概率论与数理统计-公式(全)

1、第1章随机事件及其概率（1）排 列组合 公式P：!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。（m n）!一 nm!, Cm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!（m n）!力口 法和乘 法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成， 第一种方法可由 m#方法完成，第二种方法 可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mx n某件事由两个步骤来完成， A 个步骤可由 m#方法完成，第二个步骤 可由n种方法来完成，则这件事可由mx n种方法来完成。（3） 一 些常见 排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个）

2、 顺序问题（4）随 机试验 和随机 事件如果一个试验在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本 事 件、样本空间 和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它

3、们是的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件（）的概率为 1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。（6）事 件的关 系与运 算关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必有事件 B 发生）：A B如果同时有 A B, B A,则称事件A与事件B等价，或称A等 于 B: A=BA B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB ,它表示 A发生而B不发生的事件。A B同时发生：A B,或者AB A B=?,则表示

4、A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互小相容或者互斥。基本事件是互小相容的。-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U(BU C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)德摩根率：AiAi _ _ _ _i 1i 1AB AB, AB AB概 率的公 理化定 义设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数P(A), 若满足卜列三个条件：1° 0WP(A)W 1,2 P( Q ) =130对于

5、两两互不才目容的事件A1, A2,有PAiP(Ai)i 1i 1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古 典概型1 1 ,2n ,_12 P( 1) P( 2)P( n) -0n设任一事件A,它是由1, 2m组成的，则有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件数n基本事件总数(9)几 何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,P(A) 上四。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L()(1。) 加法

6、公 式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 ) 减法公 式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P( B)=1- P(B)(12) 条件概定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件P(A)率下，事件B发生的条件概率，记为 P(B/A) P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q /B)=1P( B7A)=1-P(B/A)(13) 乘法公 式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般

7、地，对事件 A1, A2, - An,若P(A1AA-1)>0 ,则有P(A1A2. An) P(A1)P(A21 A1)P(A31 A1A2)P(An|A1A2 An 1)o(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B),则称事件A、B是相互 独立的。若事件A、B相互独立，且P(A) 0,则有P(AB) P(A)P(B)P(B| A)； P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到 A与B、A与B、A与"B也 都相互独立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的

8、条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同日满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公 式设事件B1,B2, ,Bn满足1。B1,B2,相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2i 1,则有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)。(16) 贝叶斯 公式设事件B1, B2 ,，Bn及A满足1° B1 , B2 ,，Bn 两两互/、相容,P(Bi)>0, i 1, 2,， n ,nABi2i 1,

9、 P(A) 0,则c/c，八P(Bi)P(A/Bi).P(Bi / A) n, i=1 , 2, n。P(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即为贝叶斯公式。P(Bj),(i 1,2,，n),通常叫先验概率。 P(Bj/A),(i 1, 2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。(17)伯努利 概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只用两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A发生与否是互耳、影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p

10、表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为1 p q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中 A出现k(0 k n)次的概率，八、_kknk_Pn(k) Cnp q , k 0,1,2, ,no第二章随机变量及其分布(i)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值P(X=Xk)=pk, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也X| X1,x2, ,xk,P(X xk) p1, p2, , pk,o显然分布律应满足卜列条件：pk 1(1) pk 0, k 1,2,(2) k1。(2)连续型随机变量的分布密度设F(X)是随机变量X的

11、分布函数，若存在非负函数f(x),对彳XF(x)f (x)dx则称X为连续型随机变量。f (x)称为X的概率密度函数或密度密度函数具有卜面 4个性质：1 f(x) °。f(x)dx 12 o(3)离散与连续型随机变量的关 系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X >(4)分布函数设X为随机变量，X是任意实数，则函数F(x) P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a) 可以得到X落入区间(a,b分布函数具有如下性质：100 F(x) 1,x ;2 F(x)

12、是单调不减的函数，即 xi x2时，有 F(xi)3 F( ) lim F(x)x4。F(x 0) F(x),5°P(X x) F(x)对于离散型随机变量，F(x)对于连续型随机变量，F(x)0, F( ) lim F(x) 1x即F(x)是右连续的；F(x 0)。Pk ；xk xxf(x)dx 。(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为 p。事件P(X k) Pn(k) Ckpkqnk,其中 q 1p,0则称随机变量 X服从参数为n , p的二项分布。记为 X当 n 1 时，P(X k)pkq1k, k 0.1 ,这就是

13、(0-0, k 0,1,2,的泊松分布，记为 X (泊设随机变量X的分布律为松k分P(X k)e ,布k!则称随机变量X服从参数为泊松分布为二项分布的极限分布(np=X , n-8)。超 几 何 分 布 几 何 分 布 均 匀 分 布P(X k)CM ?CN M k 01,2 ,lCN ，l min(M ,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,P(X k) qk1p,k 1,2,3,，其中 p>0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f(x)在1f(x) b a0,aw x< b其

14、他，则称随机变量 X在a, b上服从均匀分布，记为XU(a,分布函数为0,F(x)xf (x)dxa< x< b1,x>b。当awx1<x2Wb时，X落在区间(x1,x2)内的概率为P(XiX2XiX X2)21 。b af(x)0,苴匚/、0,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为F(x)1 e0,x<0。记住积分公式:xne xdx n!0正 态 分 布设随机变量X的密度函数为1(X 2)2f(x) =-e 2,x，J2其中、0为常数，则称随机变量 X服从参数为f (x)具有如下性质：1 。 f(x)的图形是关于x 对称的；12 当x 时，f(

15、)为最大值；2, J2若X-N(:x.则X2的分布函数为F(x) = e 2 dtJ2oo参数0、1苗时的正态分布称为标准正态分布，记为(x) rre 2V2,x,分布函数为1 x f(x) -j= e 2 dt。(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1(-x) = 1-(x)且 (0)=。X 2如果 X N( , 2),则N(0,1)。P(x1 X x2) 。(6)分位数下分位表：P(X)=;上分位表：P(X)=。(7)函数分布离 散 型已知X的£XP(X ) Y g(X)Y'布<i)g列为x1, x2, xn,p1, p2, pn,布列(yig(xj

16、互/、相等)如下：(x1), g(x2), g(xn),P(Y 4) 若有某些g(xi)p,等，喻应将对应白'pi相加作为g(xi)的M连 续 型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y) =P(g()第三章二维随机变量及其分布(1)联 合分布离散型如果二维随机向量(X, Y)的所有口能取值为至多口设 =(X, Y)的所用可能取值为(Xi,yj)(i,j1,2,P(X,Y) 3»)pj(i, j 1,2,)为 二(X, Y)的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合工yy2yjX1p11p12puX2P21p22p2jXipi1pij这里pij具有卜面两个性质：(1

17、) Pij >0 (i,j=1,2,)；Pij1.连续型对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f (x, y即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y) Df(x,y)dxdy,D则称为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=(X, Y)的夕分布密度f(x,y)具有卜面两个性质：(1) f(x,y) >0;(2) f (x, y)dxdy 1.(2)二 维随机 变量的 本质(X x,Y y) (X x Y y)(3)联 合分布 函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)称为二维随机向量(X, Y)的分布函数，或

18、称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1, 2)|X( 1) x, Y(1) 0 F(x, y) 1;(2) F (x,y )分另1J对x和y是非减的，即当 x2>xi 时,有 F (x2,y ) > F(xi,y);当 y2>yi 时,有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x,y) F(x 0,y),(4) F( ,) F( ,y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)对于 x1 x2, y1y2,F(x2, y?) F(x2, y)F(x1，幻F(x1，y1)0.(

19、4)离 散型与 连续型P(X x, Y y) P(xX x dx,y y ydy)f(x, y)dxdy的关系(5)边 缘分布离散型X的边缘分布为P?P(X为)Pj(i,j1,2,);Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pij(i, j1,2,)。连续型X的边缘分布.密度为fX(x)f(x, y)dy;Y的边缘分布密度为fy(y)f(x, y)dx.(6)条 件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y yj|X xi);Pi?在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为PijP(X X |Y yj)J ,P?j连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)答； fY(

20、y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x)筌fx(X)独立性一般型F(X,丫尸F x(x)F Y(y)离散型Pj Pi?P?j后零不独立连续型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判断，充要条件：可分离交量正概率密度区间为矩形二维正态分布2ix i2 (x i)( y 2) y12(1 2)11 22f(x,y) -e212<1=0随机变量的函数若X1,X2，X,Xm+1,X相互独立，h,g为连续函数，则：h (X1, X2,Xm)和 g (Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。设随

21、机向量(X, Y)的分布密度函数为221x 12 (x i)(y2) y 212(1 2)11 22f(x, y) ,2 e,212/2其中1，2, 10，20,11 1是5个参数，则称(X, Y)服从二维正态分布，记为(X, Y) -N( 1，2, 12, 2，).由边缘密度的计算公式，可以推出二维止态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN( 1，12),YN( 2,力.但是若XN( 1，；)，YN( 2，2), (X, Y)未必是二维正态分布。Z=X+Y根据定义计算：FZ(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，f Z(z) = f (x，z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正

22、态分布(12, 2n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。_2-22Ci i ,Ci iZ=max，min(X 1，X2，Xn)若Xi,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x), FFmax(x)Fx1(x)?Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)1 1 Fx1(x)?1 FX2(x)1 Fxn(x)(9)二 维正态 分布(10)函数分 布2分布设n个随机变量Xi,X2,Xn相互独立，且服从标准正态的分布密f我们称随机变量 W服从自由度为n的2分布，记为 W所谑自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变2 .一 一分布满足可加性：设则Zt分布设X, Y是两个相互独立的随机变量

23、，且可以证明函数的概率密f(t)r我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(nti (n)t (n)F分布、一2 ,、2 ,、_tX(n1),Y(n2)，且X与丫独立，可以证明Fn1_、n22ni 2， niLy1十"f(y)n1n2n2n2220,y 0我们称随机变量F服从A个自由度为 ni,第二个自由度为L ，、1Fi (ni,n2)广，、F (n2,n1)第四章随机变量的数字特征(i) 一维 随机 变量 的数 字特 征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分 布律为 P( X xk ) = pk ,k=i,2,n,nE(X)XkPkk i(要求绝对收敛)

24、设X是连续型随机变量，其E(X) xf (x)dx(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk iY=g(X)E(Y) g(x)f(x)dx力差_2D(X)=EX-E(X),标准差(X)向X),D(X)Xk E(X)2pkk2D(X) x E(X)2 f电对于的k阶原点丫对于 与E (望为)即k.k=1,2,正整数k,称随机变量X对于正整凌欠哥的数学期望为 X的k卜矩，记为vk,即，k=E(X)=k=E(Xk)=X：Pi ,k=1,2,i对于正整清k=1,2,.正整数k,称随机变量XX)差的k次哥的数学期k E(X.(的k阶中心矩，记为k ,= (x Ekk=1,2,.E(

25、X E(X)(XiE(X)kpi ,.攵k,称随机变 xk f (x)dx,.攵k,称随机变E(X)kk(X) f(x)dx刃比雪夫不等式设随机P( X切比雪的一种变量X具有数学期望E (X)二医,方差D (X)二一，21 ) h 一夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率估计，它在理论上启重要忌义。期望 的性 质(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X)n(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( Cii 1(4) E(XY尸E(X) E(Y),充分条件：充要条件：nXi)CiE(Xi)i 1X和Y独立；X和Y不相关。(3) 方差 的性 质(1) D(C)=0 ; E(C)=C

26、(2) D(aX尸a 2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X和 Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y尸D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y尸E(X)+E(Y),无条件成立。(4)期望常见 分布0-1 分布 B(1, p)P泊松分布P()几何分布G(p)1P超几何分布 H (n, M, N)nMN均匀分布U(a,b)a b2指数分布e()1正态分

27、布N ( , 2)2分布nt分布0期望nE(X)xi 1 nE(Y)yj 1i pi?j p?jE(X)xfx(x)dxE(Y)yfY(y)dy函卜的期望EG(X,Y)G(Xi,yj)pjEG(X,Y) =G(x, y)f(x, y)dxd力*D(X)D(Y)】_2XiE(X) pi?Xj E(Y)2p?jD(X)x E(X)2f2D(Y)y E(Y)2f(协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶?!合中心矩11为X与维机量数特 二随变的字征期和差的望方项分布B(n, p)npxy 11 E(X E(X)(Y E(Y).与记号 xy相对应，X与Y的方差D (X)与D (Y)也可分另相关系数对于随

28、机变量X与Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,则称为X与丫的相关系数，记作XY (有时可简记为)|W1,当|=1时，称X与丫完全相关：P(X完全在而当0时，称X与Y不相关。以下三个命题是等价的:0; cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y);D(XD(X+Y)=D(X)+D(Y);-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXYYXYY混合矩.一 一 、一 .一,， k l 、对于随机变量X与Y,如果有E(X Y )存在，则称之为 X(6)(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);协方(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);差的(iii)co

29、v(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);性质(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).uki独立 和不 相关若随机变量X与丫相互独立，则 XY 0；反之不真。若(X, Y)N ( 1，2, 12 ,22,),则X与丫相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律X比同一常数C所界：D (X) <C(i=1,2,)，则对于任意的正雪数e ,有夫1 n1 n大lim P-Xi -E(Xi)1.数nn i 1n i 1定特殊情形：若X1, X 具有相同的数学期望 E (XI)切 设随机变量X1, X2,相互独立，均具有有

30、限方差，且被律 =(1,则上式成为lim P _ Xi1.nc-(2)中心极限定理_2X N(,一) n伯 努 利 大 数 定 律设科是n次独立试验中事件 A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数e,有lim P p 1. n n伯努利大数定律说明， 当试验次数n很大时，事彳A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即lim Pn0.这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。¥设X1, X2,，Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，钦 大且E (X)二科，则对于任意的正数£有1 nlim P - Xi1.nn i 1数 定 律列设随机变量X1, X2

31、,相互独立，服从同一分布，且维具有相同的数学期望和方差：一林 德 伯 格 定一一、一，一、2一，,，一、一E(Xk) ,D(Xk)0(k 1,2,)，则随机变量nXk n7k 1Yn喜理的分布函数Fn(X)对任意白实数X,有nXk nt2I X clim Fn (x) lim P ： x e 2 dt.nn. n2此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。棣 莫 弗一拉 普 拉 斯 定 理设随机变里 Xn为具后参数n, p(0<p<1)的一项分布，则对于任意实数x,有t2.D Xn np1x T .lim P_ x.e 2 dt.n"np(1 p)v12（3）二项定理若当

32、N时,Mp（n,k/、父），则Nk kn kCM CN Mckk/彳、nknCnP （1 P）（N）.CN超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当n时,np0,则k八 k k n k/、Cn P （1 P）-e（n）.k!其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的数理全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布统计的随机变量（或随机向量）。的基个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。本 念概样本我们把从总体中抽取的部分样品x1, x2, ,xn称为样本。样本中所含的样品数

33、称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n个相互独立的且与总体有相同分 布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi, x2, , xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，Xi,X2, ,Xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数 和统U里设Xi,X2, ,Xn为总体的一个样本，称(X1,X2, ,Xn)为样本函数，其中方-个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称(X1,X2, ,Xn)为一个统计量。常见统计 量及其性 质一 1n 样本均值X Xi .n i i样本力差nn一S2-(XiX)2.n 1 i i

34、样本标准差S J n (Xi x)2.n n 1 i 1样本k阶原点矩1 n , Mk Xik,k 1,2,.n i 1样本k阶中心矩1 n- kMk 一(Xi x) ,k 2,3,.n i 12E(X) , D(X)一, nE(S2)2, E(S*2)2,n,_91 n 9.其中S*2 (Xi X)2 ,为二阶中心矩。n i 1正态 总体 下的 四大 分布正态分布设X1,X2,Xn为来自止态总体 N( , 2 )的一个样本，则样本函数def XU-lN(0,1)./邓nt分布设Xi,X2,Xn为来自止态总体 N( , 2)的一个样本，则样本函数def x t -k t(n 1),s/ Jn其

35、中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。2分布2设Xi,X2, ,Xn为来自止态总体 N( , 2)的一个样本，则样 本函数def(n 1)S22,八w-2 (n 1),其中2(n 1)表示自由度为n-1的2分布。F分布2设X1，X2,Xn为来臼止态息体 N ( , 1 )的一个样本)而 一，2 .y1，y2, ,yn为来自止态总体 N( , 2)的一个样本，则样 本函数def S12 / 12F-41TF(n1 1,n2 1), S2/ :其中1n1_1n2_ 212_ 212S11 (Xi X) ,S21(yiy);n1 1 i 1n2 1 i 1F(n1 1, n2 1)表示第一自由度

36、为 n1 1,第二自由度为n2 1的F分布。(3) 正态 总体 下分 布的 性质一._ 2 .X与S独立。第七章参数估计(1)点估 计矩估 计设总体X的分布中包含有未知数1, 2, , m ,则其分布函数可以表成 F(X； 1, 2, , m).它的 k 阶原点矩Vk E(X )(k 1,2, ,m)中也包含了未知参数1, 2, , m,即Vk Vk( 1, 2, , m)。又设X1,X2, ,Xn为总体X的n个样 本值，其样本的k阶原点矩为1 n ,1Xik (k 1,2,m).n i 1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有1 nV1( 1, 2

37、, m) - Xi,n i 1一11 n 2V2 ( 1 , 2 , , m)Xi ,n i 11 n1、.mVm(1,2, , m)Xi .n i 1由上面的m个方程中，解出的 m个未知参数(1, 2, , m)即为参数(1, 2, m)的矩估计量。若 为 的矩估计，g(X)为连续函数，则g(3为g()的矩估 计。极大 似然当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x； 1, 2, m),其中1 , 2, m为未知参数。又设Xi ,X2 , ,Xn为总体的一个样本，称nL( 1 , 2, m)f(Xi； 1,2, , m)i 1为样本的似然函数，简记为 L.当总体X为离型随机变量时，设其

38、分布律为PX X p(X； 1,2, m),则称nL(x1 ,X2 , ,Xn； 1, 2 , , m )P(Xi； 1, 2 , , m)i 1为样本的似然函数。若似然函数 L(X1,X2, ,Xn； 1, 2, m)在 1, 2 , m处取到最大值，则称1, 2, , m分别为1, 2, , m的最大似然倩计值，相应的统计量称为最大似然估计量。1n 0,i 1,2, ,m若 为 的极大似然估计，g(x)为单调函数，则9(?)为9()的 极大似然估计。估计 量的 评选 标准无偏 性设(X1,X2, ,Xn)为未知参数 的估计重。右E ()二,则称 为的无偏估计量。E ( X ) =E (X)

39、, E (S2) =D (X)功效 性设 11(X1, X,2, ,Xn)和 22(X1, X,2 , , Xn )参数 的两个无偏估计量。若D( 1) D( 2),则称1比2有效。性设n是 的一串估计量，如果对于任意的正数，都有lim P(| n |) 0,则称n为的一致估计量(或相合估计量)。若 为的无偏估计，且D(?)0(n工则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都 是相应总体的一致估计量。(3) 区间置信 区间 和置 信度设总体X含有一个待估的未知参Xi,X,2,Xn出发，找出两个统计量22 (X1, X, 2 , , Xn ) ( i2 ) ,1(01)的概率包含这个待估参tP 12那么称区间1，2为 的置信区间，1 置信水平)。数。如果我们从样本11(X1, X,2 , , Xn )与使得区间1, 2以攵,即1,为该区间的置信度(或单正 态总 体的 期望 和方 差的 区间设X1,X,2, ,Xn为总体XN(, 2)的一个样本，在置信度为. 一2 1下，我们来确定和的置信区间1, 2。具体步骤如下