二次根式知识点总结和习题

1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如而.之0的式子叫做二次根式.在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：由于负数没有平方根,所以 .之.是石 为二次根式的前提条件,如 五二11 21等是二次根式,而 7-2 ,-7 等都不是二次根式.例题 判断以下代数式中哪些是二次根式1 V 2 , J- 16 , Ja + 9 , (4)Jx2 十 1 , Ja2 + 2a + 2 , X x( x W 0), J(m - 3)2稳固(D)1、以下各式中,不是二次根式的是A, 45 B. 13 -、 C, Ja2 + 2 D.2、以下各式中,是二次根式是

2、.A& B V-30 C Ja + 1知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当am时,G有意义,是次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可.2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当aO时,而没有意义.例题1 x取什么值时,J4+ 5x有意义4 x<-5544(A) x>(B) x< g (C) x>" g (D) 3 - x稳固 使代数式二;2有意义的x取值范围是 x 乙A x # -2; B x < 3,且x = -2; C , x 0 3,且x ¥ 2;d. x w

3、3,且x # 2;知识点三：二次根式 几4之0的非负性石.之0 表示a的算术平方根,也就是说,口之0 是一个非负数,即归之0 a2Q.注：由于二次根式 石4>0 表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数.之0的算术平方根是非负数,即 石之0.之0,这 个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似.这个性质在解做题目时应用较多,如假设石+ A=0 ,那么a=0,b=0 ;假设石+B卜.,那么a=0,b=0 ;假设6 +"工., 那么 a=0,b=0 .例题 y = J2 - x+Vx- 2+1,那么'=x 知识点四：二次根

4、式1的性质GY. 1.文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.注：二次根式的性质公式而二.j>o是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来应用：假设以之.,那么好函'",如： 2二诋;广宜.知识点五：二次根式的性质】口00文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.注：1、化简 时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,假设是正数或0,那么等于a本身,即J.=假设a是负数,那么等于a的相反数-a,即折=-加色：2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不管a取何值,一定有意义;3、化简也 时,先将它化成 a ,再根据绝对值

5、的意义来进行化简.知识点六：能丫与江的异同点i、不同点：函y与旧表示的意义是不同的,函y表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在函?中.之. ,而旧中a可以口(430)一口 (K0)2、相同点：当被开方数都是非负数,即.之.时,函1'=/；Mo时,函*无意义,是正实数,0,负实数.但 函f与出 都是非负数,即瓶之.,必之.因而j- j=川=；它的运算的结果是有差异的,二十之0,而I知识点七：二次根式的运算1因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的

6、形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.2二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.3二次根式的乘除法： 二次根式相乘除,将被开方数相乘除,所得的积商 仍作积商的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.、ab = a b a现b" 怖嚏b迅a>0.4有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.3 3 a例题i计算对a 49a - -3 =例题 25 48 - 6 27 4、15 、3 例题3计算：1"十小一而一出十而(2)版+1-81-(-20.

7、6)0+ (1尸2 ；?二次根式?同步学习检测一整章检测时间 90分钟 总分值100分、选择题共12分1 .在根式 石5、Va2 b2、逐、&、-V2a2b中,最简二次根式有 a - b3 aA. 1个B. 2个C.3个D.4个2 .在二次根式J,-J , J1J和中,与46是同类根式的有:325,6,492A. 2个B. 3个C.4个D.5个3 .在以下各式中,等号不成立的是()A. = = - -B . 2x y y = .4x 2y (x > 0)-、a aC. J-2a3=a*-2a D.(x+2+y) yVX + Jy )= Jx+百4.在以下各式的化简中,化简正确的有

8、 5x x - ' x = 4x . x 4a3 =aa6a J=<2ab2b b. 24 +J- =10 461-.6A. 1个B, 2个C. 3个D, 4个5 .二条线段的长分别为&cm、3cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是A. 1cm6 .a<0,化简:)I8. J5 cma2 - la口的结果是A. 12aB. -1C. 0二、填空题每题 2分,共20分7. 2-芯的绝对值是8.当x时,-. 1 -3x是二次根式.9.当x时,52x + 5有意义,假设10 .当 m>n 时,(n m)2时,3a11 .化简“225 M0.04 =,11

9、72 -108212 .计算：3v5a 2V10b =13 .假设最简二次根式 2j5x2 +1与J'7x2 -1是同类二次根式,那么 x=14 .把根式aj1根号外的a移到根号内,得1 a15 .二次根式-3瓜 与V2ax的和是一个 二次根式,那么正整数 a的最小值为其和为那么依次第四个式子是16.观察以下各式：2 M2+2,3xg-2 3'3 、8、KT4 啧;用nn之2的等式表达你所观察得到的规律应是三、解做题共68分17. 5分计算:a - ab ab215 分计算： 212 +4j- -3V48 2.85 分解方程：vJ15x +V80 =4x+ 5<35 分解

10、不等式： V2x-V3之 V6x+1,、一.20 -421 ,5分：x=,求x +七的值.2x5分化简并求值1 -2a a2,a2 -2a 11：2 其中a =一广a-1a -a2 、35分实数 a满足|2003 a|+、/a 2004 =a,那么a 20032的值是多少?5分正数a和b ,有以下命题：1假设a +b = 2,那么Tab <1 ；. 一一 ,32右 a+b=3,那么 Jab <-； 23假设a +b = 6,那么痴竦；根据以上三个命题所提供的规律猜想：假设a + b = 9 ,那么4罚&.6分阅读下面的解题过程,判断是否正确假设不正确,请写出正确的解答.m为

11、实数,化简： - m- m3 - mJ-, m1 斛：原式=-m - m - m . m m=- m -1 . - m6 分如图,AABC中,/ACB = Rt/, AB = J8, BC = J2 ,求斜边 AB 上的高CD .181920212223242526AD B8分观察以下等式：,2-12 1 一( , 2 1)( . 2 -1)32 一(,32)(.3- .2)43 "(.43)(. 4-,3)=74 套;答复以下问题:1利用你观察到的规律,化简:12*3112计算:1111+ +1.2,2.3323 -.1028.8分水库大坝截面的迎水坡坡比 DE与AE的长度之比为1

12、: 0.6,背水坡坡比为1:2,大坝高DE=30米,坝顶宽CD=10米,求大坝的截面的周长.EF新人教九年级上第 21章?二次根式?同步学习检测二一、选择题1、如果aJi|是二次根式,那么x的取值范围是A、xw5B、x> 5 C、x< 5 D、xW52、等式x2x2- 1 =x+1 «x 1成立的条件是A、x>1 B、x<1C、xJ D、x< 13、,那么 'a2+b2+7的值为A、3 B、4 C、5 D、64、以下二次根式中,x的取值范围是x注的是5、在以下根式中,不是最简二次根式的是6、A、卜面的等式总能成立的是)C、aja b ="

13、;/abA、8、A、9、B、y C、假设代数式三的正确结果为 电 D、-yxy>0,化简二次根式(2-a)2 +a 42的值是常数2,那么a的取值范围是7、m为实数,那么Jm2+4m+5的值-一定是整数 B、正整数 C、正数 D、负数A、aN B、a<2C、2念q D、a=2 或 a=410、卜列根式不能与J48合并的是11、如果最简根式A、 0.12 B、C、11 - 3D、17-2a是同类二次根式, 那么使441-2x有意义的范围是A、x司0 B、x>10 C、x<10 D、x>1012、假设实数 x、y 满足 x2+y2 4x 2y+5=0,那么A、1 B、

14、； +业 C、3+22D、3-+y的值是、填空题J xT 、,1、要使 有息义,那么x的取值氾围是.3-x2、假设 a+4 +a+2b - 2 =0 ,贝U ab=.3、假设a2与?21都是二次根式,那么 /1-a2 +：a2-1 =4、假设 y=Ay1-2x +«2x- 1 +(x-1)2 ,贝U(x+y) 2003 =.5、6、7、8、9、假设业 x>1+3 x,化简寸(x+2)2 3/(x+3)3 =假设 N(a+1)2 =(a 1)2 ,贝U a=.比较大小： 34 2#a/u假设最简根式 *23与y5m+3是同类二次根式,那么 m=,请你用含式子将其中蕴涵的规律表示出

15、来： :10、假设 J1的整数局部是a,小数局部是b,那么a b11、12、,贝 U . 4x+x 2,那么化简a得三、计算与化简( + )T+(-2)2 +3/84、3、1+亚/ 1-/2 +乖+26四、先化简再求值+a31、 a=3,b= 4 , 求 尸(a +b )“a -yjb )ab (:b -a )值.2、化简:取自己喜爱的a的值计算.2a2 1- a2+2a+11-T时,求一一 一的值.1 、3a- 1a2+ a a五、解答以下各题1、解方程：S2、解方程组：3、直角三角1)=2 (x+1)x一 _xy一2 一6x+y=4形两直角边长a=,b=产 i ,求斜边的长.2、3 +、11同步学习检测一、选择题1. C 2, B 3. C 4. B、填空题7. 75-2,-2-458. >5,xw2且 x#010 . m-n , < 0211 . 3, 4512 . 3072ab 13 . ±114ja15 . 61016. 55琮,nn -1解做题1 -4.625 .原式=-m (-)Jm = (m + 1 )Jm八 K120 . x W