备战中考数学(平行四边形提高练习题)压轴题训练及答案解析

1、备战中考数学（平行四边形提高练习题）压轴题训练及答案解析一、平行四边形1 .如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点 G与C D不重合），以 CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG连接BG, DE.（1） 猜想图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明； 将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度 ”得到如图2情形.请 你通过观察、测量等方法判断 中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4）,且AB=a, BC=b, CE=ka CG=kb （ah k0）,第（1）题 中得到的结论哪些成立，哪

2、些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由. 一一1（3）在第（2）题图4中，连接DG BE,且a=3, b=2, k=-,求BE2+DG2的值.【答案】（1）BG，DE, BG=DE；BG，DE,证明见解析；（2） BGDE,证明见解 析；（3） 16.25.【解析】分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90。即可得到三角形 DCE,从而判断两条直线之间的关系； 结合正方形的性质，根据 SAS仍然能够判定 BC8 4DCE,从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG.根据勾股定

3、理即可把 BH+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解：（1） BG DE, BG=DE二.四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， .BC=DG CG=CE /BCD=/ ECG=90,/ BCG=Z DCE.BCGADCEBG=DE, / CBGN CDE又 /CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；. BG DE.(2)AB=a, BC=b, CE=ka CG=kb,BC CG b一 一,DC CE a又 / BCG=Z DCE.,.BCGADCE/ CBG=Z CDE又 /CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；BGXDE.(3)连接 BE

4、、DG.根据题意，得 AB=3, BC=2, CE=1.5, CG=1,BG DE, / BCD=Z ECG=90 BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CC2+cE?+CG 2=9+4+2.25+1=16.25.点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定 理.BD2.如图1,正方形 ABCD的一边AB在直尺一边所在直线 MN上，点0是对角线 AC的交点，过点 0作0E, MN于点E.(1)如图1,线段AB与0E之间的数量关系为 .(请直接填结论)(2)保证点A始终在直线 MN上，正方形 ABCD绕点A旋转0 (0V 090),过点B作 BH

5、 MN于点F. 如图2,当点O、B两点均在直线 MN右侧时，试猜想线段 AF、BF与OE之间存在怎样 的数量关系？请说明理由. 如图3,当点O、B两点分别在直线 MN两侧时，此时 中结论是否依然成立呢？若成 立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明. 当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段 AF、BF与OE之间的数量关系 为.(请直接填结论)【答案】(1) AB=2OE; (2)AF+BF=2OE,证明见解析;(2)AF- BF=2OE证明见解析;(3)BF -AF=2OE,【解析】试题分析：(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；(2) 过点B作BH

6、I OE于H,可得四边形 BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BH BF=HE根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB, / AOB=90,再根据同角的余角相等求出 /AOE=/ OBH,然后利用 甭角边”证明4AOE和AOBH全等，根据 全等三角形对应边相等可得 OH=AE, OE=BH,再卞据AF-EF=AE整理即可得证； 过点B作BHLOE交OE的延长线于H,可得四边形 BHEF是矩形，根据矩形的对边相等 可得EF=BH BF=HE根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB, / AOB=90 ,再根据同角的余角相等求出/AOE=/ OBH,然后利用 角角边”

7、证明4AOE和AOBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE, OE=B再卞K据AF-EF=AE整理即可得证；同的方法可证.试题解析：(1) .AC, BD是正方形的对角线， . OA=OC=OR / BAD=Z ABC=90 , .OEXAB,.OE=-AB, 2.AB=2OE,(2)AF+BF=2OE证明：如图2,过点B作BH, OE于点H/ BHE=Z BHO=90 . OEXMN , BH MN / BFE=Z OEF=90 四边形EFBH为矩形.BF=EH, EF=BH 四边形ABCD为正方形.OA=OB, Z AOB=90 / AOE+/ HOB=Z OBH+Z HOB=90

8、 / AOE=Z OBH .AEOAOHB (AAS) .AE=OH, OE=BH .AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2 OE AF - BF=2OE证明：如图3,延长OE,过点B作BH,OE于点HK图土/ EHB=90 . OEXMN , BF MN/ AEO=Z HEF=Z BFE=90 四边形HBFE为矩形.BF=HE, EF=BH 四边形ABCD是正方形.OA=OB, Z AOB=90 / AOE+Z BOH=Z OBH+Z BOH/ AOE=Z OBH .AOEAOBH (AAS) .AE=OH, OE=BH, .AF - BF=AE+EF- HE=OH-

9、 HE+OE=OE+OE=2OE BF - AF=2OE,如图4,作OGLBF于G,则四边形EFGO是矩形,图4 ，EF=GO, GF=EO /GOE=90； / AOE+-Z AOG=90 :在正方形 ABCD 中，OA=OB, /AOB=90, / AOG+-Z BOG=90 ；/ AOE=Z BOG. . OGXBF, OEAE,/ AEO=Z BGO=90 : .AOEABOG (AAS), .OE=OG AE=BG . AE- EF=AF EF=OG=OE AE=BG=AF+EF=OE+AF .BF-AF=BG+GF- (AE- EF) =AE+OE- AE+EF=OE+OE=2O

10、E .BFAF=2OE .问题发现：(1)如图，点P为平行四边形 ABCD内一点，请过点 P画一条直线l ,使其同时平分 平行四边形ABCD的面积和周长.问题探究：(2 )如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y 轴正半轴上，点B坐标为(8,6).已知点P(6,7)为矩形外一点，请过点 P画一条同时平分 矩形OABC面积和周长的直线l ,说明理由并求出直线l ,说明理由并求出直线l被矩形 ABCD截得线段的长度.问题解决：(3)如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABCD的边OA、OD分别在x轴、y 轴正半轴上，DC/x轴，人8/丫轴，且0人 OD 8,

11、AB CD 2,点 P(10 5乏10 5历为五边形内一点.请问：是否存在过点 P的直线l ,分别与边OA 与BC交于点E、F ,且同时平分五边形 OABCD的面积和周长？若存在，请求出点 E和 点F的坐标：若不存在，请说明理由.图电【答案】(1)作图见解析；(2) y 2x 5, 3厌；(3) E(0,0) , F(5,5).【解析】试题分析：(1)连接AC、BD交于点O,作直线PO,直线PO将平行四边形 ABCD的面积 和周长分别相等的两部分.(2)连接AC, BD交于点。，过O、P点的直线将矩形 ABCD的面积和周长分为分别相 等的两部分.(3)存在，直线 y x平分五边形OABCD面积

12、、周长.试题解析：(1)作图如下：(2) P(6,7) , O (4,3), .设 PO : y kx 6 ,6kb 7 k 2 4k b 3，b5,y 2x 5,5-父x轴于N 一 ,0 ,2o 115 2MN .6 3.5(3)存在，直线 y x平分五边形OABCD面积、周长. P(10 5j2,10 5蜴在直线 y x上，.连 OP 交 OA、BC 于点 E、F ,设 BC:y kx b, B(8,2)C(2,8), 8kb 2 k 12k8，b 10 . .直线 BC : y x 10 ,x 10y联立y.E(0,0), F(5,5).4.如图，4ABC是等边三角形，AB=6cm, D

13、为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从 点D出发，点P沿 AA以1cm/s的速度向终点 A运动.点Q沿 ABfD以2cm/s的速度 运动，回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形 PQNI,将4PQN绕QN的中点旋 转180得到4MNQ.设四边形PQMN与4ABC重叠部分图形的面积为 S (cm2),点P运 动的时间为t (s) (0vt3).(1)当点N落在边BC上时，求t的值.(2)当点N到点A、B的距离相等时，求t的值.(3)当点Q沿D-B运动时，求S与t之间的函数表达式.(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,直接写出四边形 PEMF 与四边形PQMN

14、的面积比为2: 3时t的值.cPD Q315(2) 2 (3) S=S菱形 pqmnmZS.pnq= 2t2；(4)t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点 N落在边BC上时，点Q与点(2)（3） 边形当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上,3当0D 细；四边形 PQMN与4ABC重叠部分图形为四边形 PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形 PQFENB重合，此时DQ=3;此时 PD=DQPQMN;当5wt乙时，四MN、MQ与边BC的有交点时，此时12t写,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出 t的值.试题解析：（1）4PQN与4ABC都是等边三角形，

15、当点N落在边BC上时，点Q与点B重合.DQ=3.-2t=3 .3，t 2 仁；（2）二当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上,PD=DQ,当0vtv时，此时，PD=t, DQ=2t .t=2t t=0 （不合题意，舍去），3当wy 3时，此时，PD=t, DQ=6 - 2t t=6 - 2t,解得t=2;综上所述，当点 N到点A、B的距离相等时，t=2;(3)由题意知：此时，PD=t, DQ=2t当点M在BC边上时，MN=BQ. PQ=MN=3t, BQ=3- 2t .-3t=3 -2t3，解得t=3如图，当0wt%,旧9/Sa pnq= PQ2=斗 t2;2 . S=S菱形 p

16、qmn=2Sapnq=t2,3 F如图，当st明,设MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F, MN=PQ=3t, NE=BQ=3- 2t,.ME=MN - NE=PQ- BQ=5t- 3,EMF是等边三角形，Saemf= ME2= ( 5t - 3) 2S = S-S e t27p,3 7 15、,393S =- t2 + _424 .(4) MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,考点：几何变换综合题5.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A, B的坐标分别为(4, 0),(4, 3),动点M, N分别从O, B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点 M沿OA向终点A运动，

17、点N沿BC向终点C运动.过点 M作MPLOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了 x秒.(1) P点的坐标为多少(用含 x的代数式表示)；(2)试求4NPC面积S的表达式，并求出面积 S的最大值及相应的x值；(3)当x为何值时，4NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.0，c 3【答案】(1) P点坐标为(x, 3-x).(2) S的最大值为-,此时x=2.c 4fl6 f 128(3) x=,或 x=,或 x=.S 9【解析】试题分析：(1)求P点的坐标，也就是求 OM和PM的长，已知了 OM的长为x,关键是 求出PM的长，方法不唯一， 可通过PM/ OC得出的对应成比例线段来求； 也可延长

18、 MP交BC于Q,先在直角三角形 CPQ中根据CQ的长和/ACB的正切值求出 PQ的长，然后根据 PM=AB-PQ来求出PM的长.得出 OM和PM的长，即可求出 P点的 坐标.(2)可按(1) 中的方法经求出 PQ的长，而CN的长可根据CN=BC- BN来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出S, x的函数关系式.(3)本题要分类讨论： 当CP=CN时，可在直角三角形 CPQ中，用CQ的长即x和/ABC的余弦值求出 CP的表 达式，然后联立 CN的表达式即可求出 x的值；当CP=PN时，那么CQ=QN,先在直角三角形 CPQ中求出CQ的长，然后根据 QN=CN- CQ求出QN的表达式，根

19、据题设的等量条件即可得出x的值.当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形 PNQ中，用勾股定理求出 PN 的长，联立CN的表达式即可求出 x的值.试题解析：(1)过点P作PQ BC于点Q,有题意可得：PQ/AB,.CQPCBA,QP _AB QCBC,QP 3.=一x 4解得：QP=2 x,4J. PM=3 X)4由题意可知，c (0, 3) , M (x, 0) , N (4-x, 3),一3P点坐标为(x, 3 - x).4(2)设4NPC的面积为S,在ANPC中，NC=4-x,3NC边上的高为其中，0Wx41 3 3S= (4 - x) X x= ( - x +4x)2 4

20、 S3 2 3= - (x- 2) +.3，S的最大值为-,此时x=2.(3)延长MP交CB于Q,则有PQ BC.若NP=CR,. PQ BC, .NQ=CQ=x3x=4,若 CP=CN 贝1J CN=4- x, PQ=x,x,16X= 若 CN=NP,贝u CN=4- x. PQ= x? NQ=42x,.在 RtPNQ 中，PhF=NQ2+PCf,2232(4-x) 2= (4- 2x) 2+ (-x) 2,x=综上所述，x=,或 x=,或x=L33957考点：二次函数综合题.6 .操作：如图，边长为 2的正方形ABCD,点P在射线BC上，将4ABP沿AP向右翻折， 得到AEP, DE所在直

21、线与 AP所在直线交于点 F.探究：（1）如图1,当点P在线段BC上时， 若/BAP=30,求/AFE的度数；若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时 ZAFD的度数.归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与 B, C重合），/AFD的度数是否会发 生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2,若点P在BC边的延长线上时，/AFD的度数是否会发生变化？试在会发生变化，作图参见解析 .【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出/ DAE度数，在三角形 AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；由E为D

22、F中点，得到P为BC中点，如图1,连接BE交AF于点O,作EG/ AD,彳导EG/ BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形 BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B, C重合），/AFD的度数不会发生变化，作 AG DF于点G,如图1 （a）所 示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出/1 + /2的度数，即为/FAG度数，即可求出/F度数；（3）作出相应图形，如图 2所示，若点P在BC边的延长线上 时，/AFD的度数不会发生变化，理由为：作AGLDE于G,得/D

23、AG=/ EAG,设/ DAG=Z EAG= q根据/ FAE为/ BAE一半求出所求角度数即可.试题解析：（1）当点P在线段BC上时，,一/EAP土 BAP=30 ,/ DAE=90 - 30 X 2=30, 在 ADE 中，AD=AE, / DAE=30, . . / ADE=/ AED= (180 - 30) +2=75, 在 AFD 中，Z FAD=30+30 =60 , Z ADF=75 , ZAFE=180 -60 - 75 =45 ；点 E 为 DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：连接 BE交 AF于点 O,作 EG/ AD,彳导 EG/ BC, EG/ AD,DE=EF

24、，EG=?AD=1, AB=AE, .点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点 P在线段BE的垂直平分线上，AF垂直平分线段 BE, .1.OB=OE, / GE/ BP,/ OBP=/ OEG,/OPB=/ OGE, .-.ABOPAEOG, . BP=EG=1 即 P 为 BC 的中点， . / DAF=90 , / BAF, / ADF=45 +2 BAF,/ AFD=180 - / DAF- / ADF=45 ; ( 2) / AFD 的度数不会 发生变化，作 AGDF于点G,如图1 （a）所示,图 1(a) 在 4ADE 中，AD=AE, AG DE, AG 平分/DAE,即 /2=

25、/DAG,且 1所示，/ AFE的大小不会发生变化,/ AFE=45,/1 = /BAP, . . / 1 + /2)X 9=45 ；即 /FAG=45, 贝U/AFD=90，45 =45； (3)如图 2F 作 AG DE于 G,得 / DAG=Z EAG,设 / DAG=Z EAG通,1Z BAE=90 +2.kZ FAE= / BAE=45 , + 忘/ FAG=Z FAE- / EAG=45 ；在 RtAAFG中,ZAFE=90 - 45 =45 :考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质7 .如图，在正方形 ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点 B、C重合

26、），连接 DE、点C 关于直线DE的对称点为C,连接AC并延长交直线 DE于点P, F是AC的中点，连接 DF.(1)求/ FDP的度数;(2)连接BP,请用等式表示 AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明;(3)连接AC,若正方形白边长为 J2 ,请直接写出ACC的面积最大值.【答案】(1) 45。； (2) BP+DP= J2ap,证明详见解析；(3) J2T.【解析】【分析】(1)证明 /CD /CDE 和/ADF= /CDF,可得 /FDP= / ADC= 45 -2，(2)作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP (SAS),得BP= DP,从而得 PAP是等腰直角三角形，

27、可得结论；(3)先作高线CG,确定4ACC的面积中底边 AC为定值2,根据高的大小确定面积的大 小，当C在BD上时，CG最大，其4ACC的面积最大，并求此时的面积.【详解】(1)由对称得： CD= CD, /CDE=/CDE,在正方形 ABCD中，AD=CD, / ADC= 90, .AD=CD,F是AC的中点, DFXAC, /ADF=/CDF,_ 1 一 。/ FDP= / FDC+Z EDC= / ADC= 45 ;2(2)结论：BP+DP=J2AP,理由是：如图，作 APLAP交PD的延长线于 P,/ PAP=90 ；在正方形 ABCD中，DA= BA, / BAD= 90,/ DAP

28、= / BAP,由(1)可知：/ FDP= 45 / DF90 / APD= 45 ；/ P = 45 ,.AP = AP,在 BAP和4口人中，BA DABAP DAP ,AP AP.BAPADAP (SAS ,.BP= DP, .DP+BP= PP= V2AP;(3)如图，过 C作 CGAC于 G,则 Saacc= -AC?CG,2Rt:A ABC 中,AB= BC= V2，.AC= J(历 2(72)22，即 AC 为定值，当CG最大值， ACC的面积最大，连接BD,交AC于O,当C在BD上时，CG最大，此时G与O重合， 11 . CD= CD= J2，OD= - AC= 1 ,22 .

29、CG=近 1,3 .Sa acc= -AC?CG - 2(72 1) V2 1 .22【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.8.如图(1)在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接 AE,彳BFAE,垂足为G 交AD于F(1)求证：AF=DE;(2)连接DG,若DG平分/EGF如图(2),求证：点 E是CD中点;(3)在(2)的条件下，连接 CG,如图(3),求证：CG= CD.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) CG= CD,见解析.【解析】【分析】(1)证明

30、ABAF AADE (ASA)即可解决问题.(2)过点D作DMGF, DNLGE,垂足分别为点 M, N.想办法证明AF= DF即可解决 问题.(3)延长AE, BC交于点P,由(2)知DE= CD,利用直角三角形斜边中线的性质，只要 证明BC= CP即可.【详解】(1)证明：如图1中，A f nEBC却在正方形 ABCD中，AB = AD, / BAD= / D= 90, / 2+/ 3=90 又. BF AE, / AGB= 90 / 1 + Z 2=90 ;/ 1= / 3在 BAF与AADE中，/ 1 = / 3 BA=AD / BAF=Z D, .BAFMDE (ASA) .AF=

31、DE.(2)证明：过点 D作DMGF, DNGE,垂足分别为点 M, N.BC图2由(1)得/1=/3, /BGA= /AND=90, AB= AD.BAGAADN (AAS).AG= DN,又 DG平分/EGF, DMXGF, DNXGE,.DM = DN,.DM=AG,又/AFG=/DFM, / AGF= / DMF.AFGADFM (AAS),1 1.AF=DF= DE= - AD= - CD,22即点E是CD的中点.(3)延长AE, BC交于点P,由(2)知DE= CD,图3/ ADE= / ECP= 90 : / DEA= / CEP.ADEAPCE (ASA).AE= PE,又 C

32、E/ AB,BC= PC,在 RtBGP 中， BC= PC,“1c.CG= -BP= BC2 ，.CG= CD.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性 质定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 题，属于中考压轴题.9 .图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.（1）在图1中画出等腰直角三角形 MON,使点N在格点上，且/MON=90 ；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形 ABCD,使正方形 ABCD面积等于（1）中等腰直 角三角形MON面

33、积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角 形和一个正方形，且正方形 ABCD面积没有剩余（画出一种即可）.圈1圈2【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可.试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN,如图1所示；图1（2）等腰直角三角形 MON面积是5,因此正方形面积是 20,如图2所示；于是根据勾股 定理画出图3：Ad图2图3考点：1.作图-应用与设计作图；2.勾股定理.10 .如图，在菱形 ABCD中，AB=4,

34、 Z BAD=120, AAEF为正三角形，E F在菱形的边 BC, CD 上.(1)证明：BE=CF(2)当点E, F分别在边BC, CD上移动时(AEF保持为正三角形)，请探究四边形 AECF的面积是否发生变化？若不变,求出这个定值；如果变化，求出其最大值.(3)在(2)的情况下，请探究 CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如试题分析：(1)先求证 AB=AC,进而求证 ABC 4ACD为等边三角形，得 Z 4=60,AC=AB进而求证 ABEACF,即可求得 BE=CF(2)根据AB4ACF可得S“be=Sxacf,故本据S四边形AEC尸Sa aec+Sa ACF=Sk ae

35、c+Sa abe=Sa ABC 即可解题；(3)当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.4AEF的面积会随着 AE的变化 而变化，且当AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，又根据 Sacef=S四边形aecfSaef,则 CEF的面积就会最大.试题解析：(1)证明：连接AC, / 1 + / 2=60 ； Z3+Z 2=60 ；：. / 1 = 7 3, / BAD=120 ,/ ABC=Z ADC=60 四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD .ABG 4ACD为等边三角形/ 4=60 ； AC=AB, 在 4ABE和 4ACF 中，fZl=Z3J AB=AC ,Z

36、ABC=Z 4 .ABEAACF7. (ASA).BE=CF(2)解：由(1)得ABE0ACF, 则 Szabe=Sacf.故S 四边形 aecf=Saaec+Sa ac尸Sa aec+Sa abE=Saabc,是定值.作AHBC于H点，贝U BH=2,S 四边形 AECf=S ABCI =43；(3)解：由 垂线段最短”可知，当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时，边 AE最短.故4AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时,正三角形AEF的面积会最小，又Sace=S四边形aecl Saaef,则CEF的面积就会最大.由(2)得，Sacef=S四边形 AECF SaAEF=4如-

37、y X 2而 X121)2-()2=/5点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证ABEACF是解题的关键.II .如图1,在4ABC中，AB= AC, AD BC于D,分别延长 AC至E, BC至F,且CE=EF,延长FE交AD的延长线于 G.(1)求证：AE= EG；(2)如图2,分别连接BG, BE,若BG= BF,求证：BE= EG;(3)如图3,取GF的中点M,若AB= 5,求EM的长.一 、一一 ，一 、一一 ，一 5【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 52【解析】【分析】可

38、得AE= EG;EM= DN =（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：/ CAA / G,（2）作辅助线，证明 ABE图4GEC （ SAS ,可得结论；（3）如图3,作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得1 “AC,计算可得结论.2【详解】证明：（1）如图1 ,过E作EHI CF于H,.EH/ AD, . / CEH= / CAD, /HEF=/G,.CE= EF,/ CEH= / HEF,，/CAD=/G,.AE= EG;(2)如图2,连接GC,.BD=CD,.AG是BC的垂直平分线， .GC= GB, / GB已 / BCG, BG= BF,.GC= B

39、E, .CE= EF,/ CEF= 180 - 2/ F, BG= BF,/ GBF= 180 - 2 / F,/ GBF= ZCEF/ CEF= / BCG, / BCE= / CEF吆 F, / BCE= / BCG+Z GCE, / GCE= / F,在 BEF和GCE中，CE EFQ GCE F,CG BF .BEFAGEC(SAS , .BE=EG；取AC的中点N,连接DN,由(1)得 AE= EG,/ GAE= / AGE,在RtACD中，N为AC的中点，DN=AC= AN, /DAN=/ADN,2/ ADN= / AGE, . DN / GF,在RtGDF中，M是FG的中点，.D

40、M= -FG= GM, /GDM=/AGE, 2/ GDM= / DAN,.DM / AE,四边形DMEN是平行四边形，1,-.EM = DN= AC,2.AC=AB=5,i 5 - EM = 2【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键.12.在平面直角坐标系中，O为原点，点A ( - 6, 0)、点C (0, 6),若正方形 OABC绕点O顺时针旋转，得正方形 OA B,C记旋转角为 “：(1)如图，当“

41、=45时，求BC与A BJ交点D的坐标；(2)如图，当a= 60时，求点B的坐标；(3)若P为线段BC的中点，求AP长的取值范围(直接写出结果即可).图 图【答案】(1) (6 6近6) ;(2)(3733,33/3);(3)3723轰叭P3& 3.【解析】【分析】(1)当 a= 45时，延长 OA经过点 B,在 RBA D中，/ OBC= 45, A 肚 6J2 6,可 求得BD的长，进而求得 CD的长，即可得出点 D的坐标；(2)过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线，垂足为 N,证明 OMCC NB可彳C C*OM=3j3, B生C b 3,即可得出点 B的坐标；(3)

42、连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点，因为 P为线段BC的中点，所以PK=1,一一 一一OC=3,即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围.2【详解】解：(1) /A ( 6, 0)、C (0, 6) , O (0, 0),四边形OABC是边长为6的正方形，当“=45时，如图，延长OA经过点B,OB=6 拒，OA=OA= 6, ZOBC= 45, A 葬 672 6，BD= ( 672 6)x42 12 6旧 -CD=6-(12 66 =6万 6， .BC与A的交点D的坐标为(6 6&，6);圉(2)如图，过点C作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B彳乍MN的垂线

43、，垂足为 N, / OC390 , / OC电90/ B V B C B N,. OC= B ,C/OMC=/C NB90 ；.OMC，AC， NBAAS), 当a= 60时，. /A OC90 , OC= 6, / C OM30 , .C* OM=3v/3, B处 C g 3, 点B的坐标为3石3,3 36；(3)如图，连接OB, AC相交于点K,则K是OB的中点，P为线段BC的中点，1 PK= - OC = 3,2 .P在以K为圆心，3为半径的圆上运动， AK=3 拒，AP最大值为3y2 3，AP的最小值为3J2 3,.AP长的取值范围为3也 3轰叭P 3近 3.【点睛】本题考查正方形性质

44、，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理.(3)问解题的关键是利用中位线定理得出点 P的轨迹.13.猜想与证明：如图1,摆放矩形纸片 ABCD与矩形纸片ECGF使B、C、G三点在一条直线上， CE在边 CD上，连接AF,若M为AF的中点，连接 DM、ME,试猜想DM与ME的关系，并证明你 的结论.拓展与延伸：(1)若将猜想与证明 中的纸片换成正方形纸片 ABCD与正方形纸片ECGF其他条件不 变，则DM和ME的关系为 .(2)如图2摆放正方形纸片 ABCD与正方形纸片 ECGF使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立.G【答案】猜想：DM=ME,证明见解析；（2）成

45、立，证明见解析【解析】试题分析：延长 EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到 AD/ EF,得到 FME和 AMH全等，得到 HM=EM,根据RtA HDE得到HM=DE,则可以得到答案；（1）、延长 EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到 AD/ EF,得到4FME和4AMH全等，得 到HM=EM,根据RtHDE得到HM=DE,则可以得到答案；（2）、连接AE,根据正方形 的性质得出/FCE=45, /FCA=45,根据RTA ADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根据 RTA AEF 中 AM=MF 得出 AM=MF=ME ,从而说明 DM=ME.试题解析：如图1

46、,延长EM交AD于点H,二四边形ABCD和CEF%矩形，.AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM ,在 FME 和 AAMH 中，二 AJAI /FME = N AMH.FMEAAMH (ASA) .HM=EM ,在 RTA HDE 中，HM=DE,.DM=HM=ME , .DM=ME .(1)、如图1,延长EM交AD于点H, 四边形ABCD和CEF比矩形， .AD/ EF,/ EFM=Z HAM ,又 / FME=Z AMH, FM=AM , r在FME和AMH中，卜爪心Zpke=Zmh .FMEAAMH (ASA).HM=EM ,在 RTA HDE

47、 中，HM=EM.DM=HM=ME ,.DM=ME,(2)、如图2,连接AE, 四边形ABCD和ECG唯正方形，/ FCE=45, / FCA=45 , .AE和EC在同一条直线上，在 RTA ADF 中，AM=MF, . DM=AM=MF ,在 RTA AEF中，AM=MF,.AM=MF=ME,.DM=ME .考点：(1)、三角形全等的性质；(2)、矩形的性质.14.在矩形纸片ABCD中，AB=6, BC=8,现将纸片折叠，使点 D与点B重合，折痕为EF, 连接DF.(1)说明4BEF是等腰三角形；(2)求折痕EF的长.15【答案】(1)见解析；(2).【解析】【分析】(1)根据折叠得出 /DEF=/BEF根据矩形的性质得出 AD/ BC,求出/ DEF=/BFE,求出ZBEF=Z BFE即可；(2)过E作EMLBC于M,则四边形 ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=A