空间曲线的切线与空间曲面的切平面

1、第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 ”x = x(t) 设空间的曲线 C 由参数方程的形式给出： y = y(t) , 、Z = Z(t) 设tot (：，J , A(x(to), y(to), z(to)、B(x(ti), y(ti),z(ti)为曲线上两点,A, B 的连线AB称为曲线C的割线，当B A时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线 C 在点A的切线. 如果x =x(t), y=y(t), z = z(t)对于t的导数都连续且不全为零(即空间的曲线 C 为 光滑曲线)，则曲线在点 A切线是存在的因为割线的方程为 x x(t) _ y y(t) _

2、 zz(t) x(tj - x(to) y(tj - y(to) z(ti) - z(to) 也可以写为 x x(t。) _ y y(t。) _ z z(t。) x(tj - x(to) y(tj - y(to) z(tj z(to) t -to t -to t -to 当B A时，t to，割线的方向向量的极限为 J(to), y(to), z(to)1，此即为切线的 方向向量，所以切线方程为 X x(to) _ y y(to) _ z _z(to) x(to) 一 y (to) z(to) 过点A(x(to), y(to), z(to)且与切线垂直的平面称为空间的曲线 C 在点 A(x(t

3、o), y(to), z(to)的法平面，法平面方程为 x(to)(x-Xo) y(to)(y - yo) z(t)(z - z) = 0 如果空间的曲线 C 由方程为 y =y(x),z =z(x) 且y (xo),z (xo)存在，则曲线在点 A(Xo, y(Xo), z(Xo)的切线是 法平面方程为x -Xo 1 y - y(xo) y (xo) z -Z(Xo) z (Xo) (x-Xo) y (Xo)(y - y(Xo) z(Xo)(z-z(Xo) =0 如果空间的曲线 C 表示为空间两曲面的交，由方程组 F(x, y,z)=0, c:丿 G(X, y,z) =0 组存在定理条件，则

4、由方程组G(x：z)：o在点A(xo,yo,zo)附近能确定隐函数 y =y(x),z =z(x) 有yo =y(xo),z =z(xo) 理=丄”F,G),生 =一1 c(F,G)。于是空间的曲线 C在 ，dx J c(x,z) dx J c(y, x) 点A(xo, y，Zo)的切线是 X - X。 y - y。 Z - Zo 1 ddz dx A dA xxo y yo z zo 亘F,G) f(F,G) f(F,G) 巩y,z) A 召(z,x) A f(x,y) A 法平面方程为 程和法平面方程有相同形式。 所以，当向量 时，空间的曲线 C 在A(x0, y0, z0)的切线的方向向

5、量为r 例 6.32 求曲线x = a cos：, y = asin = ,z=bd在点：i.-a,0, b二处的切线方程. 解 当 v -二时，曲线过点 -a,O,b二，曲线在此点的切线方向向量为 确定时, 假设在A(xo, yo，Zo)有J (F,G) 点(y,z)A -0，在A(Xo,yo,zo)某邻域内满足隐函数 类似地，如果在点 (x -Xo) A .XF,G) ： (y-y。) A 工(F,G) 级 x, y) (z- zo) = 0 A A(X0，y0，z0)有號 A -0时，我们得到的切线方 VA 0F,G) 级乙X)A ：(F,G) (x, y) ；.-asin J, aco

6、sv, bj-O,-a,bf, 所以曲线的切线方程为 xx(t。) y y(t。) z z(t。) 0 -a b x a y z - b 二 即 0 - a b . 二、空间曲面的切平面与法线 设曲面S的一般方程为 F(x,y,z) =0 取Po(xo，yo，z。)为曲面S上一点，设F(x,y,z)在Po(x,yo,Zo)的某邻域内具有连续 偏导数，且 F；(xo, y,乙) F；(xo, y,Zo) Fz2(xo ,y,zo) = 0。设 c 为曲面 S 上过 Po(Xo, y,Zo)的任意一条光滑曲线： X 二 x(t) c： y = y(t) 二=z(t) 设 X。二 x(t), y 二

7、 y(t), z 二 z(t)，我们有 F(x(t),y(t),z(t) =0 上式对t在t二t0求导得到 I I I Fx (x, y,z0)x (t) +Fy (x,y,z0)y (t)十 Fz (x,y0,z)z (t。)= 0 因此，曲面S上过P0(x0, y0, z0)的任意一条光滑曲线 c在P0(x0, y0, z0)点的切线都和 向量 n =Fx (x0,y,z),Fy (x, y,z), Fz (x, y,z) 垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为 ，平面就称为曲面S在P0(x0,y0,z0) 的切平面，向量n称为法向量。S在P0(x0,y0,z0)的切平面方程是 Fx (X

8、o, yo,Zo)(x Xo) Fy (Xo,yo,Zo)(y - y) Fz (x, y, Zg)(z - zj = 0 过点Po(xo, yo，Zo)且与切平面垂直的直线称为曲面 S在Po(xo,yo,zo)点法线，它的 方程为 (x -X。) (y - y) (z -乙) Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz (xo,yo,z) 设曲面S的方程为 F(x,y,z) =O 若 F (x, y, z) 在 S 有 连 续 偏 导 数 且 Fx2(Xo,yo,Zo) Fy2(Xo, yo,Zo) Fz2(Xo, yo,z) = O ,则称 S是光滑曲面。由上面讨论可 以知道

9、光滑曲面有切平面和法线。 若曲面S的方程的表示形式为 z = f (x, y)，这时，容易得到 S在Po (xo, yo, zo)的切 平面方程为 fx(Xo,yo)(x-x) fy(x,y)(y -yo)-(z-z) =O 法线方程为 (x -X。)_ (y-y。)_ (z-zo) fx(Xo,yo) fy (Xo, yo) -1 我们知道，函数z二f(x, y)在点(xo, yo)可微，则由 Taylor 公式知 f (x,y) - f (Xo, yo) = fx(Xo, y)(x - Xo) fy(x,y)(y - y) O( _(x -x)2 (y - y)2) 也就是说， 函数 z

10、= f(x,y)在点(xo,y)附近可以用S在Po(x,yo,Zo)的切平面近似代 替，误差为.(x - Xo)2 (y - y)2的高阶无穷小。 若曲面S的方程表示为参数形式 x = x(u,v) S: y = y(u,v) .z = z(u,v) 设 Xo =X(Uo,Vo),yo =y(Uo,Vo),Zo =Z(Uo,Vo)， Po(Xo,yo,Zo)为曲面上一点。假设 在 FO(Xo,yo,Zo)有J = g(x, 式O ,在Po(Xo, yo,Zo)某邻域内满足隐函数组存在定理条 讯U,v) Po 件，则由方程组丿X =x(u,v),在点po(Xo，yo，Zo)附近能确定隐函数(即X

11、和y的逆映射) y =y(u,v) u = u(x, y),v 二 v(x, y) 满足u0 = u(x0, y0 ),v0 = v(x0, y0)于是，曲面S可以表示为 。 z = f(x,y) =z(u(x, y),v(x,y) 由方程组丿 x x(u,v)，两边分别同时对x, y求偏导得到 j = y(u,v) ；:y _ cv ：x 一 ：(x ,y)， 一 ：(x, y) :：(u,v) :：(u,v) .x :x -：u _ _ ：v 竺=:：u ：y - -：(x, y) ：y 巡 y) c(u,v) c(u,v) ：:(y,z) ：(u,v) /(x, y) / (u, v)

12、：(乙 X) f(u,v) / e(x, y) / (u,v) 所以，S在 P0 (x, Yo, z)的切平面方程为 法线方程为 x - xo y 一 yo z - zo 久y,z) 讯Z,x) (x,y) 讯u,v) (Uo ,Vo ) 讯U,v)(Uo,vo) 点(U,v) (Uo，Vo) x 例 6.33 求曲面z = y In 在点(1,1,1)的切平面和法线方程。 zfx 二 ZuU (y,z) (u,v) (x -Xo) (Uo，Vo) ：(z, x) (Uo，Vo) (y 一 YO) ：(X, y) (Z-Zo)=O (Uo，Vo) ZuUy Zvvy 解曲面方程为 x T F(

13、x, y, z) y ln z=0，易得 n =1,1,-2 z 切面方程为 (x 一1) (y 一1) _2(Z-1) =0 即 x y -2z = 0. 法线方程为 x -1 y -1 z -1 1 一 1 一 -2 习题 6.6 1 求曲线 x = a cos a cost, y = a sin a cost, z = as in t 在点 t = t0 处的切线和法平面方 程. 2 .求曲线 x2 y2 z2 x y z = 0 =6在点（1,-2,1）处的切线和法平面方程. 3 .求曲面 y = arctan在点（1,1,二/4）的切平面和法线方程。 x 4。证明曲面 3 xyz=a

14、 （a 0）上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。 5 .证明曲面 z =xf （丫）上任意一点的切平面过一定点。 x 第七节极值和最值问题 一、无条件极值 与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。 定义 6.3 n元函数f(Xi,X2, ,Xn)在点P(x；,x2,，x：)的一个邻域U(F0) Rn内 有定义。若对任何点 P(xj,x2，xn)U (P0)，有 f(P。)- f(P) 或( f(P。)乞 f(P) 则称n元函数f(X1,X2，Xn)在Po(Xi0,x0，x0)取得极大(或极小)值， Po(x10,x0 , X0)称为函数f (Xi,X2/ , Xn)的

15、极大(或极小)值点。极大值和极小值统称 为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。 类似一元函数，我们称使得 n元函数f (x1,x2/ , xn)的各个一阶偏导数同时为零的点 为驻点。我们有如下定理。 定理 6.28 若PO(X, X/ , X0)为n元函数f (Xi,X2/ , Xn)的极值点，且 f(Xi,X2, ,Xn)在Po(Xi0,x；,x0)的一阶偏导数存在，则 Po(x0,x0，,x0)为n元函数 f (Xi, X2,Xn)的驻点。 证考虑一元函数 Xi) = f (x；，,Xi,，x0)(i =1,2n)，则Xi 是 (xj的极值点， Fermat 马定理告诉我们，可导函数在极

16、值点的导数是零，于是 (X)二 fXi (Xi0, , ,x：) = 0 和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。 而偏导数不存在的点也有可能是极值 点。 判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多， 下面我们仅对二元函数不加证明给出一 个判别定理。 定理 6.29 若Po(Xo, yo)为二元函数f (x, y)的驻点，且f (x, y)在Po(x, y)的一个 邻域U (P) R2中有二阶连续偏导数。令 A = fxx(X0, y), B = fxy(X0,y),C = fyy(X0, y), A B 2 Q = = AC - B ， B C 则 (1) 当 Q 0 时，若 A 0， f

17、 (x, y)在 P0(x0, y0)取极小值；若 A：0, f(x,y) 在P0(X0, y 0)取极大值； (2) 当 Q 0 时，f(x, y)在 P0(X0,y。)不取极值； (3) 当Q = 0时，f (x, y)在P0(x,y。)可能取极值，也可能不取极值。 例 6.34 求函数z = x2y3(6 - x - y)的极值。 解解方程组 r f cz 3 一 = xy3(12 _3x _2y) =0 疋x CZ 2 2 = x2y2(18_3x-4y) = 0 ;y 得驻点为P(2,3)及直线x = 0, y = 0上的点。 2 对 P(2,3)点有 A 二-162,B 二-108

18、,C 二144,AC -B 0 ,于是函数 z在 P(2,3) 取积大值z(Po) =108。 x = 0 容易判断，满足条件丿 的点为函数z的极小值点，极小值为 0;满足条件的 0 6 一、 最值问题 在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问 题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。 我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值 点；函数的最大值和最小值统称为最值。 1、一元函数 设y = f (x)是定义在闭区间a,b上的连续函数，则 f (x)在a,b上一定有最大值和 最小值。区间的两个端点

19、a和b可能成为其最值点，而如果最值点在开区间(a,b)取得的话， 则一定是f (x)的极值点，即是f (x)的驻点或是使导数f (x)不存在的点。假设 f (x)的所 有驻点是X；,X；,X：，使导数f (x)不存在的点是X；,X；，X；，那么 max f (x) | xa,b =max f (a), f (b), f (x；),f (x；), f(X12)*f(xm) 1 1 2 2 min f (x)|xa,b = mi n f (a), f (b), f (捲),f (xj, f (冷)，f(x；) 例 6.35 求抛物线y2 = 2x上与(1,4)最近的点。 解 设(x,y)是抛物线y

20、2 =2x上的点，贝U (x, y)与(1,4)的距离是 d厂厂(y匚4)2(y2 -1)2 (y-4)2 耳2 考虑函数f(y)二d2，由f(y)=0，得到唯一驻点y=2，于是抛物线y2 = 2x上与 (1,4)最近的点是(2,2) 2、多元函数 类似一元函数，n元函数f(X1,X2，Xn)的最值问题就是求 f(Xi,X2，Xn)在某个区 域D ：_ Rn上的最大值和最小值， 我们只需求出f(Xi,X2/ ,Xn)在D内部的所有极值和边 界上最值，从中比较就可以选出 f(Xi, X2，Xn)在D上的最值。 例 6.36 求平面X 2y 4与点(1,0,-2)的最短距离。 解 设(x, y,z

21、)是平面X 2y z =4上的点，贝U (X, y, z)与(1,0,-2)的距离是 d = J(x 1)2 +y2 十(z+2)2 =*(” 一 1)2 +(6 x y)2 考虑函数f (x,y) =d2，由fx =0, fy =0 ,得到唯一驻点(11/6,5/3)，于是平面 5j6 X 2y 4与点(1,0,-2)的最短距离是 d(11/6,5/3)二 6 三、条件极值问题和 Lagrange 乘子法 前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n元函数 f(X1,X2，Xn)，然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问 题是有约束条件的，即条件极值问题。 一

22、般来说，条件极值问题是指：求目标函数 n元函数y = f(xX2，Xn) G(X1, X2，Xn) = 0 在一组约束条件 严(X1,X2，Xn) =0 (m 5 下的极值。 | Gm(Xj, X2, Xn)二 0 我们可以尝试对上面方程组用消元法解出 m个变量，从而转化为上一节的无条件极值 问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以， 我们需要给出一种新的方 法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即： 求目标函数z = f (x, y)在一个约束条件F (x, y) =0限制下的极值问题。 假设点P0(X0，y0)为函数z二f (X, y)在条件

23、F(x, y)=0下的极值点，且 F(x,y) = 0 满足隐函数存在定理的条件， 确定隐函数y = g(x)，则x = x是一元函数z = f (X, g(x)的 极值点。于是 fx(x,y) fy(X0,y)g(X0)=0 10 fx(Xo,yo)Fy(Xo, y) f y(x, y )Fx(x, y) =0 令 ，于是极值点Po (x0, y0)需要满足三个条件： Fy(x,y) |fx(xo，yo) ，Fx(Xo，yo)=0 fy(xo，yo)*，Fy(xo，yo)=0 i F(xo，yo)=0 因此，如果我们构造拉格朗日函数 L(x, y, J = f (x, y)F(x, y) 其

24、中， 称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是 Lx(xo, y) = fx(xo,y)Fx(xo, y) = 0 “ Ly(x, y) = fy(x, y) 5Fy(x, y) =0 i (Xo，yo) = F(Xo，yo) = o 也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。 可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。 类似地，求目标函数 n元函数y二f (xi,X2/ ,Xn) G(XI,X2，Xn) =0 在一组约束条件(G2(XI,X2,Xn) =0 (m n)下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗 I Gm(Xi,X2, Xn) =0 日函数为 m X) G(XI,X

25、2，,Xn) i# 于是，所求条件极值点满足方程组 11由隐函数存在定理得到 用这种方法去求 L(XI,X2 f (XI,X2 m 二 fxn 亠二：j j丄 L 1 - G1(X1, X2 , , Xn ) = 0 Lm =Gm(Xi,X2, ,Xn)=0 例 6.37 横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于 S，问其尺寸怎样时，此 盆有最大的容积？ 2 1 2 解设圆半径为r，高为h，则表面积S =二(r rh)(r 0, h 0)，容积V r2h。 2 构造拉格朗日函数 r 2 -.2 S L(r, h, ) = r h - (r rh ) n 解方程组 Lr(x,y。)=2rh

26、 - (2r h) =0 - 2 Lh(x0, y) =r - r =0 习题6.7 3 3 1. 求函数z = x y -3xy的极值。 4 I 4 2 2 2. 求函数z二x y -X -2xy - y的极值。 3求椭圆4x2 y2 =4上与(1,0)最远的点 4. 求平面x y - z =1与点(2,1,-1)的最短距离。 5. 求曲面z =xy 1上与(0,0,0)最近的点 12Lxi .Gj ： 丄Xn ；Gj ：由实际情况知道， V定达到最大体积，因此，当 得到。 ,h S3 ：27二 3 体积最大。 6 已知容积为V的开顶长方浴盆，问其尺寸怎样时，此盆有最小的表面积? 第八节导数

27、在经济学中的应用 一、导数的经济意义 1. 边际函数 定义 6.4 设函数y = f(x)可导，则导函数f(x)在经济学中称为边际函数。 在经济学中，我们经常用到边际函数，例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润 函数等等，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题， 都反映了导数 在经济学中的应用。 成本函数C(x)表示生产x个单位某种产品时的总成本。 平均成本函数c(x)表示生产x 个单位某种产品时，平均每个单位的成本，即c(x) 凶。边际成本函数是成本函数 C(x) x 相对于x的变化率，即C(x)的导函数C(x)。 由微分近似计算公式我们知道 C(x)二 C(x ：x)

28、C(x) ： dC(x)二 C(x) ：x 令x =1 ,我们有C(x) : C(x 1) -C(x),也就是说，边际成本函数C(x)可以近似表示 已经生产x个单位产品后再生产一个产品所需要的成本。 在生产中，我们当然希望平均成本函数 c(x)取得极小值，这时，我们可以得到c(x) = O 即 c(xHxC(x)；C(x0 x 则xC(x) -C(x) = 0，于是我们得到C(x)二c(x)。因此，平均成本函数 c(x)取得极小值 时，边际成本函数和平均成本函数相等。这在经济学中是一个重要原则，就是说在生产中， 当边际成本函数低于平均成本函数时， 我们应该提高产量， 以降低平均成本；当边际成本

29、函 数高于平均成本函数时，我们应该减少产量，以降低平均成本。 例 6.38 设某种产品生产x个单位时的成本为 C(x) = 250 + 2x + 0.1x2。求 (1) 当生产产品 100 单位时的边际成本和平均成本； (2) 当生产产品数量为多少时平均成本最低。 解(1)边际成本函数和平均成本函数为 C(x)二 2 0.2x 7.求用平面 Ax - By -Cz = 0与椭圆柱面 2 2 x_丄 a2 b2 二1相交所成椭圆的面积。 13 是，c(100) =22,c(100) 4.5 (2)平均成本函数c(x)取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等，即 C (x)二 c(x) 250

30、 2 0.2x 2 0.1x x x = 50 因此，当生产产品数量为 50 时平均成本最低。 类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数。 需求函数p( x)表示销售x单位某种产品时的单个产品的价格。 那么，p(x)是x的单调 减少函数。收益函数是 R(x)二xp(x)，边际收益函数是 R (x)。 利润函数是 P(x) =R(x) -C(x) 边际利润函数是P(x)。 当利润函数取极大值时， p(x) = R(X)-C (x) =0，于是，R(X)=C(X)，也就是 说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本。 为了保证取得最大利润还需要下面条 件 p(x) =R(X) _c(x) ：

31、0 即 R(x) ：C(x)。所以，当 R(x) =C(x)且 R(x) : C(x)时取得最大利润。 例 6.39 设某种产品生产x个单位时的成本为 C(x) =27 1.28x-0.01x2 0.0003X3， 需求函数p(x) =10.28-0.01x。当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润？ 解收益函数是 2 R(x)二 xp(x) = 10.28x - 0.01x 由 R(x) =c(x)得到 10.28 -0.02x =1.28 -0.02x 0.0009x2 我们得到x =100。 容易验证对任意 x 0有R(x) ：c(x)。所以，当生产产品数量达到 100 单位水平可 c

32、(x)二 C(x) x 250 2 0.1x 14 以取得最大利润。 2. 弹性 在经济学中我们常常用到弹性的概念， 弹性也是一种变化率问题，与导数概念密切相关。 定义 6.5 设函数y = f(x)在点Xo可导，则称 匹为函数y = f(x)在点Xo与Xo LX LX Xo 旦在x 0时的极限为函数 y二f (X)在点X0的弹性，记为 X Xo Ey 或f(Xo) EX X爭 Ex 如果y =f(x)在(a,b)可导，相应地，我们可以给出 (a,b)上弹性函数的定义 当X很小时，我们有近似计算公式 x=xo Xo 也就是说，函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比， 上式表示当X从

33、xo产 生1 oo的改变时， y = f(x)改变 f (xo) oo Ex 需求函数Q二f (p)表示在价格为p时，产品的需求量为 Q。需求函数Q二f (p)是单 调减少函数，Q二f(P)的反函数也称为需求函数，就是我们前面提到的需求函数 p(x)。 需求函数Q二f (p)对价格p的导数称为边际需求函数。 需求函数Q = f (p)的弹性为 两点间的弹性；称 Ey Xo f (Xo) f (Xo) Ex f(x) f(x) 卫:.Ey VO EX Ex x=Xo Vo Xo 15 (1) 求需求函数 Q 的弹性 -； Ef Ep f(P) 由于Q = f ( p)是单调减少函数，因此 EL 显然当2ax b = 0时，k最大. 即在（对称轴处），曲线弯曲程度最大. 例 6.46 求直线y = kx b的曲率. 解：因为 y = k , y= 0 , 所以k = 0 即