电动力学复习总结电磁波的辐射2012答案

1、第五章电磁波的辐射一、填空题1、色散现象是指介质的是频率的函数.答案:2、假设一电流 J=40 x8stez,那么它激发的矢势的一般表示式为A二r、,40 xcost-eZdv答案：A0c4vr3、变化电磁场的场量E和B与势A、的关系是E=,B=A答案：E,BAt4、真空中电荷只有做运动时才能产生电磁辐射；假设体系电偶极矩p变为答案：加速,81P05、势的标准变换为A,答案：AA,t6、洛仑兹标准辅助条件是；在此标准下,真空中迅变电磁场的势满足的微分方程是1答案：AJ20,c2t7、真空中一点电荷电量qq0sint,它在空间激发的电磁标势为振幅P P0不变,当辐射频率有由时变为3,那么偶极辐射

2、总功率由原来的rq0sint一c0r8、一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为,绕圆环的轴线以角速度.答案:A.J_c2t0B.1c2tC.t20D.工二c2t2答案：过偶极子中央垂直于偶极距的平面答案：不会体系的电流密度Jx,t,那么它的电偶极矩对时间的一阶微商为答案：JX,tdvv答案：辐射电阻,-2真空中,电偶极辐射场的电场与磁场忽略了的高次项之间的关系电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体外表时,对物体外表就有答案：辐射压力选择题1 .电磁势的达朗贝尔方程成立的标准换条件是9、真空中某处有点电荷 qitq0e 那么决定离场源r处t时刻的电磁场的电荷i(t-r)答案：q(r,t)q0ec

3、10、2KA,11、12、13、14、15、16、17、速转动,它产生的辐射场的电场强度为自由空间中电磁场矢势为A,波矢为K,那么电磁场的标势真空中电荷 Qt距场点 9106m,那么场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷秒时刻激发的.答案：0.17s电偶极子在方向辐射的能流最强.稳恒的电流填写“会或“不会产生电磁辐射.短天线的辐射水平是由来表征的,它正比于答案：B2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生A.电场B.磁场C.电磁辐射答案：C3.B4.B3.关于电磁场源激发的电磁场,以下描述不正确的选项是A.电磁作用的传递不是瞬时的,需要时间；B.电磁场在传播时需要介质；C.场源的变化要推迟一段时间才能传

4、递至场点；D.场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,具满足的条件是答案：B6.对电偶极子辐射的能流,假设设8为电偶极矩与场点到偶极子中央连线的夹角那么平均能流为零的方向是三、问做题1、 电磁波是怎样产生的.你能否从微观方面来说明为什么电磁波遇到边界面时会发生反射和折射现象.答： 电磁波是由运动的电荷产生的,当电磁波遇到介质界面时,电场、 磁场引起介质极化、磁化.变化的电磁场使极化电荷产生振荡,生成的电磁波就是反射波和折射波.2、电磁标准,除洛仑兹标准外,还有所谓库仑标准,其附加条件是A0o试问：在标准变换式AAA,7中,怎样选择空时

5、函数,D.位移电流波长与天线相比很长天线具有适当的形状D.0,反比于场点到偶极子距离的平方反比于场点到偶极子距离A.波长与天线相比很短B.C.波长与天线近似相等D.答案：B5.严格的讲,电偶极辐射场的A.磁场、电场都是横向的B.C.电场是横向的,磁场不是横向的磁场是横向的,电场不是横向的D.磁场、电场都不是横向的A.-；B.-；C.答案：D7.电偶极辐射场的平均功率A.正比于场点到偶极子距离的平方B.C.与场点到偶极子距离的无关D.答案：C才是为库仑标准？采用库仑标准时,电磁势方程取什么形式？AAA解：标准变换式?,7采用库仑标准:4AJXo即在标准变换中当满足20 是,就是库仑标准.采用库仑

6、标准时,电磁势方程所取形式:3、在什么条件下可选取0,A0这样一种标准条件？此时,E,B 与势的关系是什么形式?解：假设采用库仑标准,且=0,J=0 的自由空间,势的方程变为:1A1八2.220ctct0当在空间没有电荷分布时,把 0 代入式,解得:可以选取库仑场的标势0,TATA( (IkJJAIkJJAt tt)LBJAtt)LBJAtX X-Rie4At.t.A AJIAJIAJIAJIAJIEJIE4、假设用矢量场Z常称为赫兹矢量表小电磁势A,如下,还满足洛仑兹条件吗?解：洛论兹标准辅助条件为:0,将1Z,代入得:c2t故满足洛伦兹条件.5、我们此时此刻接收到的太阳光,大约是太阳上八分

7、钟以前激发的,据此,试估算太阳与地球的距离.(X,t-)J(X,t-)解：根据推迟势解：(.？)-dv,A(x,t)0c-dv40r4r!可以看出,电磁作用是有一定的传播速度,空间某点 X 在某时刻 t 的场值不是依赖于同一时刻的电荷电流分布,而是决定于较早时刻t,时电荷电流分布,反过c来说.电荷产生的物理作用不能够马上传至场点,而是在较晚时刻才传至场点所以推迟的时间/正是电磁作用从源点X传至场点X所需的时间,c 是电磁作用的传播速度.所以太阳与地球距离 rct3108mS860s1.441011m.6、假设自由空间电磁波的矢势AA0cos(kz21010t)ey,求电磁波的标势及电场强度.c

8、12A解：自由空间电磁波满足2A-2A0,其解为 AA,t)ct实数形式为 AA0cos(Kxt),与的AA0cos(kz2101t)ey比拟,得Kkezez,2101N,AAey根据洛伦兹标准条件：c2A得：KA0,电场强度 E-Ai0A0e(KX:取实数：7、试证实：在洛仑兹条件成立的情况下,有限辐射体系在远区的标势可用公式cnA表示.证实：由于有限辐射体系在远区的矢势展开有：(仅考虑在一定频率的交变电流情形),第一项最低次项,那么有：|AiknA.1-X1-X/./.V VIAIA的1-R留保只4P阳一R解：因满足标准变换的A,A,描述同一电磁场,式的Z分量为：AzAz一z依题意要求 A

9、Z0,那么AZ,由以上分析知：只要选择一个标量函数z使之满足AZ,必然可以找到矢势A,且 Az0z9、垂直放着的短天线可看成电偶极辐射天线向四周辐射电磁波.当一个移动的接收台在远处接收信号时,问在什么位置收不到信号？什么位置收到的信号只是最强信号的二分之一？解： 电偶极辐射的平均能流密度一一 23-SinC3R2这说明电偶极辐射具有方向性试证实作用的结果,相当于代换：iknikR0e4R只保存R的最低次项,由于作用R分母上后所得项更小,可忽略.即,d依洛伦兹条件有:8、能否找|A1一0,iknAi0ctc0 的矢势A,A与 A 描述同一个磁场cnA即：AA(1)S 正比于 sin2322090

10、： 的平面上辐射最强当 SS巧sin245,10电偶极矩辐射的矢势解提示：挑选满足为任意标量函数t当 0,时,没有辐射,工时,sin2-22,计算电磁场时,需要对A作用算符仅需作用于 eikR上.例如,令 jpAO,4R11、一些荷质比目相同的带电粒子组成的体系,不会有电偶极辐射.为什m么？解：设体系有N个粒子,第i个粒子的质量为 mi,电荷为 ei,总质量为M那么电在v?c的非相对论情形,应用质心运动定理,设质心的矢径为 RmmiXmxj口口 4,/曰 4ei4R即mMR,得：PMR,mMmi代入式得：P-MRm由于系统不受外力,那么质心加速度 R0P0,所以没有电偶极辐12、电磁场具有动量

11、的证据是什么？电磁场也遵从的动量守恒定律,说出 f,g,T的物理意义.答：电磁波入射至物体外表有辐射压强.f:作用力密度,g:动量密度,T:动量流密度张量；Tj 表示垂直于i轴单位面积单位时间内流过的动量的j分量.13、一个体系的磁偶极辐射场取决于该体系磁矩 m 的对时间的两次求导数mo 说明荷质比相同的带电粒子系无磁偶极辐射.解：体系的磁偶极矩：L是体系角动量,系统不受外力时,角动量守恒,因此：*m1&L0,22mi所以不会发生磁偶极辐射.四、计算与证实1.假设把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两局部,写出E和B的这两局部在真空中所满足的方程式,并证实电

12、场的无旋局部对应于库仑场.解：真空中的麦克斯韦方程组为EB/t,(1)E/0,(2)B0J00E/t,(3)偶极矩 PNIeiXB04如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场,并分别用角标L和T表示,那么：由于B0,所以B本身就是无散场,没有纵场分量,即BL0,BBT；EELET,EL0,ET0；JJLJT,JL0,JT0；(1)得：(ELET)ETBT/tET)EL/00(JLJT)00(ELEL)/t(0JL00EL/t)(0JT00ET/t)(7)/t 得：JL/t(0EL/t)(0EL/t),所以JLEL/t,即所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：ETBT/tBL0JL0EL

13、/t0上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布,所以 EL对应静止电荷产生的库仑场.2.证实在线性各向同性均匀非导电介质中,假设 0,J0,那么E和B可完全由矢势A决定.假设取0,这时A满足哪两个方程？解：在线性各向同性均匀非导电介质中,假设 0,J0,那么麦氏方程表示为：JL7）式简化为0EL/t0BT0JT00ET/tBT0JT00ET/tEL/010)562得：EL3得：BT由电荷守恒定律 J又由于 JL08）9EL0 引入标势,ELEL/0得,EB/tHD/tD0B0其中,DE,HB/,由于4式,引入矢势A,使BAB可完全由矢势A决定.将5代入1,得：EA/t0,由此引入标势,使 E

14、A/t,即EA/t将7式代入3得：22/tA012）3）4）5）678(9)、(10)即为0时A满足的两个方程.3,证实沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势 A()表示,其中垂直于z轴方向.证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播,势的方程为沿z轴方向传播的平面波解为2,ckA/所以E和B只与矢势的横向分量有关,即平面电磁波可由 A 来表示,即BAikA,EcBn0ei(kzDA0ei(tz/c)A0ei根据题意 A 可记为 A(),其方向与z轴垂直.4.设真空中矢势A可用复数傅里叶展开为 A(x,t)ak(t)eikxak(t)eikx,其k中 ak是 ak的旻共腕.2dak(t)dt2而 k

15、2c2ak(t)k2c2A(x,t)eikxdx2于是dk2kcak(t)eixcAkcA(x,t)dx(3)如果取将(5)、2A0,由(8)式得：A0(7)代入(2),并注意到0,得:4A0(9)(10)AA0ei(kzA与满足洛伦兹条件：Ai(kzt)0e00/t00 所以 ikA00,其中 A解(1)(300(1)0J,考虑到真空中式化为eikx(c22A)dx(2)因此,只要给定A,就可以确定,从而E和B随之确定.由于EcBn证实 ak满足谐振子方程 4ak(t)k2c2ak(t)dt2中选取标准A0,0 时,证实 kak把E和B用 ak和 ak表小出来.(1)证实：由于 A(x,t)

16、ak(t)eikxak(t)eikxk所以,根据傅立叶级数的正交性,必有： 2,、2、dak(t)A(x,t)ikx.22edxdtt在洛伦兹标准下,2A002A/t2dt由于 A(x,t)ak(t)eikxa；(t)eikx,所以k所以(3)式右边积分中,被积函数为0,积分为00所以ak满足谐振子方程(3)2dak(t),22kdt中选取标准由于ak(t),A(x,t)2,、一cak(t)0.A0,0 时ak(t)是线性无关正交组,所以要使上式成立,必有ak(t)eikxak(t)eikx,所以k5.设A和是满足洛伦兹标准的矢势和标势.(1)引入一矢量函数 Z(x,t)(赫兹矢量),假设令、

17、I1ZZ,证实 A-2.ct(2)假设令P,证实 Z(x,t)满足方程2ZJ_2Zc2-tT0P,写出在真空中的推迟解.(3)证实E和B可通过Z用以下公式表出:(1)证实:r、2c1Z)c2OP,BFZ.ct是满足洛伦兹标准的矢势和标势,A4一0c2t所以有(1)即:代入(1)得：1A2(ct1Z一一.(J2-),所以,c2tZ)0(2)(3)(2)证实:将由于标势在洛伦兹标准下有方程:Z 代入,得：(2Z)12c(4)P,那么上式化为2Z)2c与方程2Z12Z-272ctP00P(5)2AJAA2x2ctOJ的推迟解A(x,t)J(x,t比,得方程(5)在真空中的推迟解为(3)将2_Z(x,

18、t)JW-r/c)4r1Z、Z,A-2 一代入 EctdVA/t 及BV类(6)A,得:_.21E(Z)cop,B2Zct6.两个质量、 电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞,证实电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生.证：电偶极矩的变化产生的辐射场为：ikRikRee,、B-3(Pn),E-_2-(Pn)n40cR40cR磁偶极矩的变化产生的辐射场为：ikRikRE0e(mn),B0e3(mn)n4cR4c3R在两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞的过程中,取两粒子的连线为x轴,那么系统的电偶极矩由于两粒子质量相同,根据牛顿第二定律,有 X1X2,所以 P0,因此系统的电偶极矩产生的辐射场为0;

19、又由于系统的磁偶极矩m0,所以系统的磁偶极矩产生的辐射场为0,即两个质量、 电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞,电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生.7 .设有一球对称的电荷分布,以频率沿径向作简谐振动,求辐射场,并对结果给以物理解释.解：由于电荷为球对称分布,不失一般性,设球面上均匀分布了总电量为 Q 的电荷,于是,球面电荷密度为取如下图相对的两块小面元dS1,dS2,由于两块小面元对应相同的立体角,故有相同的面积dS1dS2,由于两电荷元 dq1,dq2球对称分布,又以相同的频率沿径向作简谐振动,所以有p0,m0故此两电荷元的振动不能产生辐射场.根据场的叠加原理整个球对称分布的电荷体系沿径向的简

20、谐振荡是不能产生辐射场的振动,辐射场为008 .一飞轮半径为R,并有电荷均匀分布在其边缘上,总电量为 Q.设此飞轮以恒定角速度旋转,求辐射场.解：设飞轮边缘的厚度为 d,于是边缘上的电荷面密度 Q/2Rd,体系的电偶极矩为pddlxxdl2Rd2R2体系的磁偶极矩 mISQR2ezQ-ez22由此得 p0,m0,故辐射场为0o9.利用电荷守恒定律,验证A和的推迟势满足洛伦兹条件证实：推迟势A与可写作：A(x,t)J(x,t)dV,(x,t)(x,t)dV,4V,r40Vrrxx其中 ttt.cc对于 r 的函数,有由于 J(x,t)1r1rctct所以 J(x,t)J(x,t)t,constJ

21、(x,t)J(X,t)dVcJ(x,t)dS0,所以 rs,r1n1所以 A/Z/,JCconst由电荷守恒定律,J(x,t)t,刈40即得A和的推迟势满足10.半径为 Ro的均匀永磁体,磁化强度为 Mo,球以恒定角速度绕通过球心而垂直于 Mo的轴旋转,设 R0c,求辐射场和能流.(提示：M0以角速度转动,可分解为相位差为/2 的互相垂直的线振动；直角坐标基矢与球坐标sincoscoscossineRsinsincossincosecossin0e解：此题相当于一个位于原点的磁偶极子的旋转,此磁偶极子的磁偶极矩为:43-mR0Mo3其旋转振荡可分解为x,y方向上相位差为乂2的简谐振荡的合成.4

22、3nmx-R0M0cos(t)ex,3用复数形式表达为：mx-R3Moeimyi4R03M0eitey3y3y根据磁偶极矩辐射场公式 BeikR(mn)n,得 4c2R23同理可得 Byi0RMoei(kRt)(eyer)er3cR再根据直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系同理,根据辐射场公式EeikR(mn),s4cR及坐标基矢变换关系,可得：11.带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动,盘旋频率为.求远处的辐射电磁场和辐射能流.j_i_c240V,rtdV4v,rdV,tex基矢变换关系为 eyez420m2n2-3-7sinn322c3R22eaei 屹屹解： 带电粒子作匀速圆周运动,其磁偶极矩但此系