy)+f(x-y)?f(xy).证明:对任意x有f(x)³0.7. 圆周上写着红、蓝两色数,每个红色数等于两个相邻数之和,每个蓝色数等于两相邻数和的一半.证明:所有红色数的和为零.8. 试确定:对n³2,能否在n´n方格表的每一格中填一个正整数,这些整数互不相同,且每一行、每一列格子中的数之和均为2的方幂.9. 一个2n´2n数表中,每格填了0或者1,其中共有3n个0.证明:可删去n行和n列,使得剩下的格子中的数均是1.

3、10. 将正整数集合分为无穷多个子集A1,A2, 的并.其中,每个A1,A2, 均含有无穷多个元素,并且AiAj= ,对任意i¹j成立.余红兵上课语录（看完后豁然开朗啊！）1. “如果你来这儿就是为了一等奖，请滚蛋！如果你来这儿是为了进冬令营，也请滚蛋！来这里，你是要提高你自己的数学素养。为什么大学重视数学好的人，因为他们被认为拥有更高的思维档次。”注：抱着一颗功利的心去学，很少有人能攀至高峰；即使真的到了峰顶，上了大学之后，对自己的专长没有兴趣，在其它的学科又不够擅长，依然会相当痛苦。2. “比起高斯，你微不足道；比起数学，高斯也微不足道。数学这玩意，太博大精深了，懂不懂啊？” 注

4、：不要觉得自己做出了一些小成绩，就是数学高手。在数学里，没有高手，只有扶手。每一个问题既要纵向（想得透彻），也要横向（广开题路），因为数学的很多领域是相通的，很多问题是多解的。3. “学生上课睡觉我非常厌恶，但吃东西我不反对，例如早餐什么的。但不是让你上课时拿出一瓶酒来。”注：在竞赛中，态度非常重要。不管从前的根基多么好，高中骄傲自满、吊儿郎当三年之后，一定落后于人。4. “九几年的时候他好像拿过一次 IMO 金牌，现在嘛，应该还活着。” 注：在竞赛成绩中斩获颇丰，并不等价于真正得益很大。对数学有兴趣、热情、耐心的人，不管他在数学竞赛层次中走多远，他的实际收益总是最大的。5. “当叫我们干什么

5、我们就干什么，所以中国没有诺贝尔获得者。”注：不要拘泥于老师的任务安排。自己给自己有计划的学习，附以最大的热情，才能有满意的收获。6. “写解答的时候少用我，而用我们。你写我们来证明某个玩意，实际上就是你要证明它，只是恭敬一些。别动不动就下面，请看我的结论。”注：在大家面前、在数学面前，最好低调一点。谦虚严谨，是科学论文里很重要的素养。7. “ “得有攻击性。如果把你困在一个房间里，你会怎么做呢？如果只有当人把门打开的时候才会乖乖地出去，那是猪；如果死命地撞门撞墙期望逃生，那是牛；而人呢，则四周瞅瞅，哦，发现这里有一块墙是虚的，便拿起铁锹在这儿一敲，就造出一个出口。 “遇到难题别立马退缩，要看

6、看手头上还有什么。就好比你揣着二十块钱到商店买东西，突然发现东西是二十一块，这时你是什么反应？不会掉头就开溜吧？不一定会重新数一遍，看看到底是不是二十块，也许数着数着就多一块；或者翻一翻上衣口袋，看看有没有剩余；或者瞄一瞄钱包，看看有没有意外的硬币；实在不行了，还会四处张望一下，看周围有没有熟人能借一块钱。”哪怕无目标的进攻，也可能有意外的收获。这句话的重点不在于“无目标”，而在于“进攻”因为进攻有助于整体把握一个问题，以致于新一轮的进攻变得更有目标。8. “要将最一般、最本质、最简练的形式揭示出来。明明这个形式最简单，你却偏在这里加个 3，那里乘个根号 2，那是神经病。要是有个家伙出不等式题

7、，不等号右边搞一个奇形怪状的无理数，左边的变量范围又复杂得一塌糊涂，那人也是个神经病。 “思考一个东西多想想它的来源是什么，这个长相意味着什么，因为一个东西的长相就意味着东西。多从本质的地方考虑。就好比你是个罪犯，我要全方位调查你，肯定要从你家乡开始调查，小时候什么作风，都跟些什么人在一些玩，有没有什么前科，这些我都要知道，懂不懂啊？ “做一个问题别老逼着自己一定要立即非常接近结果，别总把它当成一个题目做。要学会退一步想东西。就像你踢足球，不是离球门越近就越容易攻门啊；你把球带到底线你想干嘛呢？“唉呀你们这些学的都是什么歪门邪道啊？上来不考虑最本质的东西，原本是很简单的问题，你非要这么搞它。就

8、像我本来只是小感冒，跑医生那儿看病，他啥也不问就马上开刀，这不是神经病吗？你们这些人以后要是做医生肯定是黑医生。得先切切脉，看看气色，才能判断出问题有多严重，需不需要吃药，需不需要开刀，懂不懂啊？”注：看一个问题，别只看到表象。或许它只是羊，却披了张狼皮。常常思考一下，这个地方能不能推广，这个地方能不能加强，退一步看这个问题究竟是什么本质，进一步看这个问题能够有什么应用。这对思维能力有极大的好处。9. “数论这玩意你得小心，尽管有时给它来个加强命题可能更好处理，但这个度很难把握。如果随便把一个本来很简单的小题目加强一下，说不定你就不小心把它加强成一个著名的超级难题，这时候你要把它当练习做，还真

9、需要些非凡勇气。要记住，数论问题稍稍迈多一步，就是万丈深渊。 “别妄想一步成功，别指望把这个问题一眼望到底，要在探索中等待时机，步步为营。就好比一只猩猩看见天花板上挂着一串香蕉，它会就近爬上某张桌上，从桌上跳起来摘，跳了几下够不着时，哎，它就聪明了，它暂时不跳了，等待时机。工作人员一来，它就找准机会跳到工作人员的肩上，再一蹦把香蕉摘下来。猩猩那就叫聪明，换成公鸡就不会这么做。” 注：随意地加强命题和妄想一步成功，都是畏难的隐含表现。只有“步步为营”，一步一个脚印，才能成功，这也锻炼人的韧性。10. “现在随便找一个小学一年级的学生，都知道从 1 加到 100 应该怎么算，他们都是高斯？高斯的方

10、法我现在也不懂，你们谁懂，随便出个题，就把你们全搞死！ “怎么证 1/1+1/4+1/9+1/16+.<2，这个是极难的，什么，你懂？马上就出个题把你给搞死！” 注：不仅题目是不能靠死记来吸收，而且方法也不能靠硬背来掌握。往往你觉得某个题用某个方法很简单，但其实这个题用这个方法是别人告诉你的；你知道了，当然觉得简单。一个方法，在不同的问题中，常有不同的表现形式，而且运用这个方法的时机要掌握好。所以，要真正掌握一个方法，要考虑这个方法本质上意味着什么，它能带来什么作用。11. “对是对，只是 Delta 前面少了“判别式”三个字。Delta 只是一个符号，它还可以表示 #$%&*谁

11、知道你指的是判别式（一堆例子）。 “这就好比我在心中给你取了个绰号叫胡闹，然后我突然就对着你叫胡闹，周围的人都肯定迷迷糊糊不知道我在说什么。” 注：书写一个问题的解答，或者向别人解释一个问题，一定要站在对方的角度上，该说明的地方一定要说明清楚。向别人解释一个问题时，尤其忌讳用代词。“它属于它们之一”，稀里糊涂，谁知道它是谁？它们又是谁？把问题解释清楚，不仅能保住因书写漏洞而容易丢失的分，更重要的是能提高数学思维的严谨性，因此相当关键。12. “如果你在两个月把这个问题给想通了，那么你是值得赞扬的。 “如果你在两年以后还能回忆起这个问题是怎么做的，说明你才真正理解了这个问题的动机。 “你这不是在

12、看书，是在校稿！看解答有什么用，看一万道题也没用，哦，这一步是对的，哦，这一步是没问题的，所以这题就是这么做的，可你体会了这么做的动机了吗？ “我的一个朋友送给了我一本很厚的书，我翻了翻就觉得这本书全都是题目和解答，实在毫无用处。那个朋友还很好心的想送我这套书里的其他几本，被我婉言谢绝了。之后我就把这本书从窗口扔了出去。书架很贵，不能用来放垃圾。” 注：做一个题目，动机非常重要。知其然，不知其所以然，是大多古代私塾的典型教育模式，也是任何学习中的最大障碍，因为既浪费了时间，又没有任何收获。记住了再多的题目解答，如果不明白这些解答的动机，很快就会忘记。动机常常要自己琢磨，加上书上的引导。如果自己

13、在这方面有所欠缺，那么选择好书就尤为重要。能深入剖析解答动机的书是非常优秀的，例如奥数教程（高三分册）。而题典一类的书只能说，大多是垃圾，无论里面选的题有多好，仅供观赏。13. “” 注：没什么说的，递推非常重要。递推本质上是归纳，无穷递降法本质上也是归纳。所以，归根结底，归纳极为重要。其余的话不要觉得数学一等奖保送是件容易的事；而且单单拿到一等奖，保送情况仍然不容乐观，除非自己的其余科目也不落后。总之，若想借助保送机会来使自己中学能够松懈下来，一定会吃苦头。初中的两大关键是代数和组合，它们都是为了高中作准备。代数如果不好，硬功夫就会欠缺；组合如果不好，灵活性就会不够。这两方面是相辅相成的。 书写必须注意。草稿方面，最好分栏，总之要整洁，不要横七竖八，否则当一个问题的思路卡住的时候，退到上一步就显得非常