高等数学课后习题与解答

1、高等数学课后习题及解答1.设 u=a-b+2c, v=-a+3b-c.试用 a, b, c 表示 2u-3v.解 2u-3v=2 ( a-b+2c) -3 (-a+3b-c) =5a-11 b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证 如图8-1 ,设四边形ABCD中AC与BD交于M ,已知AM =MC , DM = MB .AB - AM MB - MC DM - DC .即AB / DC且| AB |=| DC | ,因此四边形 ABCD是平行四边形国8 一 13.把 ABC的BC边五等分，设分点依次为Di A,D2 A, D3 A,分点与点A连接.试

2、以AB=c, BC=a表向量D A.4如图8-2 ,根据题意知11a,5D3D41a,一 5故 DA=- ( AB + BD1)1a- c52D2 A=-(AB + BD2)= a- c5DA=- (AB + BDT) =- 3a- c3 354D 4A=- (AB + BD4)=- -a- c.54 .已知两点 Mi (0, 1, 2)和M2 (1, -1, 0).试用坐标表示式表示向量 MiM 2 及-2 M iM 2.解 M i M 2 = (1-0)-1-1)0-2) = ( 1)-2)-2)-2 M 1M 2 =-2 (1,2-2) = (-2, 4, 4)5 .求平行于向量a= (

3、6, 7,-6)的单位向量.a解 向量a的单位向量 为一，故平行向量 a的单位向量为aa 1卷=a 11(6, 7,-6) = 士6 7 .611,11 ,11 '其中 a =，62 + 72 +(一6)2 =11.6 .在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个圭卜限?A (1,-2, 3), B (2, 3,-4), C (2, -3, -4), D (-2, -3, 1).解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.7 .在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A (3, 4, 0) , B (0, 4, 3) , C (3, 0, 0

4、) , D (0,-1 ， 0)解 在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0， y0， 0） ， xOz 面上的点的坐标为（X0, 0, zo）, yOz面上的点的坐标为（0, y。，z。）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如X 轴上的点的坐标为（X0， 0， 0） ， y 轴上的点的坐标为（。，yo,。），z轴上的点的坐标为（。，。，z。）.A 点在 XOy 面上， B 点在 yOz 面上， C 点在 X 轴上， D 点在 y 轴 上.8 .求点（a, b, c）关于（1）各坐标面；（2 各坐

5、标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解 （1）点（a, b, c）关于xOy面的对称点（a, b, -c）,为 关于yOz面的对称点为（-a, b, c）,关于zOx面的对称点为（a, -b, c） .（2）点（a, b, c）关于x轴的对称点为（a, -b, -c）,关于y 轴的对称点为（-a, b, -c）,关于z轴的对称点为（-a, -b, c）.（3）点（a, b, c）关于坐标原点的对称点是（ -a, -b, -c）.9 . 自点P（ 。 x。， y。， z。） 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解 设空间直角坐标系如图 8-3,根据题意，PoF为点Po关于xOz 面

6、的垂线，垂足 F坐标为（x0,0, Z。）； PoD为点P。关于xOy面的垂 线，垂足D 坐标为（ xo， yo， o） ； PoE 为点Po 关于yOz 面的垂线，垂足E坐标为（0, y05 zo ）.P0A为点Po关于x轴的垂线，垂足 A坐标为（Xo,0,0） ; PoB为点Po关于y轴的垂线，垂足B坐标为（0, y0,0） ； PoC为点Po关于z轴的 垂线，垂足 C坐标为（0,0, z0 ）.11. 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上， 其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和 y 轴上，求它各顶点的坐标.2解 如图8-5,已知 AB=a,故OA=OB=Ja,于是各顶点的坐2a

7、, 0, 0), D标分别为 A(a,0，B(0, Y2a,0), c (- 222(o, - 2_2 a ,0), e( -1 a , 0, a), f(0,二 a , a)2220, a), h (0, a，a).212 .求点M (4, -3, 5)到各坐标轴的距离 .解 点M到x轴的距离为di= J(- 3)2+52 = J34 ,点M到y 轴的距离为d2= 42 + 52 = /41 ,点M至U z轴的距离为 d3= Y42 + (-3)2 = "25 = 5.13 .在 yOz 面上，求与三点 A (3, 1, 2), B(4, -2, -2), C (0, 5, 1)等

8、距离的点.解 所求点在yOz面上，不妨设为 P (0, y, z),点P与三点A,b, c等距离，IpaI =32 + ( y - 1)2 + (z - 2)2,PB =42( y2)2(z2)2 ,PC -( y5)2( z1)2 .由 PA = PB = PC 知，32 ( y . 1)( z - 2)2 - 42 ( y 2) 2( z 2)22f f=、, - + -(y 5) 2 ( z 1)2,十十一=+9( y1) 2( z2) 216( y2) 2( z2)2,即二9( y1) 2( z2) 2( y5) 2( z1)2.解上述方程组，得 y=1, z=-2.故所求点坐标为(0

9、, 1, -2).14.试证明以三点 A (4, 1, 9), B (10, -1 , 6), C (2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.证 由fjAB =10 4)2 + (一1)” (6 9)2 = 7,AC = J(2 - 4)2 + (4 - 1)2 + (3 - 9)2 = 7, jf1IfIFJfJBC =，(2 10)2 + (4 + 1)2 + (3 - 6)2 = ' 98 = 7、' 2知AB2AC 及 BC24. 2ABAC、.故 ABC为等腰直角三角形. 十J JJ15 .设已知两点为 M1 (4,、2 , 1) , M 2 (3, 0, 2

10、),计算向量 M 1M 2 的模、方向余弦和方向角 .解向量rrM 1M 2 = (3-4, 0-7 2 , 2-1) = (-1，-、2 , -1),其模 M 1M 2 = 4( -1)2 * (- J2)2 + 12 =、，4 = 2 .其方向余弦分121另U为 cos = =- -,cos = =-> cos =一.222、，23方向角分别为-2- 一.,34316 .设向量的方向余弦分别满足(1) cos = =0; (2) cos = =1; (3)cos窿cos P =0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)由cos a =0得知a 一故向量与 X轴垂直，平行于2

11、yOz 面.(2)由cos p =1得知= =0,故向量与 y轴同向，垂直于 xOz面.(3)由co% =cos = =0知0=b =，故向量垂直于 x轴和y轴,一 一 2即与z轴平行，垂直于 xOy面.17 .设向量r的模是4,它与u轴的夹角为 上，求r在u轴上的投影31解 已知 | r |=4 ,贝U Prj ur=| r |cos = =4?cos=4 x_ =2.18 . 一向量的终点在点B (2, -1, 7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4, -4和7,求这向量的起点A的坐标.解设A点坐标为(x, y, z),则AB = (2-x, -1-y , 7-z),由题意知2-x=4

12、 , -1-y=-4 , 7-z=7 ,故 x=-2, y=3, z=0,因此 A 点坐标为(-2, -3, 0).19 .设 m=3i+4j+8k, n=2i-4j-7k 和 p=5i+j-4k.求向量 a=4m+3n-p 在 x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 a=4m+3n-p=4( 3i+5j+8k) +3( 2i-4j-7k) -( 5i+j-4k)=13i+7j+15k，a 在 x 轴上的投影为13，在 y 轴上的分向量为7j.1 .设a = 3i j - 2Kb = i + 2 j k，求(1)a b及a x b；(2)(-2a)，3b及a x 2b； (3)a,b 的夹角的

13、 余弦.解 (1)a b = (3,- 1,- 2) ,(1,2,- 1)=3 x 1 + ( - 1)x 2 + (- 2)x (- 1)= 3,i j ka < b = 3 - 1- 2 =(5,1,7)12 一 1(2)( _2a) .3b = _6(a .b) 一6x 3 18 a 2b 一 2(a b) . 2(5,1,7) 一(10,2,14)(3cos(a,b) _|a|b IJ32；(11)T(12)2j12； 22 + )1)233一 14 6 一 2 212 .设a, b,c为单位向量)满足 a + b + c= 0,求a,b + bc+ c a解已知 la | =

14、|b = c = 1,a + b + c = 0,故(a + b +c) X a + b+c)= 0 .222即 a + b + c + 2ab + 2b c + 2c a = 0.因此1222a b + b .c + c ,a =(|a|+ |b| + |c3 .已知 M1 (1,-1, 2), M2 (3,3,1) M 3 (3,1,3).求与 M1M 2 ,MTM 同时垂直的单位向量.解 M 1M 2 = (3-1,3- (-1) ,1-2) = (2, 4, -1)M 2 M 3= (3-3,1-3,3-1 ) = (0, -2, 2)由于M iM 2X M 2 M 3与M iM 2,

15、 M 2M 3同时垂直，故所求向量可 取为± (M iM 2x M 2M 3) a =)M iM 2K M 2M 3i j k 由 M 1M 2 K M 2M 3 = 24-1=(6, -4, -4),0 - 22MiM 2 * M 2 M 3卜J62 +(14)2+(-4)2二 V68 二 2«7知2_ ,1(6, 4,4) .( 3,22 ).:' 一 :',.12 171717. 174 设质量为100kg的物体从点 M1 (3,1,8)沿直线移动到点 M2 (1,4,2), 计算重力所作的功(坐标系长度单位为m,重力方向为z轴负方向).解 M 1M

16、2 = (1-3,4-1,2-8) = (-2, 3, -6)F= (0,0, -100>9.8) = (0,0, -980)W=F?M iM 2 = (0,0,-980) ?(-2,3 , -6 ) =5880 J).5 在杠杆上支点 O的一侧与点 O的距离为xi的点P处，有一与 0Pl成角的的力Fi作用着；在 O的另一侧与点 O的距离为X2的点B处， D 1有一与OP2成角日2的力F2作用着(图8-6 )，问i " 2 ,xi,X2, Fi , F2 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?解 如图8-6 ,已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规

17、定可得杠杆保持平衡的条件为F11x1 sin 81 -F1|x1 sin 二 1 二F2 X2sin 2 2 = 0 ,F2 X2 sin 2 2求向量a二（4厂3,4）在向量b = （2,2,1）上的投影.a b( 4, _ 3,4) (2,2,1)6解 Pr jba - 2 .2222123U有怎样的关系，能使设 a 二(3,5,-2),b = (2,1,4),问上与a a + b b与z轴垂直?ub= /. (3,5 ,-2 ) + (2,1,4=(3-+ 2 n ,5- +要£2+pbVz轴垂直，即要（(0,0,1 ),即(0, 0,1 ) =0,亦即(3, 4卜）？（0,0

18、,1）=0,4N ） =0,因此；=2 u时能使？ a + b与z轴垂直.I8试用向量证明直径所对的圆周角是直角证 如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证/ ACB= ,2只要证明AC BC 0即可.由 * =AC BC =( AO OC) ( BO OC)=AO BO AO OCOC BOOCAO2 一AO OC AO OC故AC工BC , / acb为直角.图879已知向量a 2i 3 j k, b_ ij , 3k和 c(1) (ab)c(a c)b(2)(a b) (b c).(1)a b (2, 3,1) (1, 1,3) 8,a c (2, 3,1) (1, 2,0)

19、8,(a b)c(ac)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0,8i 24k .b= +(2, -3,1 )+ (1,-1,3 ) = (3, -4,4 ),bc= (1, -1,3 )*+ (1,-2,0 )=(2, -3,3 ),(a b) (b c)+ X +.JOC = 0(a b)8, 24)(0, 1, 1) j k .ijkOA OB103( 3,3,1)，013而由行列式的性质知ax aybx byCxCyazbzbx byCxCyCz ax aybzCxaz bxaxCyCzayaz，故bybz(a b) c -(b c) a 一(c a) b.12.试用向量证明不

20、等式:a1b1 + a2b + a3b3 ,2u 22al a2a322bl23b b其中a1, a2,a3, b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件证.由a ba1b1设耳量 a( a1, a2, a3), bal cos(a,b) - aL ,从而+a2b2a3b32a1(b1, b2,b3)22a2a 3222b1b2b3当 a1, &, a3与 b1, b2,b3 成比例,a1 - a2 - a3即时，上述等式成立b1b2b31 .求过点(3,0, -1)且与平面 3x - 7 y+ 5z - 12 = 0平行的平面方 程.解 所求平面与已知平面3x - 7 y +

21、5z - 12 = 0平行.因此所求平面的法向量可取为n= (3,-7, 5),设所求平面为3x 7 y 5z D - 0.将点(3, 0, -1)代入上式得 D=-4.故所求平面方程为3x _ 7 y 5z _ 4 - 0 .2 .求过点M0 (2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.解 OM 0 = (2,9, _ 6).所求平面与OM 0垂直，可取n=OM 0, 设所求平面方程为2x 9 y 6z D _ 0.将点M0 (2, 9, -6)代入上式得 D=-121.故所求平面方程为2x 9 y 6z 121 _ 0. 3 .求过(1, 1, -1), (-2

22、, -2, 2)和(1, -1, 2)三点的平面方程x 1 y 1 z 工 1解由 2121210，得 x3 y 2z 0 ,1 1112 1一 一 一 +即为所求平面方程.注 设M (x,y,z)为平面上任意一点)M i( xi, yi, zi )(i1,2,3)为平面上已知点.由MiM.(M iM 2 M iM 3)0,即x - xiy -yiz - ziX2 - xiy2 -yiZ2 - zi= 0,X3 xiy3 -yiZ3 - zi它就表示过已知三点Mi (i=i,2,3)的平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：(i) x=0;(2) 3y-i=0;(3) 2x-3y

23、-6=0;(4) x-、/3y=0;(5) y+z=i;(6) x-2z=0;(7) 6x+5y-z=0.解 (i) 一 ( 7)的平面分别如图88 (a) ( g)(1) x=0表示yOz坐标面.(2) 3y-i=0表示过点(0, ,0)且与y轴垂直的平面 3(3) 2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面.(4) x- /3y=0表示过z轴的平面.(5) y+z=i表示平行于 x轴的平面.(6) x-2z=0表示过y轴的平面.(7) 6x+5y-z=0表示过原点的平面.工u5.求平面2x - 2y + z+5 = 0与各坐标面的夹角的余弦.解 平面的法向量为 n= （2）-2）1）,设平面与

24、三个坐标面xOy,yOz , zOx的夹角分别为6 1 B 2 e 3 .则根据平面的方向余弦知cos - cos Yn k (2, 2,1) (0,0,1)1n| k I,22 + (-2)2 + 12 13cos 02 = cos -J 2-2,1)y。) =2 , n |i 3 -13n j ( 2, 2,1) ( 0,1,0)2cos e 3 = cos p = m =二n j3 136. 一平面过点（1, 0,-1）且平行于向量 a 二（2,1,1）1口 b =（1,一 1,0）,试求这个平面方程解所求平面平行于向量a和b,可取平面的法向量i j kn = a x b =211 =

25、(1,1,3).1 _ 1 0故所求平面为 1( x -1)+1 ( y - 0) - 3( z + 1)= 0,即x y 3z 4 - 0 .7.求三平面 x + 3y + z = 1,2x - y - z = 0,- x + 2 y + 2z = 3 的 交点.解联立三平面方程x 3y z- 1,2x y z = 0,x 2y 2z 3.解此方程组得 x = 1, y = - 1, z = 3.故所求交点为(1, -1, 3).8.分别按下列条件求平面方程：(1)平行于xOz面且经过点(2, -5, 3);(2)通过z轴和点(-3, 1, -2);(3)平行于x轴且经过两点(4, 0,-2

26、)和(5, 1, 7).解 (1 )所求平面平行于xOz面，故设所求平面方程为By + D = 0.将点(2,-5, 3)代入，得5B , D 0,即 D 5B. ._T=因此所求平面方程为By + 5B _ 0,即 y + 5 _ 0. 所求平面过z轴，故设所求平面为 Ax斗By _ 0.将点(-3,1, -2)代入，得3A B 0,即 B 3A. T =因此所求平面方程为Ax 3Ay 0 ,即 x 上 3y 0.（3 所求平面平行于 x轴，故设所求平面方程为 By + Cz + D=0.将点（4, 0, -2）及（5, 1, 7）分别代入方程得-2C + D = 0 及 B +7C + D

27、 =0.C - D, B2因此，所，平面方程为9 Dy29 y - z - 2 - 0.9.求点（1,2,1）到平面x+2 y + 2z - 10 =0的距离.解 利用点 m 0 （x0 , v。，zo ）到平面 Ax+ By + Cz + D = 0的距离公式Ax。 By。 Cz。 D222A B C* I1 2 2 2 1 10Ir33"1.1.求过点(4, -1, 3)且平行于直线 上一3 =1 = 土的直线方程.215解 所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s = (2,1,5),直线方程即为x 4 y 1 z 3 ,.2152.求过两点M 1(3, -2,1)和M

28、2(-1,0,2)的直线方程.解 取所求直线的方向向量s = M 1M 2 = (-1- 3,0 - ( -2),2 - 1) = (-4,2,1),因此所求直线方程为x 3 y 2 z 1 .二4一 一2一 一3.用对称式方程及参数方程表示直线x _ y z= 1,2 x y z _ 4.解 根据题意可知已知直线的方向向量ijks =1_11=( 一 2,1,3).211取X=0,代入直线方程得二- ' z z = 1,解得y _ _3 , z _ 5 .这y z = 4.22w _3 5样就得到直线经过的一点(0, _,_).因此直线的对称式方程为2 235x 0一L-213参数方

29、程为z 5 3t.2注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的4.求过点(2, 0, -3)且与直线x 2 y 4z 7 _ 0, 3x 5 y 2z 1_ 0垂直的平面方程.解 根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量,(16,14,11),故所求平面方程为16( x 2) 14( y 0) 11(z 3)0.即一_十一十十=16x 14y 11z 65 0.5.求直线5 x 3y 3z 9 0,2 x 2 y z 23 0,3x 2 y z 1 0 二3x8 y z 18 0一 十 -=与直线 十 一十 =的夹角的余弦解两已知直线的方

30、向向量分别为si 二= (3,4, 1), S2 二=(10, 5,10),因此，两直线的夹角的余弦cos 1 -(cos s1,s2 ) -S1 S2S1 S23 10 - 4 5 - 1 106.证明直线1行.S1 3242(1)102(5)2 - 0.10x 2 y - z - 7,与直线4- 2x已知直线的方向向量分别是-(3,1,5),S2 -由S2 - - 3S1知两直线互相平行7.求过点（0,2,4）且与两平面 x + 2 Z =方程.解 所求直线与已知的两个平面平行,可取3x 6 y - 3z - 8, 平2x - y - z - 0-(-9,- 3,- 15),y - 3z

31、= 2平行的直线因此所求直线的方向向量i j ks = n1x n2 = 102 = （ 2,3,1）,0 13故所求直线方程为x 0 _ y 2 _ z 4 .231注 本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线为x 2z _ a, y 3z _ b.将点（0, 2, 4）代入上式，得 a = 8,b= _ 10.故所求直线为x 2z _ 8, y _ 3z _ _ 10.8.求过点（3,1, -2）且通过直x - 4= "3 = z的平面方程.线521x -4 = V3 3=z的平面束方程解 利用平面束方程

32、，过直线5 2彳为x 4 - y 3 - （y 3 - z） 0,522将点（3, 1, -2）代入上式得入1 1.因此所求平面方程为204 二 -3 = 11（ z） = 0,52202即8x 9y 22z 59 0.9 .求直线x y 3z °，与平面x - y - z +1= 0的夹角.1x - y- z =0i j k解 已知直线的方向向量 s = 113 =(2,4,- 2),平面1-1-1的法向量n - (1-1,-1).设直线与平面的夹角为中，则0,sin c = cos(n, s) = Is ' n = 2 1 + 4 L 1)+ L 2) (- 1)Is I

33、 nl，22 + 42 + ( -2)2 J12 + (- 1)2 + (- 1)2即 - 0.10 .试确定下列各组中的直线和平面间的关系；x 3 y 4 z 工口(1) = -二和 4x 一2 y _ 2z =3 ;273x y z一=和 3x _ 2y + 7z = 8;3- 27(3) x -2 = y +2 = £2 3 和 x + y + z = 3.314解 设直线的方向向量为 s,平面的法向量为n,直线与平面的夹角为，且sin 斗=cos(n, s) =.is | n(1) s - ( 2, 7,3), n - (4, 2, 2),sin(2) 4 ( 7) ( 2)

34、 3 ( 2)(2) 2( 7)23242( 2)220,(2)4,则伞二0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点 A （-3,0）代入平面方程，方程不成立 .故点A不在平面上，因此直线不在平面上,直线与平面平行(2)sin3 3 + (_2) .( 一2)+ 7.7二 1,s = (3,_2,7), n = (3,_2,7),由于 s = n 或3 + ( -2) + 7.兀，故直线与平面垂直.J2(3)s 二（3,1,.4）, n =（1,1,1）由于 s .n = 0或sin3 11 1(-4) 13212=2(-4)1=*12 一 0,1知中=0,将直线上的点 A （2, -2,

35、3）代入平面方程,方程成立，即点A在平面上.故直线在平面上.y z 二y z. 00,平行的平面11.求过点（1,2,1）而与两直线z 1 0,十二 和1 0的方程.两直线的方向向量为S1(1, 2, 3), S2(0, 1, 1),i j k取 n = si * S2 = 1 一 2 - 3 = (- 1,11 1),b -1 - 1则过点(1,2,1),以n为法向量的平面方程为-1 ( x - 1) + 1 ( y - 2) - 1 ( z - 1) = 0,即x - y z 0.12.求点(-1,2,0)在平面x + 2y - z + 1 = 0上的投影.解作过已知点且与已知平面垂直的直

36、线.该直线与平面的交点即为所求.根据题意，过点(-1,2,0)与平面x + 2y - z + 1= 0垂 直的直线为x 1 y 2 z 01 -2 _ .1 ,将它化为参数方程x = -1 + t, y = 2+2t, z = -t，代入平面方程得1 t 2(2 2t ) ( t ) 1 = 0, 2整理得t = .从而所求点(-1,2,0)在平面x + 2y - z + 1= 0上的 3投影为(5 2 2).3 ' 33x y z 1 _ 0,13.求点P (3, -1, 2)到直线-24°的距离.1 j k解 直线的方向向量s =11 一 1 = (0,-3,-3).2

37、- 11在直线上取点(1, -2, 0),这样，直线的方程可表示成参数方程形式(1)x - 1, y - 2 3t , z - 3t.又，过点P (3,-1, 2),以s = (0,-3,- 3)为法向量的平面方程为-3( y +1)-3( z-2广 0,即y + z - 1 =0.(2)1 1 3将式(1)代入式(2)得t二于是直线与平面的交点为(1厂,)22 2故所求距离为d(3 . 1)2 + (/)2 + (2/2£2 . 22214 .设M0是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为S,试证：点 M0到直线L的距离M 0M ''S d =I .

38、s证 如图8-9,点M0到直线L的距离为d.由向量积的几何意义知MTMx s|表示以 M0M，s为邻边的平行四边形的面积.而M0MX s表示以s为边长的该平面四边形的高，即为点M 0到直线SL的距离.于是M 0M s dx图8 -915 .求直线' 2 2 44 z °, 在平面4x -y+ z= 1上的投 3x y 2z 9 0影直线的方程.解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求22 4 y z _ 0,设过直线T的平面束方程为3x y 2z 9 _ 02x 4y z (32 y 2z 9) = 0,经整理得(2 + 3

39、), )x + ( -4 一1)y+ (1 - 2?. ) z - 9 = 0.由 (2 + 3?)4 十(_4 _x) (1)+(1 2?) 1 = 0,13得；一.代入平面束方程，得1117x 31y 37z 117 一 0.因此所求投影直线的方程为17x 31y 37z 117 . 0,J4x y z = 1.16 .画出下列各平面所围成的立体的图形(1) x . 0, y . 0, z . 0, x . 2, y . 1,3x 4 y 2z 12 . 0;x解 (1)0, z 0, x 1, y -2, z 一 y4如图(b).1.一球面过原点及 A (4, 0, 0) , B (1,

40、 3, 0)和 C (0, 0, -4)三 点，求球面的方程及球心的坐标和半径解设所求球面的方程为(x - a) 2 + ( y - b) 2 + ( z- c) 2 二 R2, 将已知点的坐标代入上式，得a2 + b2 + c2 = R2,(1)(a 一 4)2 十 b2 + c2 = R2,(a 一 1)2 + (b - 3) 2 + c2 = R2,2.22a + b + ( 4 + c)2 = R ,(4)联立(1)(2)得a=2,联立(1) (4)得c=-2,将a二2代入 (2) (3)并联立得 b=1,故R=3.因此所求球面方程为(X _ 2)2 ( y . 1)2 ( z 2)2

41、=9, 其中球心坐标为(2,1- 2),半径为3.2 .建立以点(1,3, -2)为球心，且通过坐标原点的球面方程解 设以点(1,3, -2)为球心，R为半径的球面方程为(x 1)2 . ( y 3) 2 . ( z, 2) 2_ R2,球面经过原点，故R2 - (0 .1)2 (0, 3)2(0 2) 2_ 14,从而所求球面方程为 (x 1)2 ( y 3) 2( z 2) 2 14.3 .方程 + y2 + z2 _ 2 x + 4 y+2 z = 0表示什么曲面？ X2一解将已知方程整理成(x -1)2 ( y 2)2( z 1)2一( 6) 2,所以此方程表示以(1, -2, -1)

42、为球心，以 J6为半径的球面.4 .求与坐标原点 O及点(2,3,4)的距离之比为 1:2的点的全体所组成 的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解 设动点坐标为(x, y, z),根据题意有 2、2、2(x 一 0)( y . 0)( z 一 0)1V 222,(x 2)( y 3)( z 4)2化简整理得(x 2)2 ( y 1)2 ( Z 4)2 _ (2 29)2 .3332 42 _它表示以(_ _,_1,_)为球心，以_J29为半径的球面.3 3325 .将xOz坐标面上的抛物z = 5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋解 以.yfz2代替抛物线方程 z2 _ 5x中的z,得(十 Jy2；z

43、2 ) 2 = 5x,即y2z25x.注 xOz面上的曲线F ( x, z) = 0绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为F ( x,y2 z2 )0.土'2+2 =6 .将xOz坐标面上的x2z29绕z轴旋转一周)求所生成的旋圆转曲面的方程.解 以.屋一y 代替圆方程 x2z29中的x ,得土 J +=(x2y2 )2z29,即x2y2 z29.+ + =7 .将xOy坐标面上的双曲线 4x2 _ 9 y2=36分别绕x轴及y轴旋转 一周，求所生成的旋转曲面的方程解 以+ /y2+ z2代替双曲线方程4x_9 y2 _36中的y,.2一 一得该双曲线绕 x轴旋转一周而生成的旋转曲面方程

44、为I4 x29y2z2 )2 - 36,即4 x29( y2z2 )-36.2222以、x z代替双曲线方程 4x - 9 y = 36中的x,得该 双曲线绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为 / I4( - x2z2 )2 9 y2=36,即4( x2z2 )9 y2 = 36.8.画出下列各方程所表示的曲面：(1) ( x - a) 2 + y2 = ( a) 2；-+ -y- = 1;2249222(3)，+ =1；(4)y _ z = 0；( 5) z = 2 - x2.94解 (1)如图 8-11 (a); (2)如图 8-11 (b);(3)如图 8-11 (c);(4)如图 8-

45、11 (d);(5)如图 8-11 (e).图8 J【9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：(I) x = 2;( 2) y = X + 1;2222、(3) x + y = 4;(4)x - y = 1.解 (1) x = 2在平面解析几何中表示平行于y轴的一条直线，在空间解析几何中表示与yOz面平行的平面.(2) y = x + 1在平面解析几何中表示斜率为1, y轴截距也为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴的平面.(3) x2 + y2 = 4在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为 2的圆,在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为x2 + y2=

46、 4-z =0的圆柱面.、22(4) x y1在平面解析几何中表不以x轴为实轴，y轴为虚轴 =的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为x2 - y2 = 1，的双曲柱面.10.说明下列旋转曲面是怎样形成的:(1)2 x +422匕 z_1;99(2) x2z2 - 1；(3)y2 - z2 - 1；，、2(4)( z- a)x2y2.2=1表示xOy面上的椭圆x_轴旋转一周而生成的旋转曲面,或表示xOz面的椭圆2 x +4x轴旋转一周而生成的旋转曲面2(2) x2 一 十 z之二 1 表示42xOy面上的双曲线 x旋转一周而生成的旋转曲面,或表示yOz面的双曲线2y _ 八L二1绕

47、y轴42yz2- 14绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面z2 = 1表示xOy面上的双曲线 x2旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz面的双曲线2y2xz21绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面(4) ( z _ a) 2 = x2 + y 2表示xOz面上的直线z =z x 4 a绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面)或表示 L TyOz面的直y + a绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面11.画出下列方程所表示的曲面:(1) 4x2 + y2 + z2 = 4; x2 - y2 - 4 z2 = 4;zx2y2(3) 一 一 十349解 (1)如图 8-12 (a);(2)如图 8-12 (b);(3)如图 8-12 (c);8-1212.画出下列各曲面所围立体的图形：(1) z 0, z 3,x y 0, x.-3y0, x2 y21 (在第一=- =-7=+=卦限)； x 0, y 0, z 0, x2y2 R2, y2 z2 R 2 (在第一卦 + = 十 二限).解 (1)如图8-13所示；(2)如图8-14所示.H3 8 - 13图8-M1 .画出下列曲线在第一卦限的图形;(2)x2v2,(3)V 一 0；y2 - a2,2 _2(1)如图 8-15 (a); (2)如图 8-15 (b); (3)如图 8-15 (c