二项式定理学案及课后作业答案

1、第3讲二项式定理知识梳理1.二项式定理二项式定理(a+b)n = Cnan+Cnan 1b+ Cnan rbr+ Cnbn(n N*)二项展开式的通项公式Tr+1=Cnan rbr,它表小第 r + 1 项二项式系数二项展开式中各项的系数 C0, C1,Cn2.二项式系数的性质(1)0&k&n时,&与C,k的关系是 端=.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时,第2+1项的二项式系数最大,最大值为C,n；当n为奇数时,第亭 项和nf3项的二项式系数最大,最大值为 Cn/n或C、n (3)各二项式系数和：C0+Cn+Cn+-+ Cn=2,C0+C2+C"

2、= C1 + C3+Cn+=2n 1辨析感悟1 .二项式定理的理解Cnarb是(a+b)nl展开式中的第r项.(X)(2)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第 5项和第6项.(X)(3)(教材习题改编)在:x 2 6的二项展开式中,常数项为一160.(,) x2 .二项式系数的性质(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a, b无关.(,)(5)假设(3x 1)7=a7x7 + a6x6+ax+a0,那么 a7+a6+ a1的值为 128.(x)(6)(2021安徽卷改编)假设x十手n的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,且 x4的系数为7,那么实数a= 2.(,)感悟提升 1,二项式定

3、理(a+ b)n=C0an+Cnan-、+ +&an-rbr+ + Cnbn(nC N*)揭示二项 展开式的规律,一定牢记通项公式 Tr+i=cnan-rbr是展开式的第r+1项,不是第 r项,如(1).2.二项式系数与展开式项的系数的异同一是在Tr+i=cnan-rbr中,cn是该项的二项式系数,与该项的(字母)系数是两个不 同的概念,前者只指cn,而后者是字母外的局部,前者只与 n和r有关,包为正, 后者还与a, b有关,可正可负,如(2)就是混淆两个概念的区别.二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关,当n为偶数,中间一项的二项式系数最大,如(6);当n为奇数时,中间两项

4、的二项式系数相等,且同时 取得最大值.突破高频考点 以例求法举-反三考点一通项公式及其应用厂厂 1 、【例1】(1)(2021浙江卷)设二项式 “一15的展开式中常数项为 A,那么A= <x./1.(2)(2021新课标全国II卷改编)(1 + ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,那么a 等于.5 5 5 5解析 (1)Tr+1 = c5(Vx)5r yJ = c5(1)、2 令26= 0,得 r=3, .A=一 c5= - 10.一555(2)(1 + ax)(1 + x)5= (1 + x)5+ ax(1 + x)5,又(1+x)5中含有x与x2的项为T2 = c5x, T3

5、=c5x2.展开式中x2的系数为c5+ac5=5,.a= 1.答案(1)10 (2)-1规律方法(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n, r均为非负整数,且n>r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【练习11(2021大纲全国卷改编)(1 + x)8(1 + y)4的展开式中x2y2的系数是(2)设二项式X 2加>0)的展开式中x3的

6、系数为A,常数项为B,假设B = 4A,那么a的值是.解析(1).(1 + x)8的通项为Ckxk, (1 + y)4的通项为C4y1 ；(1+x)8(1+y)4 的通项为 C8c4xky；令 k= 2, t = 2,得 x2y2 的系数为 C2c4=168.(2) 3哀,展开式的通项 Tr+1 = (-a)rC6x6-3r,：A= (-a)2C6, B=(a)4C6,由 B=4A,得(一a)4C6=4(a)2C6,解之得 a=及.又a>0,所以a=2.答案 (1)168 (2)2学生用书第161页考点二二项式系数的性质与各项系数和【例 2】(1)(2021 青岛本宾拟)设(1 + x)

7、n= a0+ax+ a2x2+anxn,假设 a + a2+ an = 63,那么展开式中系数最大的项是 .(2)假设.+1)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,那么该展开式中 2的系 xx数为.审题路线(1)先赋值求a.及各项系数和,进而求得n值,再运用二项式系数性质与通项公式求解.(2)根据二项式系数性质,由C2=C确定n的值,求出+的系数. x解析=(I + x)n=a0+ aix+ a2x2 + + anxn,令 x= 0,得 ao= 1.令 x= 1,那么(1 + 1)n = ao+ai + a2+ an = 64,.n=6,又(1 +x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大,

8、.(1 + x)6的展开式系数最大项为T4= c6x3= 20x3.(2)由题意知,C2=C6, ；n = 8.Tr + 1 = c8 x8-r e) = c8 x8-2r,当 8 2r= 2 时,r=5,的系数为 C5=c8=56.x答案 (1)20x3 (2)56规律方法(1)第(1)小题求解的关键在于赋值,求出a.与n的值；第(2)小题在求解过程中,常因把n的等量关系表示为cn=cn,而求错n的值.(2)求解这类问题要注意：区别二项式系数与展开式中项的系数,灵活利用二项式系数的性质；根据题目特征,恰当赋值代换,常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1, - 1.【练习2】(1)二

9、项式,的展开式中只有第6项的二项式系数最大,那么展开 式中常数项是.(2)假设(1 2x)2021= a0+a1x+a2x2+-+ a2021x2021(x R),那么: + |2+贯+-+ |2%的值为.解析(1)由二项式系数的性质,得n=10, .1+1=/0诉10-噂)=2rc；0 x5 5,人 _52 一令 5 2= 0,那么 r = 2,从而 丁3=4.0=180.(2)令 x=0,得 a0=(1 0)2021=1.人 11r a1 a2 a2021 -令 x=2, 那么 ao+2 + 22+ + 22021 = 0,a1a2a2021.,万+/+/14= 1.答案(1)180 (2

10、)-1考点三二项式定理的应用【例3】(2021湖北卷改编)设aCZ,且0&a<13,假设512 012+a能被13整除,那么 a_.解析512 012+ a= (52-1)2 °1, a02 012 C12 0112 0112 0112 0122 012 .=C2 012 52 C2 012 52+- + C2 012X 52 ( 1)+C2 012 ( 1)+a,02522一 C2 012522 011+-+C2 012x52 ( 1)2021 能被 13整除.且51+a能被13整除,.C2 012 (1)2 012+a=1 + a也能被 13整除.因此a可取值12.

11、答案 12规律方法(1)此题求解的关键在于将512 012变形为(521)2 012,使得展开式中的每一项与除数13建立联系.(2)用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数) 与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,但要注意两点：一是余数的范围,a= cr+b,其中余数bC 0, r), r是除数,切记余数不能为负,二是二项式定理的逆用.【练习 3】1-90C10 + 902C20 - 903吠+ + (-1)k90kd+ + 9010c10除以 88 的 余数是.解析 1 90C；0+ 902C20+ + ( 1)k90kc10+ + 9010c10= (1 9

12、0)10= 8910= (88 +1)10=8810+d0889+-一渭088+ 1,二.前10项均能被88整除,余数是1.答案1I课堂小结I1 .二项展开式的通项Tk+i = C%an-kbk是展开式的第k+1项,这是解决二项式定理有关问题的根底.在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制.2 .由于二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.3 .二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用,要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系.培养,解题水平教你解题提升水平创新突破9二项式的和与积问题【典例】(2

13、021济南质检)卜+ ：),：丁的展开式中各项系数的和为2,那么该展开 式中常数项为.突破：展开式的常数项来源于：“x+；中的x与x1展开式中含:的项相乘；弓与'2x- 1?展开式中含x的项相乘. x 】x /解析 在E+aJgx1/中,令x= 1,得一 5(1 + a)(21)5=1 + a=2,.a=1.'2x-1,展开式的通项 Tr +1 = C5(2x)5-r'-；) 弋 x)- x=C5 25-r(-1)rx5-2r.令 52r = 1,得 2r = 4,即 r=2,因此：2x1 5展开式中x的系数为C5252 ( 1)2 = 80.、 x,令 52r = 1

14、,得 2r=6,即 r = 3,因此'2x- 1)展开式中J的系数为C325-3 ( 1)3= 40.I x x；3 + X/2xX)展开式中常数项为8040=40.答案 40反思感悟对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题,要注意排列、组合知识的运用,还要注意有关指数的运算性质.对于三项式问题,一般是通过合并其中的两项或进行因式分解,转化成二项式定理的形式去求解.【自主体验】(1 + 2x)3(1 x)4展开式中x项的系数为.解析(1+2x)3(1x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到,即第一个因 式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项,它为C3(2x)

15、0 Ci(-x)1+ c3(2x)1 C014(-x)0,其系数为 c3 &(- 1)+C12= 4 + 6=2.答案 2课时题组练习阶梅练习练出高分根底稳固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1. (2021 西安调研)假设(1 +W=a+b>/3(a, b 为有理数),那么 a+b=. 解析(1+ 5)4=1+ c4 V3+c4(V3)2+c4(V3)3+(6)4=28+163,由题设 a=28, b=16,故 a+b=44.答案 442. (2021辽宁卷改编)使乂+比/何 N*)的展开式中含有常数项的最小的n为 解析 Tr + i = cn(3x)n-rQx) = Cn3

16、n-rxn5r,当 Tr+i 是常数项时,n-|r = 0,当 r =2, n = 5时成立.答案53,x a；8展开式中常数项为1 120,其中实数a是常数,那么展开式中各项系x数的和是.解析 由题意知C4 ( a)4= 1 120,解得a=芝,令x= 1,得展开式各项系数和为(1-a)8=1 或 38.答案1或384. (x+ 1)10=a + a2x+a3x2+ aux10 假设数列 a1,a2, a3,ak(1 < k< 11, k Z)是一个单调递增数列,那么k的最大值是.解析 由二项式定理知an = CnQ1(n= 1,2,3, , n).又(x+ 1)10展开式中二项

17、式系数最大项是第6项. 5.a6 = C10,那么k的取大值为6.答案 65,假设(1+ mx)6=a0+ax+ a2x2 + + a6x6,且 a1+ a2+ a6=63,那么实数 m 的值 为.解析 令 x=0,得 a0= (1 + 0)6= 1,令 x=1,得(1 + m)6= a0 + a + a2+ a6,又 a1 + a2+a3+ a6 = 63,二.+ m), = 64= 26,加=1 或 m= 3.答案1或一36. (2021四川卷)二项式(x+ y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是 州数字作答).解析 Tr + 1 = C5x5-ryr(r = 0,1,2,3,4,5),

18、依题意,r=3,.含x2y3的系数为 典会4j3 =10.3 A 2 A I答案 107. (a + x)4的展开式中x3的系数等于8,那么实数a=.解析(a+ x)4的展开式中的通项Tr + 1 = c4a4-rxr,当r=3时,有C3 a8,所以a=2.答案 211 ' -8.设fx 取)的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为N,240,那么展开式中含x的项为.M M - N 解析 由条件4n 2n=240,解得n=4,_r 、4 rTr + 1 = c4(5x)4rr _4 r r 3r= (1)5 - C4x4一万,. 3r 令 4 2=1,得 r = 2, T3=15

19、0x.答案 150x解做题31 9,二项式(艰+ -)的展开式中各项的系数和为256. x(1)求n； (2)求展开式中的常数项.解 (1)由题意得 Cn + Cn+C2+-+ Cn=256, .2n=256,解得 n=8.(2)该二项展开式中的第r+1项为一 7 ,3 . 8 r 1 r 7 84r Tr + 1 = C8(5/x) ! = C8x q ,x38 4r=0,得r = 2,此时,常数项为T3=c8=28.10.假设(2 + x+x2),一：的展开式中的常数项为a,求a(3x21)dx.(2 + x+x2)|1 13的展开式中的常数项为Xa= 2X 1+1X(3)+1X3=2.因

20、此a(3x21)dx= (x3-x)1 0a二(x3 x)02=6.0水平提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题、门刀以,一6,X<°, ew i士、q.be 女1 . (2021陕西卷)设函数f(x)=N X,那么当x>0时,ff(x)表达式的展开-依 x> 0,式中常数项为.解析 当x>0时,f(x)=仪<0 ,所以 ff(x)=f( W)=七一时,Tr +1 = C6x 1(6 r) (x2)r= ( 1)rc6x 3+由 r 3 = 0,得 r=3.所以ff(x)表达式的展开式中常数项为(1)3c6= 20.答案 -202 .假设将函数 f(x

21、) = x5表示为 f(x)=a0 + a(1+x) + a2(1+x)2+ a5(1+x)5,其中 a., a1, a2,a5为实数,那么a3=.解析 f(x)=x5=(1 + x 1)5,它的通项为 Tr+1=c5(1 + x)r (1)5-r, T4=c5 (1)2(1+ x)3= 10(1 + x)3, a3= 10.答案 102、6.2 .123. 右(1+x+x ) = ao+a1x+a2x + + a12x , 那么 a2+a4+ a12=.6-rt _LL八/ E.r- 6解析令 x=1,那么 a0+a+a2+ a2=3 ,令 x=1,贝U a0a1+ a2+a12= 1,36

22、+1-'-a0 + a2+ a4 + + a12二36+1令 x=0,那么 a0= 1,.a2+a4+ ai2=2一 1 = 364.答案 364二、解做题4,由 A, B, C, D, E五人并排站成一排,如果 B必须站在A的右边A, B可以不 相邻,那么不同的排法共有.解析 可先排C, D, E三人,共A5种排法,剩余A、B两人只有一种排法,由分步乘法计数原理满足条件的排法共 A3= 60种.答案 60种 2021重庆质检1+3xn其中nC N且n>6的展开式中x5与x6的系数相等, 那么n等于. 解析1 + 3xn的展开式中含x5的项为Cn3x5=C535x5,展开式中含x

23、6的项为 珑+1“展开式中的各项系数之和等于 学2+t的展开式的常数项,而 由2+1邛勺展开式的系数最大的项等于54,求正数a的值.解心2+展开式的通项为 Tr+1 = C556x2 由两项的系数相等得C5 35=C6 36,解得n = 7. r /xj= Jj5 f C5x202 5r, 4 205r=0,得r = 4,故常数项T5 = C4x £= 16.又a2+1n展开式的各项系数之和为52n,由题意得2n = 16,. n=4.；a2+136x6.展开式中系数最大的项是中间项 T3,从而 c4a22=54,解得 a=,3.方法强化练一一计数原理对应学生用书P359建议用时：6

24、0分钟、填空题3 . 2021济南调研只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时 使用,且同一数字不能相邻出现,那么这样的四位数有 .解析 由题意知,1,2,3中必有某一个数字重复使用 2次,第一步确定谁被使用2次,有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上,有2种方法.故共可组成3X3X2=18个不同的四位数.答案18个4 .组合式cl2d+4C2 8Cn+ 2ncn的值等于.解析 在1+乂=出+&乂+C乂2+- + 不乂“中,令 x= 2,得原式=1 2n=1n.答案1n5 .假设卜一

25、1的展开式中第3项的二项式系数是15,那么展开式中所有项系数之和 为.解析 由题意知c1= 2= 15,所以n = 6,那么2/n= 3-2,令x= 1得所有项系数之和为1 2021杭州检测甲、乙两人方案从A, B, C三个景点中各选择两个游玩,那么两 人所选景点不全相同的选法共有 .解析 甲、乙各选两个景点有 C3c3=9种方法,其中,入选景点完全相同的有3种.一.满足条件要求的选法共有9 3 = 6种.答案6种7,假设x18 = a0+ai1+x + a21+x2+ a81+ x8,那么 a6=. 解析x-18= x+ 1 28= ao+ a11 + x + a21 + x2+ + a81

26、 +x8, =磊.28答案 112,x y+ 2>0,8. 2021长沙模拟x, y满足<x + y 2<0,x Z, yCZ,每一对整数x,l00y<2y对应平面上一个点,那么过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为解析*+尸 2=0如下列图,阴影中的整点局部为x, y满足的区域,其中整数点x, y共有8个,从中任取3个有C3=56种取法.其中三点共线的有1 + C3=11种.故可作不同的圆的个数为45.答案 459. 2021广州调研a = 2"cos'x+6 dx,那么二项式丫 + ：的展开式中x的系 ,0数为.解析 a=2 f ltcosx+

27、dx= 2sin x+i = 2,那么 g+a 5= 了一f丁-1 = C5 °'30产"r 2=_2c5x10-3r.x- x p,令 10 3r=1,得 r = 3.展开式中x的系数为23C3= 80.答案 8010. 2021衡水中学模拟用1,2,3,4,5,6组成六位数没有重复数字,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是 .解析 先将3,5排列,有A2种排法；再将4,6插空排列,有2A2种排法；最后将1,2 插入3,4,5,6形成的空中,有C5种排法.由分步乘法计数原理知,共有Al 2Ai C1 =40种.答案 4012 一 2

28、 111. 2X+ 3 n的展开式中各项系数之和为729,那么该展开式中二项式系数最大的项,工/X /等于.解析 依题意,令x=1,有3n = 729,那么n=6, .展开式第4项的二项式系数最大,那么 T4 = c62x3 '豕 = 160X22答案 160X12. 2021郑州调研某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、丁两种不能排在一起,不同的排 法共有种.解析 甲、乙作为元素集团,内部有 a2种排法,“甲乙元素集团与“戊全排列有a2种排法.将丙、丁插在3个空档中有a3种方法.由分步计数原理,共有2 2 2A2A2A3=24

29、种排法.答案 2413. 2021新课标全国I卷设m为正整数,x+y2m展开式的二项式系数的最大值 为a, x+ y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,假设13a=7b,那么m =.解析 由二项式系数的性质,得a=Cmn,b=Cmm+ 1 = C%J 1,又13a= 7b,因止匕13cmm =7C2m+1,解得 m=6.答案 614. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,假设每级台阶最多站 2人,同一级台 阶上的人不区分站的位置,那么不同的站法种数是 用数字作答.解析 当每个台阶上各站1人时有a3c3种站法,当两个人站在同一个台阶上时有Me7c6种站法,因此不同的站法种数有 A3c7+ c3C7c6= 210+126= 336种.答案 33615. (2021无锡质检)(x2+2), 1)的展开式的常数项是 .解析 二项式 凸1 展开式的通项为：xTr + 1 = C5 -r ( 1)r=C5 x2r-10 (1)r.当 2r 10= 2,即 r = 4 时,有 X2 c5x-2 (-1)4=C4X (- 1)4 = 5;当 2r 10= 0,即 r = 5 时,有 2 c5x0 ( 1)5= 2.展开式中的常数项为5-2=3