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1、复变函数与拉氏变换模拟题3一、判断题1 .函数f(z)在区域D内处处可导是f(z)在D内解析的充分必要条件.()2 .arg(12i)arg(75i)()3 .复方程|z1|5/2|z|所表示的曲线为一条直线.()4 .若口f(z)dz0,则f(z)在C上及C内处处解析.()c5 .若幕级数%zn在z2i处收敛，则它必在z1i处收敛.()n16 .z01为函数f(z)ln(1z)的孤立奇点.()二、填空题1 .设ez34i,则Re(iz)2 .设z3ai,且|z2|2,则实数a的取值范围是一一1一3 .函数w1将z平面上的曲线x1映射到w平面上的曲线万程为z4 .5 .设f(z)(1z)ez,

2、则f(z)C/f216 .zzsindz|z|2z7 .当a1时，Latsin2kt.三、计算题1.讨论函数f (z) (x y)2 2(x y)i在何处可导，何处解析，并求其可导点处的2.导数。计算积分zsinz2dz,其中C为右半圆周|z i| 1上从原点到2i的圆弧。C3.zz计算 Rese-2,0 , Rese-2,1.z(z 1)z(z 1)参考答案:1 .由UxVy,Uyvx得xy1上处处可导f(z)22i;但处处不解析2i2 .zsin z dz2 .因为zsinz2在全平面处处解析，所以积分与路径无关。2zsinzdz=Ccosz 22 2i2(1cos4).3.Z=0为函数的

3、一级极点，z=1为二级极点,Resf(z),0zelim z 2z 0 z(z 1)zelim2 1.z 0 (z 1)2Resf(z),11 d / 八 2lim (z 1) (2 1)!z 1dzzez(z 1)2lim ez z 1 dz zlim四、证明题设连续函数f(t)以T为周期,证明：Lf(t)-11sTe一stf(t)edt.证明：Lf(t)stf(t)estdt=k(k1)TkTf(t)estdt)令utkT得(k1)TkTf(t)estdtf(ukT)es(ukT)duskTT0f(u)esuduskTef(t)estdt故Lf(t)/skT(ek0stTdt)8=0stf(t)edtskTek0stdt1Tf(t)e1esT0五、应用题问正实数取何值时，vexsiny为调和函数,并求出解析函数f(z)uiv关于z的表达式。2v x v xv一 e sin y, e cosy , -2 xyx2_ x_._ e sin y,2 v-2yx .e sin y显然，二元实函数v的二阶偏导数连续，由 vxxvyy

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