高等数学重要知识点归纳

1、高等数学(上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续、极限的定义与性质 1、定义(以数列为例)lim xn a 0, N,当 n N 时，| xn a |2、性质(1) lim f (x) A f (x) A (x),其中(x)为某一个无穷小。 x x0o(2)(保号性)若 limf(x) A 0,则 0,当 x U(%,)时， x xof (x) 0。(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。二、求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式(1)limsi 11 lim(1 ) e2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法常用替换：当 0时(1) sin (2)

2、 tan (3) arcsin (4) arctan (5) ln(1 )(6) e 1(7) 1 cos 2(8) V14、分子或分母有理化法5 、 分解因式法6 用定积分定义三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类1、 连续的定义*f (x) 在 a 点连续lim y 0 lim f (x) f (a) f (a ) f(a ) f (a) x0xa可去型(极限存在) 第一类跳跃型(左右极限存在但不相等)2、间断点的分类无穷型(极限为无穷大)第二类震荡型(来回波动)其他3、曲线的渐近线*水平渐近线：若lim f(x) A,则存在渐近线：y A(2)铅直渐近线：若lim

3、f(x) ,则存在渐近线：x axa五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念1、导数的定义*y |xa f (a)dy| xdx.y . f (a x) f (a) lim lim -x 0 x x 0xlimx af(x)f(a) a2、左右导数左导数 f (a) lim -y lim f(x®x 0 x x ax a右导数f (a) limlim f(x) fx 0 x x ax a3、导数的几何意义*y |x a曲线f (x)在点(a, f (a)处的切线斜率k4、导数的物理意义若运动方程：s s则s(t) v(t)(速度

4、)，s(t) v(t) a(t)(加速度)5、可导与连续的关系： 可导 连续，反之不然。二、导数的运算1、四贝U运算(u v) u v (uv) u v uv (u) uv 2uvv v2、复合函数求导设y f (x), 一定条件下dy包包yuuxdx du dx3、反函数求导设y f(x)和x f 1(y)互为反函数，一定条件下:Vx1xy4、求导基本公式* (要熟记) 5、隐函数求导*方法：在F(x, y) 0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解由 y6、参数方程确定函数的求导*设x x，一定条件下 y y(t)VxdydxdyxdxXtytxtytxt(K)3(可以不记

5、)7、常用的高阶导数公式(1) sin(n)x sin(x n ),(n 0,1,2.) 2(2) cos(n)x cos(x n ),(n 0,1,2) 2(3) ln(n)(1 x) ( 1)n1_(nL4,(n 12.) (1 x)n(4)UnnL(nn 1 , n(1 x)0,1,2.)n(5)(莱布尼茨公式)(uv)C；u(nk)v(k)k 0三、微分的概念与运算 1、微分定义*若 y Ax o( x),则 y f(x)可微，记 dy Ax Adx2、公式：dy f (x) x f (x)dx3、可微与可导的关系*两者等价 4、近似计算 当| x|较小时，y dy , f (x) f

6、 (x x) f (x) x第三章导数的应用一、微分中值定理*1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在a,b上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导(3) g(x) 0,则：f ( ) f(b) f(a)(a,b),使得：一 g ( ) g(b) g(a)当取g(x) x时，定理演变成：2、拉格朗日中值定理*(a,b),使得：f ( ) f(b) f(a) f(b) f(a) f ( )(b a) b a当加上条件f(a)f(b)则演变成：3、罗尔定理*(a,b),使得：f ( ) 04、泰勒中值定理在一定条件下：一 一 一f(n)(Xc)n f(x)f(xo)f (xo)(x x

7、°) . -(X Xo)n R(x)n!f (n 1) ()其中 R(x)3(x Xo)n 1 o(x Xo)n),介于 、X之间.一 (n 1)! '0''-0当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.当4 0时，公式变成：5、麦克劳林公式f (x) f (0) f (0)x . f (0) xn Rn(x)n!6、常用麦克劳林展开式(1)2 x2!1 n nx o(x ) n!(2)sinx3 x3!5 x5!Ux2n1 o(x2n) (2n 1)!(3)cosx2 x2!4 x4!工2n (2n)!o(x2n1)(4)ln(1x)3n 1x.ULxno(

8、xn)、罗比达法则*记住：法则仅能对0 型直接用，对于00,1,00, 0，转化后用. 哥指函数恒等式* f g eglnf 三、单调性判别* 1、y 0 y , y 0 y2、单调区间分界点：驻点和不可导点 四、极值求法*1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点） .2、求生可疑点后再加以判别 .由负是极值点3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大， 变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0,二阶导不为0时, 正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法*找由区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小 六、凹凸性与拐点*1、y 0 y , y 0 y2、拐点：曲线上凹凸分界点（右y0）.横坐

9、标不外乎f（X0） 0,或f （%）不存在，找到后再加以判别X。 附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径1、曲率公式K 1y | 3（1 y22、曲率半径R K第四章 不定积分一、不定积分的概念*若在区间 I 上，F (x) f(x)，亦dF(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)的原函数.称全体原函数F(x)+c 为 f(x) 的不定积分，记为f (x)dx.二、微分与积分的互逆关系1、 f (x)dx f (x) d f (x)dx f (x)dx2、 f (x)dx f (x) c df (x) f (x) c三、积分法*1、凑微分法*2、第二类换元法3、 分部积分法* udv u

10、v vdu4、常用的基本积分公式( 要熟记 ).第五章 定积分bn一、定积分的定义f (x)dx lim f ( i) xiax0i1 i i二、可积的必要条件有界 .三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或 单调 .四、几何意义定积分等于面积的代数和五、主要性质*1、可加性2、估值在a,b上，m(b a)a f (x)dxM (b a)3、积分中值定理*当f(x)在a,b上连续时:ba f(x)dxf( )(b a),a,b4、函数平均值:ba f (x)dxb a六、变上限积分函数*xx1、右 f(x)在a,b连续，则 F(x)f(t)dt 可导，且f(t)dt f (x)aa(x

11、)2、若f(x)在a,b连续，(x)可导，则：a f(t)dt f (x) (x)七、牛-莱公式*若f(x)在a,b连续，则 bf(x)dx f(x)dx 1b F(b) F(a) aa八、定积分的积分法* 1、换元法 牢记：换元同时要换限2、分部积分法 udv uv |；vduaa a3、特殊积分(1) ：f(x)dxa0,当f (x)为奇函数时a2o f (x)dx,当f (x)为偶函数时(2)当f(x)为周期为T的周期函数时:nTT(3)f (x)dx n 0 f (x)dx, n Z定条件下:0 xf (sin x)dx 0 f (sin x)dx(4) 02sinn xdx02 co

12、sn xdxn!(n 1)!n是正奇数时n! 2,n是正偶数时(5) 0 sinn xdx九、反常积分*2 02 sinxdx1、无穷区间上f(x)dx limf(t)dtF(x)laF()F(a)其他类似2、p积分:1 . /-dx(a xp0): PP1时收敛1时发散3、瑕积分:ba f (x)dxlimx aa为瑕点：b.x f (t)dtF(x)|：F(b)F(a )其他类似处理、几何应用1、面积(1)baba第六章右-乂左)定积分应用dxdy(2)C:C:x(t)( y(t),(),与)，则A|y(t)x(t)|dt)围成图形面积(3)2( ) d2、体积*(1)旋转体体积*Vb 2y dx a eVyd 2 cxdy(2)截面面积为AA(x)的立体体积为V或Vy 2 : xy dxba A(x)dx3、弧长(1)s a v,1 y2dx(a x b)(2) sJx2y 2(t)dt,(t )(3) s 2d ,()二、物理应用1、变力作功一般地：先求功