一元二次方程与动点及答案

1、1、如图,在 ABC中,/ B = 90° , BC=12cm, AB = 6cm,点P从点 A开始沿 AB边向 点B以1cm/s的速度移动,点 Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果 P、 Q分别从A、B同时出发,几秒后 PBQ的面积等于8cm2?A2 . ABC 中,/ B=90 ° , AB=5cm , BC=6cm,点 P 从点 A 开始沿边 AB 向终点 B 以 1cm/s 的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如 果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间 为t秒.(1)填空：

2、BQ=, PB= (用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时,PQ的长度等于5cm ?(3)是否存在t的值,使得 PBQ的面积等于4cm2 ?假设存在,请求出此时t的值； 假设不存在,请说明理由.3 .如图,在 ABC 中,/ B=90 ° , AB=6 , BC=8 .点P从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度 移动.设P、Q分别从A、B同时出发,运动时间为t,当其中一点先到达终点时, 另一点也停止运动.解答以下问题：(1)经过几秒, PBQ的面积等于8cm 2 ?(2)是否存在这样的时刻t,使线段PQ恰

3、好平分 ABC的面积？假设存在,求出运请说明理由.4 .如下图, ABC中,/ B=90°,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点 Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P, Q分别从A, B同时出发,经几秒,使 PBQ的面积等于8cm2?(2)如果P, Q分别从A, B同时出发,并且 P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后2又继续在CA边上前进,经过几秒,使 PCQ的面积等于12.6cm2?6cm5 .如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm , BC=6cm ,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以3厘米每秒的速度向点B移动,一直到

4、达点B为止.点Q 以2厘米每秒的速度向点D移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10厘米？6 .如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB = 16cm, BC = 6cm,动点P、Q分别从点A、 C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点 B为止；点Q以2cm/s的速度 向点B移动,经过多长时间 P、Q两点之间的距离是 10cm?BPA7 .如图,有一边长为 5cm的正方形 ABCD和等腰PQR, PQ=PR=5cm, QR=8cm ,点B、C、Q、R在同一条直线l上,当C、Q两点重合时,等腰 4PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭 头所示方向开始匀速运动,t秒后正方形ABC

5、D与等腰4PQR重合局部的面积为 Scm2.解 答以下问题：(1)当t=3秒时,求S的值；(2)当t=5秒时,求S的值；(3)当5秒44秒时,求S与t的函数关系式.ADQ CR I8.2021?重庆模拟)如图,正方形 ABCD的边长与RtPQR的直角边PQ的长均为6cm, QR=12cm , AB与QR在同一条直线l上.开始时点 Q与点B重合,让4PQR以1cm/s速度 在直线l上运动,直至点 R与点A重合为止,设运动时间为 t (s), t>0.(1)点P与点D重合时,令 PR与BC交于M点,求PM的长度；(2)设4PQR与正方形ABCD重叠局部的面积为 Scm2,直接写出S与t之间的

6、函数关系 式和相应的自变量t的取值范围；(3)在运动的过程中,令线段 PR与线段AD的交点为N (假设无交点那么不考虑),那么是否存 在t的值,使4NQR为等腰三角形？假设存在,求出相应的 t的值；假设不存在,请说明理由.图T(1)当求(3)是否存在某一时刻 t,使得四边形 PMBN的面积?假设存在,求出此时 t的PQR9 . (2021?市南区模拟)如图,正方形 ABCD的边长与RtPQR的直角边PQ的长均为 4cm, QR=8cm , AB与QR在同一直线l上,开始时点 Q与点A重合,让 PQR以1cm/s 的速度在直线l上运动,同时 M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动,直至点 Q与点B

7、重合 时,都停止运动,设运动的时间为 t (s),四边形PMBN的面积为S, 2、(cm ).t=1s时,求S的值；t的取值范围(不考虑端点)S与t之间的函数关系式,并写出自变量值；假设不存在,说明理由；为平行四边形？假设存在,求出此时t的值;(4)是否存在某一时刻 t,使得四边形 PMBN 假设不存在,说明理由.10 .如图1,在长为44,宽为12的矩形PQRS中,将一张直角三角形纸片 ABC和一张正方 形纸片DEFG如图放置,其中边 AB、DE在PQ上,边EF在QR上,边BC、DG在同一直 线上,且RtAABC两直角边BC=6, AB=8 ,正方形DEFG的边长为4.从初始时刻开始, 三角

8、形纸片ABC* AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片 DEFG,沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移,当边GF落在SR上时,纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移, 直至G点与S点重合时,两张纸片同时停止移动. 设平移时 间为x秒.(1)请填空：当x=2时,CD= 2血 ,DQ= 40 ,此时CD+DQ = CQ (请填 之、 ="、；)；(2)如图2,当纸片DEFG沿QR方向平移时,连接CD、DQ和CQ,求平移过程中 4CDQ 的面积S与x的函数关系式,并写出自变量 x的取值范围(这里规定线段的面积为零)；(3)如图3,当纸片DEFG沿RS方向平移时,

9、是否存在这样的时刻x,使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在,求出对应x的值；假设不存在,请说明理由.郢11. 2021?长春如图,在？ABCD中,AB=13 , BC=50 , BC边上的高为12.点P从点 B出发,沿B-A-D-A运动,沿B-A运动时的速度为每秒 13个单位长度,沿 A-D- A运动时的速度为每秒 8个单位长度.点 Q从点B出发沿BC方向运动,速度为每秒 5个 单位长度.P、Q两点同时出发,当点 Q到达点C时,P、Q两点同时停止运动.设点 P的 运动时间为t 秒.连结PQ.1当点P沿A- D-A运动时,求AP的长用含t的代数式表示.2连结AQ,在点P沿B-A-D

10、运动过程中,当点 P与点B、点A不重合时,记4APQ 的面积为S.求S与t之间的函数关系式.3过点Q作QR / AB ,交AD于点R,连结BR ,如图.在点P沿B - A - D - A运动 过程中,当线段 PQ扫过的图形阴影局部被线段BR分成面积相等的两局部时 t的值.12. (2006?青岛)如图,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A 与点 E 重合), AC=8cm , BC=6cm , /C=90 °, EG=4cm , Z EGF=90 °, O 是 4EFG 斜边上的中点.如图,假设整个 EFG从图 的位置出发,以1cm/s的速度沿射线

11、AB方向平移,在4EFG 平移的同时,点 P从4EFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边 GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,4EFG也随之停止平移.设运动时间为2延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y (cm )(不考虑点图(1)当x为何值时,OP/ AC;(2)求y与x之间的函数关系式, (3)是否存在某一时刻,使四边形 出x的值；假设不存在,说明理由.P与G、3EH图4.42=19.36, 4.52=20.25, 4.62=21.16)并确定自变量 x的取值范围；OAHP面积与4ABC面积的比为13:(参考数据：1142=12996, 1152=13225,x (

12、 s) , FG 的F重合的情况).24?假设存在,求1162=13456 或1 .解：设x秒钟后, PBQ的面积等于8cm 2,由题意可得：2x ( 6-x ) + 2=8解得 x 1=2 , X2=4 .经检验均是原方程的解.答：2或4秒钟后, PBQ的面积等于8cm 2.2 .解：(1 )由题意,得BQ=2t , PB=5-t .故答案为：2t , 5-t .(2)在Rt PBQ中,由勾股定理,得4t 2+ ( 5-t ) 2=25 ,解得：t1=0, t 2=2.(3)由题意,得2t (5-t)2=4 ,解得：t1=1 , t2=4 (不符合题意,舍去),当t=1时, PBQ的面积等于

13、4cm2.3.解：(1 )设经过x秒, PBQ的面积等于8cm2那么： BP=6-x , BQ=2x ,所以S P BQ =12X ( 6-x ) X 2x=8 ,即 x2-6x+8=0 , 可得：x=2或4 (舍去),即经过2秒, PBQ的面积等于8cm2.(2)设经过y秒,线段PQ恰好平分 ABC的面积, PBQ的面积等于12cm2, S/bq =12x ( 6-y ) X 2y=12 ,即 y2-6y+12=0 ,由于 =b2-4ac=36-4 X 12=-12 <0,所以 PBQ的 面积不 会等于12cm2,那么线段PQ不 能平分 ABC的面积.4.相似三角形的判定与性质；一元二

14、次方程的应用. 几何动点问题.(1)设x秒时.由三角形的面积公式列出关于x的方程,(6-x) ?2x=8,通过解方程求2得 xi=2, x2=4;(2)过Q作QDCB,垂足为D,构建相似三角形 CQDsCAB,由该相似三角形的对应边成比例得到即qd=6 -幻；2i- 3AC10然后由三角形的面积公式列出关于x的方程4(14-x) ?6 一幻 Re 解之得 刈=7,210x2=11.由实际情况出发,来对方程的解进行取舍.解：(1)设x秒时,点P在AB上,点Q在BC上,且使 PBQ面积为8cm2,由题意得(6-x) ?2x=8,解之,得 x1=2 , x2=4,r 2经过2秒时,点P到距离B点4c

15、m处,点Q到距离B点4cm处；2或经4秒,点P到距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处, PBQ的面积为8cm ,2综上所述,经过 2秒或4秒, PBQ的面积为8cm ;(2)当 P在 AB 上时,经 x 秒,4PCQ 的面积为：1>PB>CQ=-Ix(6-x) (8-2x) =12.6,22解得：x1='i:一 (不合题意舍去),x2=_纠星,55经x秒,点P移动到BC上,且有 CP= (14-x) cm,点Q移动到CA上,且使CQ= (2x 8) cm,2富一过Q作QDCB,垂足为 D,由CQDsCAB得即 QD=一：, =12.6,解之得 x=7, x2=11.10

16、10由题意得-(14-x) ?2经7秒,点P在BC上距离C点7cm处,点Q在CA上距离C点6cm处,使 PCQ的面积 等于 12.6cm2.经11秒,点P在BC上距离 C点3cm处,点Q在CA上距离C点14cm处,14>10,点Q 已超出CA的范围,此解不存在.综上所述,经过 7秒和生_巴匣秒时A PCQ的面积等于12.6cm2.55 .解：设P, Q两点从出发经过t秒时,点P, Q间的距离是10cm , 作PH,CD ,垂足为H ,贝ij PH=AD=6 , PQ=10 , HQ=CD-AP-CQ=16-5t , ph2+hq 2=pq 2可得：(16-5t ) 2+6 2=10 2,

17、解得 3=4.8 , t2 = 1.6 .答：P, Q两点从出发经过1.6或4.8秒时,点P, Q间的距离是10cm .6 .答案略分析：7. (1)当t=3时,CQ=3,过P作PELQR于E,易求得PE的长和 QPE的面积, 设PQ交CD于G,由于CG / PE,可证得ACQas EQP,根据相似三角形的面积 比等于相似比的平方即可得到S的值.(2)当t=5时,Q、B重合,线段PR与CD相交,设PR与CD相交于G,可仿照(1) 的方法求得4RCG的面积,从而由 ARPa、4RCG的面积差求得阴影局部的面积.(3)当548时,AB与PQ相交,RP与CD相交,仿照(1)的方法,可求得正方 形外部

18、的两个小三角形的面积,进而可参照(2)的方法求得阴影局部的面积表达式,由此可得到关于 S、t的函数关系式,根据函数的性质即可得到S的最大值.解答：解：(1)作PEXQR, E为垂足. PQ=PR,QE=RE=Aqr=4 , 2在RtAPEQ中 . PEj产3; (1 分)当t=3时,QC=3,设PQ与DC交于点G. PE/ DC, . QCGA QEP. (2 分)-二()2,AQEf 4 saqep=Jm>3=6 ,S= (W) 24=义(cm2). (3 分)48(2)当 t=5 时,CR=3.设PR与DC交于G,由aRCGs REP,可求出 CG=-,4所以,SARCG=?刈 &#

19、163;= (cm?), (5 分)24 8S=12-卫=苧(cm2). (6 分)S 8(3)当 548 时,QB=t 5, RC=8 - t,设 PQ 交 AB 于点 H,由QBHsQEP, EQ=4, BQ: EQ= (t5): 4,1- SABQH： SAPEQF (t- 5)： 4 ,又 Sapeq=6, 1 Saqbh= (t-5) 2 (7 分)S由RCGsrep,同理得 Sarcg=-? (8-t) 2 (8 分) -8.S=12(t 5) 2- (8-t) 2.即 S=-t2.Jt -9- (9 分)3841rg39当t=JJ时,S最大,S的最大值=4"- b =您

20、 (cm2). (10分)2X (-2)24a 16考8.相似形综合题.点：分析：(1)由正方形的性质可以得出DC/AB,就有/ CDR=/ARD ,在RtPQR中,由PQ=6cm , QR=12cm有tan/ARD=,就可以得出 MC ,再根据勾股定理就可以求出 PM的值；(2)分情况求出当当 0Vt由时,当6Vt42时,12Vt48时,根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S的解析式；(3)根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算,先运用勾股定理将三角形的三边 表示出来,由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了.解答：解：(1)二.四边形ABCD是正方形,C

21、D=BC , CD / AB , / 0=90 °, / CDR= / ARD , . PQ=6cm, QR=12cm , . tan/ARD=二,2 . tan/ CDR=-=CD 2 CD=6 ,CM=3 ,在RtACPM中,由勾股定理,得PM=加6+9=3 代.(2)如图1 ,当0Vt<6时,QB=t, QR=12 ,BR=12 - t,BM=6 - 0.5t,. Q- . -S-,2'1 S= - g +6t,4如图2,当6Vt司2时, AR=12 -t+6=18 - t, BR=12 - t,SA=9 0.5t, MB=6 0.5t.o 6(9+0. 5t +

22、 6+0. 5t)S=2=3t+45 ,如图3, 12Vt司8时,AR=6 一 (t12) =18 - t, AS=9 - 0.5t,.c (18 - t) (9 - 0. 5t)It2 - 9t+81 ;(3)当6vt42时,由图象得：QN2=AQ2+AN2= (t-6) 2+ (9-0.5t) 2=?2-21t+117,NR2=AN2+AR2= (9-0.5t) 2+ (18-t) 2=*2-45t+405 RQ2=144如图4,当QR2=NR2时,-t2- 45t+405=144 ,-解得：ti=l8+"Yit>12 舍去,t2=18-竺近；55如图5,当QN2=QR2时

23、,.上t2- 21t+117=144,4解得：t1= - 1.2 舍去,t2=18 舍去,如图6,当QN2=RN2时,鸟2- 21t+117=t2-45t+405 ,44解得：t=12,12Vt司8与6vt«2时一致,而t=18时4NaR不存在,t=12 或 t=18 -5P D9. (1)当 t=1 时,AQ=MQ=1 , AB=PQ=4 , MP=QB=4 -1=3.,.QR=8,BR=8 - 3=5.在 RtPQR 中,PQ=4, QR=8,tan/PRQ=骂J QR 2典BR"2 )5 2.BN=2.5 .(3+2.5) X3 33 ,、S 四边形 PMBN= (0

24、qw4)；(2)由题意,得AQ=MQ=t , PM=BQ=4 - t, BR=8 - ( 4 - t) =4+t, .BN=2+ -t,2(4 - t+2+-t) (4-t)S四边形PMBN =lt2- 4t+i2(0q9)；4(3)由题意,得2t2 4t+12=MX8,44解得：ti=8+4血(舍去),t2=84加, .t的值为8- 472；(4)二四边形PMBN是平行四边形, .PM=BN . PM=4 - t, BN=2+lt, s-4- t=2+lt,2.-.t= -3.t=W时,四边形PMBN为平行四边形.310.分析：(1)当x=2时,延长 ED交BC于H ,延长GD交PQ于点K,

25、就有EQ=DK=2x , BK=HD=x , BQ=4+x ,就可以求出 CH=6 - 2x,再根据勾股定理就可以求出CD、DQ及CQ的值；(2)由图形观察可以得出 SACDQ=SACBQ - SACHD - SHBQD ,只要根据条件分另1J表示出=SACBQ' SACHD、 S 梯形 HBQD 的面积即可；(3)根据数学分类讨论思想,从不同的时间进行计算.如图6,当CD=AC时,作CHXGD的延长线于点 H,解直角三角形 CHD;如图7,当AD=AC 时,作DH ± PQ 于点H,解直角三角形 ADH ;如图8,当AD=CD时,作DK LBC于BC延长线于点 K,作DHL

26、PQ于点H,解直角三角形 DCK和直角三角形 DHA ;如图9,当CD=AC 时,作DK LBC于BC延长线于点 K,解直角三角形 DKC ;如图10,当AD=AC时, 作DH XPQ于点,解直角三角形 DHA .结合各图形运动的不同位置表示出相应线段 的长度,根据勾股定理建立方程求出x的值即可.解答：解：(1)延长ED交BC于H,延长 GD交PQ于点K,EQ=DK=2x , BK=HD=x , BQ=4+x ,x=2 , BC=6 , DE=4 ,EQ=DK=HB=4 , BK=HD=2 , BQ=6 ,CH=2 .在RtACHD> RtADKQ> RtCBQ中,由勾股定理得：

27、CD=2&, DQ=4&, CQ=6&.CD+DQ=6 二, CD+DQ=CQ .故答案为：2&, 4、m,=;(2)当0aq时,如图2, EQ=DK=2x , BK=HD=x , BQ=4+x , CH=6 - 2x, . e (4+x) 6(6- 2k)工(k+4+x) 2k ' CDQ=-=-x2 - 4x+12当2Vx小时,如图5,作CHDG于H, DKBC于K, EQ=BK=2x , CK=HD=6 - 2x, BQ=4+x , CH=x ,SSA cdq=ck ?kd+kb ?bq -,222“c、 c / 、6(4")(6 - 2

28、x) X 4X2x=(6 2x) x+2x (4+x)-,W乙乙=x2+4x - 12;当3Vx9时,如图3,作DHXBC的延长线于 H,EQ=HB=2x , HD=x , BQ=4+x , CH=2x - 6,.SA CDQ二HB?QB-四萨-迈要 区券=2x (4+x)工(2k-6) 4X2x22二 J"=8x+2x 2 - x2+3x - 4x- 12- 3x, =x2+4x - 12.0dx+4x- 12 (2<4)(3)二.纸片DEFG沿RS方向平移,4 今 <24.如图6,当CD=AC时,作CHXGD的延长线于点 H,GR=2x -4, BQ=x+4 ,DH=

29、12 -6-4=2, CH= (x+4) - ( 2x - 4) =8 - x, AB=8 , BC=6 ,AC=',通,二三二10在RtACHD中,由勾股定理,得(8-x) 2+22=1Q0,解得：x1=8+4«, x2=84寸%<4 (舍去)；如图7,当AD二AC 时,作 DHLPQ于点H,GR=2x -4, BQ=x+4 ,DH=12 - 4=8, AH= (x+4+8) - (2x-4) =16 -x, 在RtAADH中,由勾股定理,得(16-x) 2+82=100,解得：xi=22, x2=10;作DH ± PQ于点H ,如图8,当AD=CD 时,作

30、 DK LBC于BC延长线于点 K,GR=2x -4, BQ=x+4 ,DK=2x -4- (x+4) =x-8, KC=12 -4-6=2, AH=x+4+8 - (2x-4) =16 -x, DH=12 - 4=8.(x-8) 2+4= (16-x) 2+64,x=15;4综上所述：纸片 DEFG沿RS方向平移,当x的值为：22, 以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形.10, 15, 8+4、几时,411.分析：(1)分情况讨论,当点 P沿A-D运动时,当点P沿D -A运动时分别可以表示出 AP的值；(2)分类讨论,当0vt1时,当1vtv&时,根据三角形的面积公式分别求出S4与

31、t的函数关系式；(3)分情况讨论,当 0vtv1时,当1vt<2时,当2vtv目时,利用三角形的面334积相等建立方程求出其解即可；(4)分情况讨论当 P在A-D之间或D-A之间时,如图,根据轴对称的性质可以知道四边形 QCOC为菱形,根据其性质建立方程求出其解,当P在D-A之间如图,根据菱形的性质建立方程求出其解即可.解答：解：(1)当点P沿A-D运动时,AP=8 (t-1) =8t - 8.当点 P 沿 D-A 运动时,AP=50X2-8 (t-1) =108-8t. (2 分)(2)当点P与点A重合时,BP=AB , t=1.当点 P 与点 D 重合日AP=AD , 8t - 8=

32、50 , t=.4当0v tv 1时,如图.过点Q作QEXAB于点E.Szxabq=/AB-QE*QX12, ,QE=12BQ=12X51=10t.AB 1313S=- 30t2+30t.当ivt出时,如图.4S=3APX12=-1x (8t-8) X12, S=48t - 48;(3)当点P与点R重合时,AP=BQ , 8t - 8=5t, t=-.3当0V t局时,如图. SAbpm=Sabqm , PM=QM . AB / QR,/ PBM= / QRM , / BPM= / MQR , 在 BPM和 RQM中后 NQRJIl' /BPM二/MQR , 、PM二QM . BPMA RQM . BP=RQ, RQ=AB , BP=AB 13t=13, 解得：t=1 当1vt1时,如图. BR平分阴影局部面积, P与点R重合.t=-.3当Wvt图时,如图.r 3 4 saabr=Saqbr, SAABR V S 四边形BQPR. BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两局部.BR分成面积相等综上所述,当t=1或电时,线段PQ扫过的图形(阴影局部)被线段的两局部.(4)如图,当P在A - D之间或D - A之间时,C'D'在BC上方且C D 7/ BC时, CQ