二阶线性递推数列的通项公式的求法

1、二阶线性递推数列的通项公式的求法课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点,由于其递推数列的特殊性和复杂性,很多学生感到无从下手,是学生高考中较大的一个失分点,其实此题来源于课本习题,本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法课程内容：真题再现：*351 . 2021广东又19设数列an的前n项和为Sn, nu N .a=1, a?=, a3 =-,24且当 n2时,4Sn书+5Sn =8Sn书+SnJL.1求a4的值;-1-2求证：4an书一an卜为等比数列；I23求数列an的通项公式.2 .在数列an 中,a=1,a2=1

2、, an+=an+ann±2,求数列an的通项公式问题呈现：第一题中的第三问是难点,当n2时,4Sn也+ 5Sn= 8Sn1 + Sm 易得114 Sn 书Sn 由=4Sn +Sn4Sni-SP a"= Hn 4 一 一 Hn ,头际上就ZEHn&= Hn 书一一 Hn ,求匕门的44通项公式.第2题更是典型的an4=an+ann22,求数列an的通项公式这两题的共同特点是：数列a1 =a,a2 =b,anH2 = pan中+qannw N , pq # 0,求an的通项公式,即二阶线性递推数列的通项公式的求法.这是学生的一个难点,同时也是高考重点考查的知识,很多学

3、生感到很繁琐,无从下手.实质,此类题型来源于我们的课本习题课本例题呈现：例13数列 圾上a1 =5,a2 =2, an =2an+3ann之3,求数列的通项公式.人教版高中数学必修 5第二章数列复习参考题 B组第6题解法 1 ：归纳猜想由可得：a=1, a2 =2,a3 =19,a4 = 44,a5 =145,猜想an =1 7 niT1-3"n-1N用擞隼归纳法诩明略4解法2:构造法心3将 an =2an4+3an变形,! 九=2九加工 +3%=2九an+-an2 -3右九=T,即人=T或者3,那么母中一 自是一个等比数列,公比为2-九.九=一1时,an书+ an是一个首2 -项为

4、7,公比为3的数列,an + an,=7父3n工九=3时,小十一3小是一个首项为-13,公比为一1的等比数列一一 ,.n -1an+3an =-13 父-1由两式消去 an5得：an =17x3n-+13x-1n-ne N* 4解法3：待定系数转化法an =2an1+3anN,设an 九%= Nan九an/,其中九,B是待定的常数,那么an =九+Nanj ?出an/.得小鸟 ,比较系数显然 九与N是方程x22x3 = 0的两根,即方程x2 = 2x + 3的两根.: ' 2 -21 -3= -13 AR=3 = 1.1 或,N=3 ,得：an -3维=一再3斑1an +,an=3 4

5、an世a小疗解法 , 相同可得an =17 3nl 13 -1nln N* 4我们发现解法2与3本质相同,都是构造等比数列,再利用方程思想得到通项公式.这种解法可以推广到一般： 揭示结论：设数列 为 =a,a2 =b, an也=pan书+qann w N* , pq =0,求 an设：an-2 Aan =an电九a,九,N是待定系数,整理得an也=儿+N同书-九Nan,比较系数得：九+ N = p,=-q ,所以九,N是方程x2 - px q = 0的两根.I.当420时,设其实根为a,P ,从而有 n=0或anH2 一 0an 书=二小书-Ctn.!、. I所以,数列an书aan, an书P

6、an分别是P和a的等比数列?_p卜田 得an七一仪前由=P an由a n或故得：an 书a an = (a2 aa1)口 an4 Pan =(a2 Pa1)c(n当a #P时,由消去an书得an(a2 -匚 a1) ：n, -(a2 一 : a) anP -a令 G ="a一包",C2 =aa1,那么 an =Gan,+c2pn,常数 C1,C2 由 ai,a2确定 P -Ctp -Ct当O=P=E时,由得an+£an =a2uajan,两边同除an引得第一驾=亘二箸.数列粤是公 2.2n 1 .2n .22.2n差为 曳二鲁,首项为 亘的等差数列.得：为二驾+1

7、包二普,得令g =告a-等1, q=曳等1 , 二 ： ： 二 ： ： 二 二得an =.+nc2«n,常数G.由a1,a2共同决定.所以,遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程工七=pan+ qan的特征方程x2 = px + q ,运用特征根方程特点解题,是非常简单的.结论运用对于文中所涉及白第一小题2021广东文19的第三小问我们便可以运用此法解答.题目中已经求出递推方程121an =an书-an ,所以其特征方程为x2 =x-,解得方程只有两个相等的实根即:1a = P =一,所以2an = (G nc2ni3,.a =1, a2=一可得:2 ,、1 ,(C1C2)- -1,1、2(C12c2 )()2=1C1 = 0, C2 =2 an第2小题的递推公式 an4=an+ann至2,其特征方程为X2 = X +1 .解得 X1 =1 - .52,X23 .可2设an,a1 =1,.比=1 ,可得:C1.=1_1 解得 d=,C2&2 52、52215C1 j%2代入an可彳导an44由此可见遇到此类求通项公式的题,用特征根方程通过待定系数法解决此类问题是很简单的.回头梳理整个通