18狭义相对论习题精选解析版

1、派18狭义相对论习题精选解析版一、 狭义相对论的两条根本假设1 .经典的相对性原理一速度的合成法那么2 .光的传播与经典的速度合成法那么存在矛盾,狭义相对论提出的两条根本假设是：相对性 原理与光速不变原理.3 .“事件概念是理解同时的相对性的根底,“地面上认为同时的两个事件,对于沿着两个事件发生地的连线的观察者来说,更靠前面的那个事件发生在先要记住这个结论.二、时间和空间的相对性1 .长度的相对性：l =l0 jl 22:t2 .时间的相对性：t 卜丁三、狭义相对论的其它三个结论1.相对论速度变换公式:2.相对论质量公式:mb1-C23 .质能方程：e =mc2224 .相对论动能：EK=EE

2、0=mc -m0c一.例题1.S系中平面上一个静止的圆的面积为12cm2在S'系测得该圆面积为多少？ S'系在t =t' = 0时与S系坐标轴重合,以-0.8c的速度沿公共轴X-X,运动.解：在S'系中观测此圆时,与平行方向上的线度将收缩为RV1 - V-而与垂直方向上的线度不变,仍为 2R,所以测得的面积为椭圆面积：c 9c L V f2 LV?2S = nab = ti 1 - - I R = hR 1 - - 7 = 7.2cmC <c；(式中a、b分别表示椭圆的长半轴和短半轴)2.S系中记录到两事件空间间隔Ax = 600m,时间间隔 t=8Ml0

3、's,而s'系中记录 t= 0,求s'系相对s系的速度.解：设相对速度为v,在S系中记录到两事件的时空坐标分别为x1,t1、x2,t2; S'系由洛仑兹变换得:中记录到两事件的时空坐标分别x1 ,t1 为及x2 ,t2 .乂 xc2得:-2(x2 -x1) i= V At -2 Ax i根据题意得:：t' =0, . ：x =600m, . ：t =8 10Sv .-x =c2c , 一 一8 ,-v = ：t = 1.2 10 m / s = 0.4C二 x3 . 一根米尺静止在s系中,和o x轴成30 -角,如果S系中测得该米尺与 ox轴成45 -角

4、,s 系相对s系的速度是多少？ s系中测得米尺长度是多少?解：如图,由题意知,在S系中米尺在ox及oy方向上的投影的长度为：l x -1 cos30l；=l'sin30 一 其中 l'=1m于是有F设在S系中测得米尺长为l,那么米尺在ox,oy方向上的投影的长度为:lx=lcos45 -1y =lsin45 一 即 lx=ly由于尺在oy方向上的投影长度不变即：1y =ly.'lx = ly =ly =l sin30 由S系测得尺在ox方向的投影的长度为:记日口0' JTvTlx =lx.：1 I 即 l sin30 =l cos30 '1 1 =C&l

5、t;cjc<cjsin 30 -、cos30 一=0.8 1 6在S系中测得米尺的长度为:cos 45l sin30 = 0.707m cos 454 .宇宙飞船相对于地面以速度 v作匀速直线飞行,某一时该飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号,经过 At 飞船上的钟时间后,被尾部的接收器收到,那么飞船的固有长度是多少？解：飞船的固有长度就是相对于飞船静止的观察者测得的飞船长度.由题意知,飞船的固有长度为L = c t5 .一立方体,沿其一棱的方向以速度v运动试证其体积和密度为 V = V0ql-和一 2 -.1P=/m0/V0.式中m0、v0为静止质量和体积, P=v/c i =、；

6、11- -2证实：设立方体静止时的长、宽、高分别以X.、y.、Z0表示；当立方体沿其一棱方向以速度v相对于观察者测得立方体的长、宽、高分别为:L /vfx=X01n,y=y0,z=Z0相应的体积为：V <c ；V =x y z=X0y0Z0 J -= V0.1 -= V051 -口之 以 v运动的立方体,其 2, V 1c,质量为 m = T 于是密度：1-2：=m = m01_ 2 m0一1 12 V° ,12 一V；6 .一火箭的固有长度 L,相对于地面作匀速直线运动的速度为v1,火箭有一个人从火箭的后端向火箭前端的一个靶子发射一颗相对于火箭的速度为v2的子弹,问在火箭上测

7、得子弹从射出到击中靶子的时间间隔是多少？解：由题意火箭上发射的子弹从发射到击中靶子所前进的距离为火箭的固有长度L,于是子弹前进L距离所需时间就是所求的时间间隔即.寸=工7 .一个0.8c速度运动的粒子,飞行了 3m后衰变,该粒子存在了多长时间？与该粒子一起运 动的组系中来测量,这粒子衰变前存在了多长了时间？解：设与粒子一起运动的坐标系为S'系,S'系相对于S系运动速度伪0.8C.由题意知,该粒子存在的时间At (S系中测量)就是该粒子在S系中飞行3m所需的时间.即At = 一 =1.25m10"S如果在S'系中来测量,那么粒子衰变前存在的时间t (固有时间)为

8、：At =AtJ12-I =7.5父10%0.8C8.在6000m的高层大气中产生了一个具有N介子的平均寿命:那么N介子的平均飞行距离为:L = vt=9.46km 所以N介子的飞行距离大于高度2x10"6s平均寿命的N介子,该介子以 0.998c的速度向地球运动,它衰变前能否到达地面?解：考虑相对论效应,以地球为参考系,tn_66t = ,0- = 31.6x10 s 其中 t0 = 2x10 S v = 0.998Cc<c(60000m),它衰变以前能到达地面.9.一艘宇宙飞船的船身固有长度为L.= 90m,相对于地面以v0= 0.8c (c为真空中光速)的速度在一观测站的

9、上空飞过.(1)观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？(2)宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？解：(1)观测站测得飞船船身的长度为：L = L0 -1 -fv-) =54m那么所求的时间为固有时间,ct = =2.25 10 飞V0(2)宇航员测得船身通过观测站的时间间隔-ti-7 _.寸2 =3.75 10 Sl".c10.在惯T系S中,有两事件发生于同一地点且第二事件比第一事件晚发生At = 2秒钟；而在另一惯性系s'中,观测第二事件比第一事件晚发生At =3秒钟.那么在S系中发生两事件的地点之间的距离是多少？解：令S'系与S系的相对速度为v,有

10、tt由此得2v-Ch 但) v= 2.24 108m/s1- c那么在S'系中测得两件事之间的距离为：Ax = x2 -x1由洛仑兹变换得：,广.：t - .' c28 由此得Ax =* = -6.70x108m 其中式中负号表不x2 : X111.S惯性系中观测者记录到两事件的时间间隔分别是x2 -x1 =600m和t1 -t2 =8M10,s,为了使两事件对相对于s系沿正x方向匀速运动的s'系来说是同时发生的,s'系必需相对于s系以多大的速度运动？证实：设两系的相对速度为 v,根据洛仑兹变换:由题意：.心.寸-)=0立=1.2 108Lx12 .一个粒子总能

11、量为 6 M 103MeV ,动量为3M 103MeV /c它的静止能量是多少?解：由相对论的动量与能量关系式:E2 =(m0c2 2+ P2C2 得:E0 =m0c2 = JE2 -(PCf 由此得 Eo =m0c2 =5.20><103MeV13 .一个电子从静止加速导0.1c的速度需要作多少功？速度从 0.9c加速到0.99c又要作多少功？解：根据功能原理,要作的功根据相对论能量公式22E = m 2c - m 1cmo根据相对论质量公式m1 =m0,m2mo1-丁V2v1 =0,v2 =0.1C 时22 m°clc )1_m0c2=4.12 10,6J=2.58

12、10,eV 1(米用经典功能公式 W =1m0v2 0 = 4.10x106J,现当v = 0.1e时仍可近似米用经典 2公式计算)v1 =0.9C,v2 = 0.99Cm1m°22m0cm0cj36W : 0-0=3.93 10 J = 2.46 10 eV1 -/1c 、cJ c <c14.设某微观粒子的总能量是它静止能量的解：根据相对论的动量与能量关系：k倍,问其运动速度的大小是多少?2 mc=km0c22moc 22 二 km0c 1-v,c所以:由此得15. (1)在速度ck * k2 -1v = ° K2 -1Kv满足什么条件下粒子的动量等于非相对论动量的

13、两倍;(2) v满足什么条件的粒子的动能等于它的静止能量.解：(1)由题意得:mov00=2movV由此得 v-C2(2)根据质能关系式：E = mc2 . L-=m0c +Ek有22Ek = mc - m0c2由题息知：Ek = m 0c一 2 一 2 一 2m°c = mc m0c所以由此得16.在参照系S中,有两个静止质量都是m0的粒子A和B,分别以速度 v沿同一直线相向运动,相碰后合在一起成为一个粒子,求其静止质量Mo ?解：由动量守恒定律有:mA v A - m Bv B = Mv由于 mA = mB = mA BA VVB = V所以 v =0合成粒子是静止的即 M =M

14、0(M表不合成粒子的静止质量)由能量守恒定律得:M 0c2 =2 m0 =c22m017 .一匀质矩形薄板,在它静止时测得其长为a,宽为b,质量为m0,由此可算出其面积密度为m.假定该薄板沿其长度方向以接近光速的速度v作匀速直线运动,此时再测算该矩ab形薄板的面积密度那么为多少？解：当薄板以速度 v沿其长度方向匀速直线运动时,相对于板静止的观察者测得该板的长为a = a'1 - V1,宽b' = b ,此时板的质量, c8倍,求该介子的动能.(已18 .在实验室中观察到宇宙射线一介子的寿命是它的固有寿命的 知该介子的静止质量为 m0)解：由 t =t0/Jl_V2/C2 =8t

15、o 得 l/Jl_V2/C2 =8相对论动能：2 2m 0八2 2222Ex =mcm0c =C -moc =8m0c - moc =7m0c.1 -V2 C219 . 1905年爱因斯坦提出了狭义相对论,狭义相对论的出发点是以两条根本假设为前提的, 这两条根本假设是DA.同时的绝对性与同时的相对性B.运动的时钟变慢与运动的尺子缩短C.时间间隔的绝对性与空间距离的绝对性D.相对性原理与光速不变原理20 .地面上A、B两个事件同时发生.对于坐在火箭中沿两个事件发生地点连线飞行的人来 说,哪个事件先发生？解答：地面在向火箭运动,从闪光发生到两闪光相遇,线段中点向火箭方向了一段距离,因此闪光B传播的

16、距离比闪光 A长些,既然两个闪光的光速相同, 一定是闪光B发出的早一些.21 .一列火车以速度V相对地面运动,如果地面上的人测得,某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁,那么根据火车上人的测量,闪光先到达前壁还是后壁？火车上的人怎样解释自己的结果？ 解答：火车上的人测得,闪光先到达前壁,由于地面上的人测得闪光同时到达前后两壁,而在光向前后两壁传播的过程中,火车要向前运动一段距离,所以光源发光的位置,一定离前壁较近,这个个事实对车上、车下的人都是一样的.各方向的光速又是一样的,当然闪光先到达前壁.在车上的人看来既然发光点离前壁较近,22.A、B、C三个完全相同的时钟,A放在地面上,B C分别放

17、在两个火箭上, 以vB和Vc朝同一方向飞行,Vb <Vc,D地面上的观察者认为哪个时钟走得最慢？哪个走得最快?解答：地面上的观察者认为C钟走得最慢,由于它相对于观察者的速度最大,根据公式At =1 可知,相对于观察者的速度 v越大,其上时间进程越慢,地面钟 v=0,它记,Y)2录的时间间隔最大,即地面钟走得最快.3 J 一23.飞船以 丫=9父10 ms (32400km/h)的速率相对地面飞行.飞船上的钟走了5秒,问用地面上的钟测量经过了几秒?解:9 1033 108)2=5.000000002s24.以8km/s的速度运行的人造卫星上,一只完好的手表走过了1min,地面上的人认为它走

18、过这1 min "实际上花了多少时间？8 1033 108)2min = (1 3.6 10/°) min25 . (08江苏卷)惯性系 S中有一边长为l的正方形(如图 A所示),从相对S系沿x方 向以接近光速匀速飞行器上测得该正方形的图象是 .( C )观察者测得火箭的长26 . 一支静止时长30m的火箭以3 k m/ s的速度从观察者身旁掠过,度应为多少？火箭上的人测得的长度是多少？如果火箭的速度为光速的二分之一呢?. . . . . . . . . 解答：在火箭上测量认为火箭是静止的,测得的长度仍为l =30m在两种情况下,地面观察者测得的长度分别为li =lo,1.

19、(V)2 =30 .1一(3 108)2m = 30 (1 -5 1011)mc3 108I2 =l0. 1-(V)2 =30 . 1-(0.5c)2m ： 26m, c. c27 .( 08海南卷)设宇宙射线粒子的能量是其静止能量的k倍.那么粒子运动时的质量等于其一、.k2 -1静止质量的 倍,粒子运动速度是光速的(k,卜 b28 .两个电子相向运动,每个电子对于实验室的速度都是它们的相对速度是多少？在5实验室中观测,每个电子的质量是多少？此题和下题计算结果中的光速C和电子的静质量 m不必代入数值.解：设在实验室中观察,甲电子向右运动,乙电子向左运动、假设以乙电子为“静止4参考系,即O系,实

20、验室(记为 O系)就以2 C的速度向右运动,即 O系相对于O系的速5度为v =4C (图-4).甲电子相对于 O系的速度为u =-C.这样,甲电子相对于乙电子的55速度就是在O系中观测到的甲电子的速度 u,根据相对论的速度合成公式,这个速度是u Vu=；4 .45 540c 二c13f415 5在实验室中观测,每个电子的质量是ck k2 -1t = ( t-u t 2)=05=me329.上题中,在实验室观测,两个电子的总动能是多少？以一个电子为参考系,两个电子的总动能又是多少？计算时由电子运动时的能量减去静止时的能量就得到电子的动能.Eki = 2( m c2-mec2) = 2x ( 5

21、mec322一 mec ) =1.3 mc解：在实验室观测,两个电子的总动能为相对于乙电子,甲电子的质量是=4.561 -meme因此,以乙电子为参考系,甲电子的动能为Ek2= m c2-mc2=4.56 mc物理学的研究常常要利用高速粒子的相互撞击.通过这个习题我们看到,为使相互碰撞的粒子到达一定的相对速度,同时加速两束粒子,使它们迎头相撞,这样所需的能量要比只加速一束粒子,用它去轰击静止的靶所需的能量少,因而在技术上容易实现.这就是为什么有时候人们使用粒子对撞机,而不用普通加速器的原因.30.正负电子对撞机中,电子和正电子以速度0.90 c相向飞行,如图下列图所示它们之间相对速度为多少?解

22、 取对撞机为S系,向右运动的电子为S系,于是有%=一0.9" = 0配山为正电子在S系中的速率,V为S,系相对S系的速率,那么正负电子相对速度为ux =ux - vx-0.9c - 0.9c.一、二-0.994cuxvx(-0.9c)0.9cV=0.9cV=0.9cV=0.9cl<31.设一质子以速度v=0.80c运动.求其总能量、动能和动量.解 从表16-1知道,质子的静能量为E02 “c 一 ,=m0c =938MeV ,所以,质子的总能量为2E = mcm°c93822x1/2(1 -v /c )(1 - 0.82)1/2MeV = 1563MeV质子的动能为Ek = E - m°c=1563MeV