学案18导数的应用极值与最值

1、镇江市丹徒高级中学2015高三数学一轮复习理科导学案 班级：高三 班 学号 姓名_总课题高三一轮复习-导数总课时课 题极值与最值课型复习课 教 学 目 标1、理解极值、最值的含义2、在熟练掌握导数运算的基础上，利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题.教 学重 点会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值 教 学 难 点利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题. 学 法 指 导自主复习选修2-2第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。 教 学 准 备导学案导学 步步高一轮复习资料 自主学习 高 考 要 求利用导数研究函数

2、的极值与最值 B教 学 过 程 师 生 互 动个案补充第1课时：一、基础知识梳理1.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数的极值的步骤 （一般要求用列表的方法表达）求f(x)；求方程 的根；检查f(x)在方程 的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .2.函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x

3、)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在区间(a，b)内的 ；将f(x)的各极值与 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )(4)对可导函数f(x)，

4、f(x0)0是x0点为极值点的充要条件. ()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点.()2.函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_3如图是yf(x)的导函数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点.其中正确的判断是_.(填序号)4.函数的极大值为 5. (2010·福州模拟)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则f(2)_.6. 若既有极大值又有极小值，则的取值范围为_ _三

5、、典型例题分析题型一: 利用导数研究函数的极值例1：求的极值，其中为常数。随堂训练：求的极值第2课时例2：已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.随堂训练：设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由 题型二利用导数研究函数的最值例3：已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值； (2)求yf(x)在3

6、,1上的最大值和最小值随堂训练：已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.第3课时题型三利用导数解决函数零点问题例4：设a为实数，已知函数f(x)x3ax2(a21)x.(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若方程f(x)0有三个不等实数根，求实数a的取值范围随堂训练：若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围五、课堂总结：六、教（学）反思：七、课后作业1、步练P233 A组；2、一轮复习作业纸18； 课后作业 一轮复习作业纸1

7、8：导数的应用极值与最值1. 函数f(x)x的单调减区间为_.(2011·泰州实验一模)函数f(x)xln x的单调减区间为_2. 函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_.已知函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是_3已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为_4. 已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，给出以下结论：函数f(x)在(2，1)和(1,2)上是单调递增函数；函数f(x)在(2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；函数f(x)在x1处取得极大

8、值，在x1处取得极小值；函数f(x)在x0处取得极大值f(0)则正确命题的序号是_(填上所有正确命题的序号)5. 设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为_ *设点P在曲线yex上，点Q在曲线ylnx上，则PQ的最小值为_ 6. 若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_7.已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_.*8.设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)xf(x)>0，则不等式f()>·f()的解集为_ 9. 已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求

9、实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间10.(2013·课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.10.已知函数f(x)x2bsin x2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围.解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题意，对任意实数x，

10、恒有F(x)F(x)0.即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22.(2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2.函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立.(2x22x)在(0,1)上单调递减，a4为所求.已知函数f(x)axln x，g(x)，它们的定义域都是(0，e，其中e是自然对数的底e2.7，aR.(1)当a1时，求函数f(x)的最小值；(2)当a1时，求证：f(m)>g(n)对一切m，n(0，e恒成立；(3)是否存

11、在实数a,使得f(x)的最小值是3？如果存在,求出a的值；如果不存在，说明理由总课题高三一轮复习-导数总课时课 题极值与最值课型复习课 教 学 目 标1、理解极值、最值的含义2、在熟练掌握导数运算的基础上，利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题.教 学重 点会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值 教 学 难 点利用导数规范、熟练求解函数的单调性、极值、最值问题. 学 法 指 导自主复习选修2-2第1章，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。 教 学 准 备导学案导学 步步高一轮复习资料 自主学习 高 考 要 求利用导数研究函数的极

12、值与最值 B教 学 过 程 师 生 互 动个案补充第1课时：一、基础知识梳理1.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数的极值的步骤 （一般要求用列表的方法表达）求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值(1

13、)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在区间(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x)>0是f(x)为增函数的充要条

14、件.(×)(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(×)(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件. (×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()(6)函数f(x)xsin x有无数个极值点.()2.函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_3如图是yf(x)的导函数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点.其中正确的判断是_.(填序号)答案4.函数的极大

15、值为 5. (2010·福州模拟)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则f(2)_.6. 若既有极大值又有极小值，则的取值范围为_ _三、典型例题分析题型一: 利用导数研究函数的极值例1：求的极值，其中为常数。随堂训练：求的极值第2课时例2：已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.解(1)当a2时，f(x)x36x23x1，f(x)3x212x33(x2)(x2).当x(，2)时，f(x)>0，f(x)在(，2)上单调递增；当x(2，2)时，f(x)<0，

16、f(x)在(2，2)上单调递减；当x(2，)时，f(x)>0，f(x)在(2，)上单调递增.综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(2，)，f(x)的单调减区间是(2，2).(2)f(x)3x26ax33(xa)21a2.当1a20时，f(x)0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1a2<0时，f(x)0有两个根x1a，x2a.由题意，知2<a<3，或2<a<3，无解，的解为<a<，因此a的取值范围为(，).随堂训练：设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极

17、大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)2bx1，.解得a，b.(2)f(x)()1.函数定义域为(0，)，列表x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减x1是f(x)的极小值点，x2是f(x)的极大值点 题型二利用导数研究函数的最值例3：已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=

18、f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为随堂训练：已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.思维启迪(1)解方程f(x)0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k1和区间0,1的

19、关系求最值.规范解答解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.2分f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).7分(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；9分当0<k1<1，即1<k<2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(

20、1)(1k)e.12分综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1<k<2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.14分第3课时题型三利用导数解决函数零点问题例4：设a为实数，已知函数f(x)x3ax2(a21)x.(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若方程f(x)0有三个不等实数根，求实数a的取值范围随堂训练：若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围解(1)由题意可知f(x)3ax2

21、b.于是，解得故所求的函数解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数的大致图象如图，故实数k的取值范围为(，)五、课堂总结：六、教（学）反思：七、课后作业七、课后作业1、步练P233 A组；2、一轮复习作业纸18； 课后作业 一轮复习作业纸18：导数的应用极值与最值1. 函数f(x)x的单调减区间为_.答案(3,0)，(0,3)

22、(2011·泰州实验一模)函数f(x)xln x的单调减区间为_答案 (0,1)2. 函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_.答案2已知函数f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值是_答案373已知函数f(x)x3mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围为_答案(，3)(6，)4. 已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，给出以下结论：函数f(x)在(2，1)和(1,2)上是单调递增函数；函数f(x)在(2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；函数f(x)在x1处取得极大值，在x1处

23、取得极小值；函数f(x)在x0处取得极大值f(0)则正确命题的序号是_(填上所有正确命题的序号)答案 5. 设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为_*设点P在曲线yex上，点Q在曲线ylnx上，则PQ的最小值为_6. 若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_答案97.已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_.答案(0,1)(2,3)*8.设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)xf(x)>0，则不等式f()>·f()的解集为_答案9. 已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间10.(2013·课标全国)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲