中考总结复习冲刺练坐标系中的几何问题

1、2021中考总结复习冲刺练：坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面,相信很多同学都已经掌握了.但是中考中,最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的,一方面涉及函数,坐标系,计算量很大,另一方面也有各种几何图形的性质表达.所以往往这类问题都会在最后两道题出现,而且根本都是以多个小问构成.此类问题也是失分最高的,往往起到拉开分数档次的关键作用.作为想在中考数学当中拿高分甚至总分值的同学,这类问题一定要重视. 此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发,去彻底攻克此类问题.第一局部真题精讲【例1】2021,石景山,一模：如图1,等边AAB

2、C的边长为2& 一边在x轴上且A(1-73,0), AC交y轴 于点E ,过点E作EF / AB交BC于点F .(1)直接写出点B、C的坐标；(2)假设直线y =kx 1(k*0)将四边形EABF的面积两等分,求 k的值；(3)如图2,过点A、B、C的抛物线与-y轴交于点D , M为线段OB上的一个动点,过x轴上一点G(-2,0 )作DM的垂线,垂足为 H ,直线GH交y轴于点N ,当M点在线段OB上运动时,现给出两个结论： NGNM =NCDM /MGN =/DCM ,其中有且只有一个结论是正确的,请你判 断哪个结论正确,并证实.【思路分析】很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合

3、压轴题就觉得头皮发麻,稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心.在这种时候要慢慢将题目拆解,条分缕析提出每一个条件,然后一步一步来.第一问不难,C点纵坐标直接用tg60.来算,七分中的两分就到手了. 第二问看似较难,但是实际上考生需要知道 “过四边形对角线交点的任 意直线都将四边形面积平分这一定理就轻松解决了,这个定理的证实不难,有兴趣同学可以自己证一下加深印象. 由于EFAB还是一个等腰梯形, 所以对角线交点非常好算,四分到手.最后三分收起来有点麻烦,不过稍微认真点画图,不难猜出式成立.抛物线倒是好求, 由于要证的是角度相等,所以大家应该想到全等或者相似三角形,过 D做一条垂线就发现 图中有多个

4、全等关系, 下面就忘记抛物线吧, 单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去 证实就很简单了.至此,一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了.【解析】解：(1) B(1 +J3,0)； C(1,3).(2)过点C作CP _LAB于P ,交EF于点Q,取PQ的中,点R. MBC是等边三角形, A(1 -J3,0)./EAO =60 .在 Rt任OA 中,ZEOA =90 s.,EO =AO tan60 - - 1 - 33 =3- 3.E 0,3 - 3 .EF / AB交 BC于 F , C(1,3).(就是四边形对角线的中点,横坐标自然和C 一样,纵坐标就是E的纵坐标的一半)直线y =k

5、x -1将四边形EABF的面积两等分. k -1直线y =kx -1必过点2(3)正确结论： /GNM =/CDM .证实：可求得过 A、B、C的抛物线解析式为 y =-x2 +2x + 2D(0,2 卜 G(2 0).OG =OD .由题意 /GON=/DOM =90-又 /GNO=/DNHZNGO ZMDO 网GO MDOZGNO =/DMO , OM =ON. ONM =. NMO =45过点D作DT _LCP于TDT =CT =1ZCDT ZDCT =45由题意可知DT / AB . TDM =/DMO . TDM 45 =/DMO 45=/GNO 45 . TDM CDT = GNO

6、 ONM即：ZGNM =ZCDM .这一问点多图杂,不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图【例2】2021,怀柔,一模如图,在平面直角坐标系 xoy中,抛物线1 2 4y =- x - x-10与x正半轴父于点 A,与189轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点 C,连ZAC.现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿 OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE / OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点

7、的坐标；(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形请写出计算过程；当求出此定值0 v t v 9时, PQF的面积是否总为定值 假设是,2,假设不是,请说明理由；(4)当时,4PQF为等腰三角形【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行,所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉.此题一样一步步拆开来做,第一问送分,给出的抛物线表达式很好因式分解.注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的.第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中条件有何关系.QC=PA时候即可.在运动中,QC和PA始终是平行的,根据平行四边形的判定性质,只要第三问求

8、 PQF是否为定值,由于三角形的一条高就是Q到X轴的距离,而运动中这个距离是固定的,所以只需看PF是否为定值即可.根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF,得解.第四问由于已经知道 PF为一个定值,所以只需 PQ=PF=18即可,P点(4t,0) Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解做题来出的本来是 3分,但是此题作为1分的填空,考生只要大概彳#出应该是FP=FQ就可以.实际测试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了1 .2I解析】解：

9、广江-80)80 x -18 x 10 )=0. x=18 或 x = -10,A(18,0)；一 1 24在 y = x x10 中,令 x = 0得 y =10 即 B(0, -10)； 1891 2 4由于BC / OA ,故点C的纵坐标为一10,由-10二一 x 一一x_10得x=8或x=0 189即 C(8, -10)是,A(18,0), B(0, -10),C(8,-10)(2)假设四边形PQCA为平行四边形,由于 QC/PA.故只要QC=PA即可PA =18 -4t,CQ -t 18 18 4t t 倚 t = 5(3)设点P运动t秒,那么OP =4t,CQ =t , 0ct 4

10、.5,说明P在线段OA上,且不与点O、A重合,由于 QC/ OP知 QDCsPDO,故 QD =堡=1DP OP 4t 4AF =4t =OPPF = PA AF = PA OP =18又点Q到直线PF的距离d =1011SPQF =-LPF_d = - 18 10 = 90.PQF的面积总为90(4)由上知,P(4t,0), F(18+4t,0), Q(8-t,-10), 0MtM4.5.构造直角三角形后易得2_2_2_2PQ2 =(4t-8t)2102=(5t -8)2100FO2 =(18 4t -8 t)2 102 = (5t 10)2 100假设 FP=PQ,即 182 =(5t 8

11、)2 +100 ,故 25(t +2)2 =224 ,2t+24.5 或5t =8-454NK =10 aNF ,ZNPF 丰 90以点P、N、F为顶点19,2综上所得,当Q点坐标为(一,0)或(,0)时,的三角形是直角三角形.【例4】2021,房山,一模如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线l1 ： y = -V3x+6J3交x轴、y轴于A、B两点,点M (m,n诞线段AB上一动点,点C是线段OA的三等分点.(1)求点C的坐标；(2)连接CM ,将4ACM绕点M旋转180工得到ACM .G1.当BM =2 AM时,连结AC、AC,假设过原点O的直线L将四边形ACAC分成面积相等的两个四边形,

12、确定此直线的解析式;过点A作AH _Lx轴于H ,当点M的坐标为何值时,由点 A、H、C、M构成的四边形为梯形【思路分析】此题计算方面不是很繁琐,但是对图形的构造水平提出了要求,也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目.第一问自不必说,第二问第一小问和前面例题是一样的,也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理.求出交点就意味着知道了直线 .第二小问较为麻烦,由于C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了【解析】(1)根据题意:A(6, 0 ), B(0, 6向) C是线段OA的三等分点 .C(2,0

13、域 C(4,0)2 分(2)如图,过点M作MN _Ly轴于点N,那么 ABMN sBAO. 1 BM =-AM . 2 1 1 . BM = -BA 3. 一 1 一2 BN BO 3N 0, 4 3丁点M在直线y =_J3x +6乖上M 2, 4 3 -3 ACM是由4ACM绕点M旋转180口得到的AC / AC.无论是Ci、C2点,四边形 ACAC是平行四边形且 M为对称中央,所求的直线12必过点M 2, 4百.直线12的解析式为：y =2当Ci2, 0闪,第一种情况：H在C点左侧假设四边形AHC1M是梯形. . AM与HCi不平行AH / MCi此时M 2, 4 3第二种情况：H在C点右

14、侧假设四边形ACiHM是梯形 AM与CiH不平行AC1 / HMM是线段AA的中点二. H是线段ACi的中点H 4, 0由 OA=6, OB=6*. OAB =60点M的横坐标为5M 5, 3当C24, 0 时,同理可得第一种情况：H在C2点左侧时,M 4, 2.3 -第二种情况：H在C2点右侧时,综上所述,所求M点的坐标为:, Ll * L * L .11.3| M2,4J3, M5,后,M4, 2m或 M .：,可I22 【例5】通州,2021, 一模在平面直角坐标系中,抛物线 y =x2 +2x-3与x轴交于A、B两点,(点A在点B左 侧).与y轴交于点C,顶点为D,直线CD与x轴交于点

15、E.(1)请你画出此抛物线,并求 A、B、C、D四点的坐标.(2)将直线CD向左平移两个单位,与抛物线交于点F (不与A、B两点重合),请你求出F点坐标.(3)在点B、点F之间的抛物线上有一点 P,使4PBF的面积最大,求此时 P点坐标 及4PBF的最大面积.(4)假设平行于x轴的直线与抛物线交于 G、H两点,以GH为直径的圆与x轴相切, 求该圆半径.【思路分析】此题看似错综复杂,尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤,稍微没画 好就会让人头大无比.但是不用慌,一步步来慢慢做.抛物线表达式很好分解,第一问轻松写出四个点.第二问向左平移,C到对称轴的距离刚好是 1,所以移动两个距离以后就到了关于对称

16、轴对称的点上,所以F直接写出为(-2,-3)第三问看似棘手,但是只要将PBF拆解成以丫轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了.将P点设出来然后列方程求解即可.最后一问要分 GH在X轴上方和下方两种情况,分类讨论.不过做到最后一步 相信同学们的图已经画的乱七八糟了,由于和前面的问题没有太大关系,所以建议大家画两个图分开来看.【解析】解：(1) A ( 3 0 ) B (1,0 ), 0(0, _3 ), D(_1,_4y(2) F(2-3)(3)过点P作y轴的平行线与BF交于点M ,与x轴交于点H易得F(N,3 ),直线BF解析式为y=x1.设 P(x,x2 +2x3),那么 M (x,x

17、1 ),.2 PM 二一x -x 2.一 .一 9PM的最大值是一4当PM取最大彳1时iPBF的面积最大S PBFS.：PFMS.PBM2727iPFB的面积的最大值为 一(4)如图,当直线 GH在x轴上方时,设圆的半径为 R(R0),那么H(R-1,R),代入抛物线的表达式,解得 R =1_二！.2当直线GH在x轴下方时,设圆的半径为 r(r0),那么 H r -1, -r ,代入抛物线的表达式,解得r二一1172圆的半径为117或-117 .【总结】 通过以上五道一模真题, 我们发现这类问题虽然看起来十分复杂,但是只要一问一问研究慢慢分析,总能拿到不错的分数.将几何图形添进坐标系大多情况下

18、是和抛物线有关,所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握,尤其是借助抛物线的对称性,有的时候解题会十分方便.无论题目中的图形是三角形,梯形以及平行四边形或者圆, 只要认清各种图形的一般性质如何在题中表达就可以了.例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关,梯形要抓住平行,平行四边形要看平行且相等,圆形就要看半径和题目中的条件有何关系.还需要掌握平分三角形 /四边形/圆形面积的直线分别都一定过哪些点.总之,再难的问题都是由一个个小问题组成的, 就算最后一两问没有时间思考拿不了全分, 至少要 将前面容易的分数拿到手, 这局局部数其实还不少. 像例2最后一问那种情况,该放弃时候果断放弃,不要为

19、1分的题失去了大量检查的时间.第二局部发散思考【思考1】2021,北京如图,在平面直角坐标系xOy中,ABC三个顶点的坐标分别为A( -6,0 ),B(6,0 ), C (0, 4M ),延长 AC 到点 D,使 CD= 2 AC ,过点 D 作DE / AB交BC的延长线于点 E.(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线 DE的对称点F,分别连结DF、EF, 假设过B点的直线y =kx + b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；(3)设G为y轴上一点,点P从直线y = kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,假设P点在y轴上运动的速度是它在直线

20、 GA上运动速度的2倍, 试确定G点的位置,使 P点根据上述要求到达 A点所用的时间最短.(要求：简述确定 G点位置的方法,但不要求证实)【思路分析】在一模真题局部我们谈到的是直线分四边形面积相等,但是这道去年中考原题那么是分周长相等.周长是由很多个线段组成的,所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了. 所以自然想到去证实全等三角形.第三问虽然不要求证实, 但是只需设出速度,利用相似三角形去建立关系,还是不难证实的,有余力的同学可以试试.【思考2】2021,西城,一模3：如图,在平面直角坐标系xOy中,直线丫 = 一-*+6与*轴、y轴的交点分4别为A、B,将/ OBA对折,使点O的对

21、应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.(1)直接写出点C的坐标,并求过 A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)假设抛物线的顶点为 D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形 ODAP为平行四边形假设存在,求出点 P的坐标；假设不存在,说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T, Q为线段BT上一点,直接写出QA -QO|的取值范围【思路分析】第二问有两个思路,第一个是看四边形的线段是否平行且相等,角是否符合平行四边形的条件.另一个是看假设有平行四边形,那么构成平行四边形的点P是否在BC上.从这两个思路出发,列出方程等式即可求解.第三问根据抛物线的对称性来看三点共线,继而看出最大值和

22、最小值分别是多少.【思考3】2021,朝阳,一模抛物线与x轴交于A (1, 0)、B两点,与y轴交于点C (0, 3),抛物线顶点为 M,连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点 Q,且点Q到x轴的距离为6.(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点 D,使得DC与AC垂直,求出点 D的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在一点P,使得SA PAM=3SAACM ,假设存在,求出 P点坐标；假设不存在,请说明理由.【思路分析】第一问要算的比较多,设直线以后求解析式,看出抛物线对称轴为x=1,然后设顶点式解个二元方程组即可.第二问利用三角形相似求出点N坐标,然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第

23、三问考验对图形的理解,如果能巧妙的将 ACM的面积看成是四边 形ACEM减去 AME,那么就会发现四边形 ACEM刚好也是 AOC和梯形OCEM之和,于 是可以求出PM的距离,然后分类讨论PM的位置即可求解.【思考4】2021,崇文,一模如图,抛物线y = ax2 + bx - 3与x轴交于A, B两点,与y轴交于点C ,且OB =OC =3OA.(I)求抛物线的解析式；(II)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形假设存在,求出P点坐标,假设不存在,请说明理由;1(III)直线y = x+1交y轴于D点,E为抛物线顶点.假设 /DBC=s, 3NCBE = B

24、,求a P 的值【思路分析】 此题虽然没有明确给出坐标,但是表达式中暗含了 X=0时Y=-3 ,于是C点得出,然后利用给定的等式关系写出A,B去求解析式.第二问中,由于 AC是固定的,所以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型.注意分类讨论.第三问那么是少见的计算角度问题,但是实际上也是用线段去看角度的相等.最方便就是利用正切值构建比例关系,发现/ CBE= / DBO ,于是所求角度差就变成了求/OBC.第三局部 思考题解析【思考1解析】解：(1)A(-6,0) , C(0,4-73),OA =6, OC =4,3 .设DE与y轴交于点M .由 DE / AB 可得 DMC AAOC .1又

25、 CD =AC , 2,MD CM CD 1 , , , , , , 一 .OA CO CA 2 CM =2百,MD =3.同理可得EM =3 .OM 6.3.D点的坐标为3,6北.2由1可得点M的坐标为0,6,3.由 DE / AB, EM =MD ,CH1OAM,Dx可得y轴所在直线是线段 ed的垂直平分线.,点C关于直线DE的对称点F在y轴上. ED与CF互相垂直平分.CD =DF =FE =EC .,四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中央.作直线BM .设BM与CD、EF分别交于点S、点T .可证 FTM ACSM .FT =CS.FE =CD , .TE =SD. EC =DF ,

26、. . TE + EC +CS + ST = SD + DF + FT +TS .,直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形.由点 B(6,0),点 M (0,673)在直线 y=kx + b 上,可得直线BM的解析式为y = -J3x + 6J3.(3)确定G点位置的方法：过 A点作AH BM于点H .那么AH与y轴的交点为 所求的G点.由 OB =6, OM =6百,可得 /OBM =60,NBAH =30 .在 RtAOAG 中,OG = AOtan/BAH =2屈.G点的坐标为(0,273).(或G点的位置为线段 OC的中点)【思考2解析】解：(1)点C的坐标为(3,0).点A

27、、B的坐标分别为A(8,0), B(0,6),可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y =a(x-3)(x -8).过A、B、C三点的抛物线的解析式为将x=0,y =6代入抛物线的解析式,得 a11.(2)可得抛物线的对称轴为 x=一,顶点D的坐标为21125、(,一一),设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.216直线BC的解析式为y = -2x+6 .-设点P的坐标为x,二x +6.解法一：如图8,作OP/AD交直线BC于点P, 连结AP,作PMx轴于点M.OP / AD, / POM= / GAD , tan/ POM=tan / GAD.25PM DG 2x 616二,即 =-677OM

28、GAx 8_U-21616 、.解得x =一 .经检验x = 一是原方程的解77 16 10、此时点P的坐标为,. _16 _5但此时 OM = 一,GA=, OMv GA.OP =OMcos.ZPOM72GAAD =, /POM 二 GAD,cos/GADOPvAD,即四边形的对边 OP与AD平行但不相等,直线BC上不存在符合条件的点 P.解法二：如图9,取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PNx轴于点N.贝U/PEO=/DEA, PE=DE.可得PENA DEG .OA由OE = =4 ,可得E点的坐标为4,0. 2NE=EG= - , ON=OE - NE= 5 , NP=DG=

29、 25 2216 -,一 5 25 .点P的坐标为325.2 165 -525x=时,-2x+6 = -2M+6=1.一,2216,点P不在直线BC上.直线BC上不存在符合条件的点 P .说明：如图10,由对称性可知4 .Q、H、A三点共线,QO=QH , QA -QOQA -QO取得最大值4 (即为AH= QA QH .当点Q与点B重合时,的长)；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合时,QA-QO取得最小值0.【思考3解析】解：(1)设直线AC的解析式为y = kx 3 ,把A (-1, 0)代入得k = 3.直线AC的解析式为y = -3x3.依题意知,点 Q的纵坐标是6.把 y =-6 代入 y = -3x -3 中,解得 x = 1 , 点 Q (1,