小学数学竞赛：比例应用题(一).教师版解题技巧培优易错难

1、比例应用题（一）目W蚱 教学目标1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化;4、单位“1变化的比例问题5、方程解比例应用题白码 知识点拨比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小 升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：、比和比例的性质性质1：若a: b=c性质2：若a: b=c性质3：若a: b=c性质4：若a: b=cd,贝U (a + c)： (b + d)= a： b=c： d;d,则(a - c)： (b - d)= a： b=c： d;d,贝U (a +xc)： (b

2、 +xd尸a： b=c： d； (x 为常数)d,则axd = bxc;(即外项积等于内项积)正比例：如果 ab=k（k为常数），则称a、b成正比; 反比例：如果a冲二k（k为常数），则称a、b成反比.、主要比例转化实例xa ybxyab 一一；一；一y b x a a b x ymx amy bx ma少 (其中m 0);y mbx a x y a b x y a bx y a b x a xyabacbd，ac:bc:bd ； x的2等于y的d,则x是y的ad, y是x的旦.abbcad三、按比例分配与和差关系按比例分配例如：将x个物体按照a: b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙

3、两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为a: a b和b: a b ,所以甲分配到 一架个，乙分配到一"个. a ba b已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B ,元素的数量比为a:b（这里a b）,数量差为x,那么A的元素数量为一丝 a bbxB的元素数量为-b ,所以解题的关键是求出a b与a或b的比值.四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位r。题中如果有几个不同的单位“1；必须根据具体情况，将不同的单位“1；转化成统一的单位“1：使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：1 .题中有几

4、种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1。”2 .若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1。”3 .应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是 成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更 好、更巧的解法。4 .题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。5 .赋值解比例问题日W蚱 例题精讲模块一、比例转化【例1】 甲、乙、丙三个数，已知甲 ：（乙+丙） 4:3,乙：丙 2: 7,求甲：乙:丙。【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【解析】 由乙：丙 2: 7可得到

5、乙：乙 丙 2:9,丙：乙 丙 7:9,而甲：乙 丙 4:3 ,所以：甲：乙：丙 -:2:- 12: 2: 7 .3 9 9【答案】12: 2: 7【例2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的2,那么甲的2、乙的2倍、丙的33一半这三个数的比为多少？【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答2【解析】甲的一半、乙的 2倍、丙的 2这三个数白比为1:1:1 ,所以甲、乙、丙这三个数的比为3121 321 - : 1 2 : 1 即2：3,化简为4:1:3 ,那么甲的2、乙的2倍、丙的一半这三个2 32 23数的比为 4 2:1 2:31即8：2：°,化简为16:12:

6、9 . 3232【答案】16:12:9【例3】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的5两数和的5 ,求甲：乙:丙.7【考点】比例应用题【难度】2星1- - 一 1 一一 一-,乙等于甲、丙两数和的 一，丙等于甲、乙32【题型】解答11 一一， 一 一一， ，同样的乙等于甲、丙两数和的 3+145E 一 1 15 八一,所以甲：乙:丙一：一： 3: 4 :5 .124 3 12,一 一 1由甲等于乙、丙两数和的 1,得到甲等于三个数和的31 1, , _，5 ，同样的丙等于甲、乙两个数和的2+137 53: 4:51 1 一 【例4】 甲、乙两个工人上班，甲比乙多走1的路程，而乙比甲的时间

7、少甲、乙的速度比是 511【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【关键词】2008年，清华附中【解析】611甲走的路程是乙走的路程的6 ,甲用的时间是乙用的时间的 U ,所以甲的速度是乙的速度的5106 1112 一、6 11,即甲、乙的速度比是 12:11 .5 101112:11例5 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的3是草地;4圆的 6是竹林；竹林比草地多占地4507【考点】平方米. 问：水池占多少平方米 ？比例应用题解答【解析】例6 正方形的3是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是 3份；圆的6是竹林，水池占1份，竹 47林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）

8、 3份。3份的面积是450平方米，可见1份面积是450+3=150 （平方米），即水池面积是150平方米。150如下图所示，圆 B与圆C的面积之和等于圆 A面积的4,且圆A中的阴影部分面积占圆 A面56圆B、圆C的面积之比.比例应用题【难度】3星设A与B的共同部分的面积为x,【题型】解答A与C的共同部分的面积为y,则根据题意有积的1,圆B的阴影部分面积占圆 B面积的1，圆C的阴影部分面积占圆 C面积的1 .求圆A、C一,这条式子可3化简为BA:B:C15C ,所以20:15:1地球表面的陆地面积和海洋面积之比是球海洋面积之比是（）A. 284 : 29比例应用题【关键词】华杯赛，六年级【解析】

9、解：设地球表面积为20C.最后得到 A:B:C 20:15:1 .29： 71,其中陆地的四分之三在北半球，那么南、北半B. 284 : 87 C. 87 : 29【难度】2星D.171 ： 113【题型】选择1,则北半球海洋面积为:0.5 0.29 X3 = 113南半球海洋面积为:0.71_1 = 1714南北半球海洋面积之比为：叱4113:113 = 171 ： 1134答案：D【答案】D【例8】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2,分为甲、乙、丙三组.已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7 ,甲组中男、女会员的人数之比是 丙组中男、女会员人数之比.【考点】比例应用题【难度】3星3:

10、1 ,乙组中男、女会员的人数之比是5: 3 .求【题型】解答一 .一 一 1033 .一 3以总人数为1,则甲组男会员人数为一-一,女会员为 10 8 7 3 1 1010,8511 3333为 -，女会员为 ；丙组男会员为 10 8 7 5 3 55 5 253+21013151, 人一，乙组男会员101.,女会员为102133+210 259 一 .一. .三；所以，丙组中男、女会员人数之比为50).旦10: 505:9【巩固】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是 之和一样多，各组男女会员人数之比依次为【考点】比例应用题【难度】3星14:11 ,会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数

11、12:13、5:3、2:1 ,那么丙组有多少名男会员？【题型】解答【解析】会员总人数100人，男女比例为14:11 ,则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为 50人，可设丙组人数为x人，则乙组人数为 50 x人，又已知甲组男、女会员比为 12:13 ,则甲组男、女 会员人数分别为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：5224 5（50 x） 2x 56,解得x 18 .即丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙83组男会员人数为18 - 12人.3【答案】12【例9 一项公路的修建工程

12、被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的 一段时间后，分别剩下 60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率（建设速度）之比3:1 ,求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【解析】（法一）甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了 40%的承包任务，而乙工程队完成了 60%, 所以甲工程队承包任务的 40%等于乙工程队承包任务的 60% 3 180%,所以甲工程队的承包 的任务是乙工程队承包任务的 180% 40% 450%,所以两个工程队承包的修建公路长度之比 为 450%:1 9: 2.（法二）两个工程队完成的工程

13、任务 （修建公路长度）之比等于工作效率之比， 等于3:1 ,而他们分别 完成了各自任务的40%和60% ,所以两个工程队承包的修建公路长度之比为3 40% : 1 60%9: 2.【答案】9: 2【例10】A、B、C三项工程的工作量之比为 1:2:3 ,由甲、乙、丙三队分别承担.三个工程队同时开 工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成 的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的 比是多少？【考点】比例应用题【难度】4星【题型】解答【关键词】2007年，华杯赛，总决赛【解析】根据题意，如果把 A工程的工作量看作1

14、,则B工程的工作量就是 2, C工程的工作量就是3. 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k天，则：2kx 2 ky L L13ky 3 kz L L2kz 1 kx L L 32 kx2 kx 4将代入，得ky L L 4 ,将代入，得 2kx 2 , x ，3 37k将x 幺代入，得y -6.代入，得z -. 7k7k7k一 一 463甲、乙、丙三队的.工作效率的连比是： ： 4:6:3.7k 7k 7k【答案】4:6:3【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖.已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5: 6

15、;甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ;甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50% ;甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍.那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【解析】由、可知甲、乙两校获奖总人数的比为 6:5,不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖.由知两校获二等奖的共有 （60 50） 20% 22人；由知甲校获二等奖的有 22 （4.5 1） 4.5 18 人；由知甲校获一等奖的有 60 60 50% 18 12人，那么乙校获一等奖的也有 12人，从而所 求百分数为12 50 100% 24%

16、 .【答案】24%【例11】某校毕业生共有 9个班，每班人数相等.已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1;四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1.那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？【考点】比例应用题【难度】3星【题型】解答【解析】如下表所示，由知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1;由知，四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少1.一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比一二、三班总人数多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人:加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班总人

17、数少1人因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等, 则女生总数等于四个班的人数之和.所以，男、女生人数之比是5: 4 .【答案】5: 4模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例12】一些苹果平均分给甲、 乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11, 求一共有多少个苹果？【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【解析】一共有16 13 1113 11192个苹果.【答案】192个11【巩固】 甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的,等于乙班种的棵数的-,且乙班比甲班多45种树24棵，甲、乙两个班各种树多少棵 ？【

18、考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答1 1【解析】甲、乙两班种树棵数之比为： 4,5,甲班种树棵数为：24 5 4 4 96（棵），乙班种5 4树棵数为：24 5 4 5 120（棵）.【答案】120棵【例13】甲乙两校参加数学竞赛的人数之比是7: 8,获奖人数之比是 2: 3,两校各有320人未获奖，那么两校参赛的学生共有 人。【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【关键词】希望杯，六年级，一试【解析】方法一：设甲、乙两校参加希望杯的学生人数各有7x人，8x人。根据题意列方程得 （7x 320）：（8x 320） 2 ： 3 ,解得 x 64。两校参加人数为 7x 8x 15x 96

19、0人。方法二：因为 7 2 5,8 3 5。所以设甲乙两校各有 7份，8份人，校参加人数为320 5 （7 8） 960 （人）【答案】960人【例14】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用 9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟.完成任务时，师傅比徒弟多加工 100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答1 1【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是-：一 5:3,工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师9 155353傅与徒弟分别完成总量的和上，师傅和徒弟一共加工了 100 （二一 ）400个零5 35 35 3 5 3件（涉及到数量差和数量比的

20、题在以下题目中详细讲述）.【答案】400个师徒二人共加工零件 400个，师傅加工一个零件用 9分钟，徒弟加工一个零件用 15分钟.完成 任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？比例应用题【难度】2星【题型】解答 1师傅与徒弟的工作效率之比是191一 5:3,而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所 15以师傅与徒弟分一,5总量的一5和5 3师傅比徒弟多加工零件5400100 个.100个【例15】甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去,结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长.A甲一 C乙比例应用题【难度】2星【题型】解答4（厘米）.1.2:24

21、（厘米）,又知乙蚂蚁的速1 = 6: 5,长方形的周长为两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇，说明乙比甲一共多走了 度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为:所以甲爬的路程是 4 6 5 5 20（厘米），乙爬的路程是20 4 20 24 44（厘米）.【答案】44 【巩固】 甲、乙两车分别从 A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/小时，乙车的速度是40千米/小时，当甲车驶过 A、B距离的1多50千米时与乙车相遇，A、B两地相距千3米.【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【解析】在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于155

22、50: 40 5: 4,那么A、B距离的1多50千米即是A、B距离的-5- 5 ,所以50千米的距5122离相当于全程的51上，全程的距离为50-225（千米）.9399【答案】225【例16】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6 ,三人一共藏书 52本，求他们三人各自的藏书数量. 比例应用题【难度】2星【题型】解答小刚拥有的藏书数量为 52 3-24 本.4 664 616本,根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的3,，一，一,4所以小新拥有的臧书数量为 52 12本，小志拥有的臧书数量为 52 3 4 63 4 624一一 .，一 一， 1 , 一， 1 ,

23、 ,一一 巩固】 有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的1与二班分到的相等，求两个班各分到多少皮球？32考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答113解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比1:1 3: 2 ,所以一班分到皮球12072个，二班2 33 2分到皮球120 72 48个.答案】48例17】圆珠笔和铅笔的价格比是4: 3, 20支圆珠笔和21支铅笔共用71. 5元.问圆珠笔的单价是每支多少元？考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答解析】 设圆珠笔的价格为 4,那么铅笔的价格为 3,则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20X4+21X3=143, 则单位“1的价格为71.5T43

24、=0.5元.所以圆珠笔的单价是 0.5 >4=2（元）.答案】2例18】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元.已知甲比丙多捐 18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是 10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元.考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答解析】由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的和为：18 （10 7） 10 60 （元），乙、丙所捐资的和为60 18 42元.所以，甲捐了 80 42 38（元），乙捐了 60 38 22（元），丙捐了 38 18 20（元）.答案】20元例19】一班和二班的人数之比是

25、8:7,如果将一班的 8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变 为4:5 .求原来两班的人数.考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答解析】原来一班的人数为两班总人数的,调班后一班的人数是两班人数的,调班8 7 154 5 98 4一 一 一刖后一班人数的比值为 一：一6:5,所以一班原来的人数为 8 6 5 6 48人，二班原来的 15 9人数为48 8 7 42人.【答案】42人【例20】一把小刀售价3元.如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5 ;如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13 .小明原来有多少钱?【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答由

26、已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的55-，小明的钱相当于小明、小2 5 7强买刀后钱数和的一8金，所以小明、小强的钱数的比值为：-8：i5,而小明买刀后 8+13 2121 7小明、小强的钱数之比为 2:5 6:15 ,所以小明买刀前后的钱数之比为8:6 4:3 ,所以小刀的4 3 11售价等于小明原来钱数的土， ，所以小明的钱数为3 1 12元。也可这样看，小明买刀与4442 8一未头刀的钱数比为 一：一 3:4,小明的钱数为 434 312 （兀）7 2112元【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为6:5 ,后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之比为18:11 ,求原来两人的钱数之和为多少？【考点】比例应用题【难度】2星【题型】解答【关键词】十三分，入学测试【解析】两人原有钱数之比为 6:5 ,如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为6:5,现在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了 120元，现在两人钱数之比为 18:11 ,可 以理解为：两人的钱数分别增加 180元和150元之后，钱数之比为18:15 ,然后乙的钱数减少 120 元，两人的钱数之比变为 18:11 ,所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为 30 （18 15）