立体几何存在性问题

1、立体几何存在性问题未命名、解答题1 .在多面体应！痘I中，底面卜眈D是梯形，四边形匝函是正方形，殛区j,叵国-面阳5丄I面嗣，屉"> =1|R = 2|.(1)求证：平面乍眈丄I平面Ebd|；(2)设回为线段巨I上一点,= EC，试问在线段囲上是否存在一点0，使得回平面垂，若存在，试指出点0的位置；若不存在，说明理由(3)在(2)的条件下，求点0到平面应回的距离.C2 .如图，四棱锥卜abcd|中，底面陋亘I是直角梯形，函三西I，平面函可平面匝亘I,点明分别是棱血過1上的点，平面kty/g，幅丄间，齟=23 = 2必匚乩侧面函是等腰直角三角形,(I)确定点囹的位置，并说明理由;

2、(n)求三棱锥卜dce|的体积./斤 I7kBCD-A,B<,D,3 .如图，在长方体'丄4中,AB丹V严问,点目在棱园上，点F1为棱岡的中点，过EH的平面H与棱2Fl交于E ,与棱岡交于冋，且四边形(1)证明：平面卜z丄(2)确定点回 的具体位置(不需说明理由)，并求四棱锥丙丽 的体积.4 .如图2,已知在四棱锥|P从中，平面Md丄平面Rb匚d| ,底面幅3为矩形.IfT芳化册2(1)求证：平面"b丄平面两;卄 g 二 PD= AB = HAD=2M0(2)若 I5如图,，试求点E到平面pBP三棱锥匡回的三条侧棱两两垂直，匡莎11,1,冃分别是棱回，0的中的距离.点.

3、(1)证明：平面 晅平面回若四面体更I的体积为出求线段1的长.6.如图，在四棱锥 卜皿切中，匝"D = 2BS2|，时5，卜A = &(2)若匝回，區空习，目为网的中点.(i)过点目作一直线血国平行，在图中画出直线B并说明理由(ii)求平面画将三棱锥I巨回分成的两部分体积的比.7如图1所示，在梯形叵冈中，冈/ EG，且，分别延长两腰交于4点目为线段回上的一点，将叵画沿冈折起到巴叫的位置，使卜丄a，如图2所示.(2)若匝旦亘，四棱锥匹匹的体积为巨卫I,求四棱锥h B匚DE的表面积.8.如图，在四棱锥p-ABg中，底面陋亘1为矩形，平面pBC丄I平面应gj, pB丄pg.(2)若

4、匝因，目为棱巨I的中点，區画，匝盘 求四面体巨亜的体积.在梯形应回中，巫回hp = DC = CaTal, I瓯或画，四边形回0是矩形,9 .如图,10. 10.如图，已知菱形匝的对角线函 园交于点B,点目为的岡中点.将三角形氐示 沿线段冈折起到匝I的位置，如图2所示.1； - - J'求证:(n)证明:（川）在线段点巫回平面回（!画上是否分别存在点 巫1,使得平面1匡巫1平面画？若存在，请指出的位置，并证明；若不存在，请说明理由9如图，在梯形中，四边形是矩形，且平面平面，点 在线段 上 .1）求证：平面2）当为何值时，平面？证明你的结论 .1010如图，已知菱形的对角线交于点 ，点

5、为的中点. 将三角形沿线段折起到的位置，如图 2 所示 .图1图2(n)（川）求证：证明：在线段的位置，平面平面平面上是否分别存在点，使得平面平面？若存在， 请指出并证明；若不存在，请说明理由点睛：证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征， 合理利用中位线定理、 线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.2.（1）见解析（n） LJF-DCE® 3【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到也虽可，也创，根据

6、平行关系和长度 关系得到点目是阳的中点，点目是网的中点；（2）k-ME別曲 所以叵朗，进而求得体积.详解:（1）因为平面医叼平面画，平面tEFcl平面艇MeI,平面匝习平面壓血，所以函亟，又因为亟叵I, 所以四边形匝®是平行四边形，所以PSAE=7VB, 即点目是凰的中点.因为平面tEF|平面I卩初，平面 由C I平面Mb = EF|,平面pAD C I平面pAB二PA|,所以Ef"pa|,又因为点目是匝I的中点，所以点目是囤的中点,综上：明分别是叵唾的中点;（n）因为 两=pb,ae = ebL所以pE丄AbL又因为平面“B丄I平面恤8|,所以冋平面嗣：又因为丽MD朋丄屈

7、, 所以压空1点睛：这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一 般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法， 点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可；当点面距离不好求时，还可以等体积转化.旦为棱囤中点，亟3. （ 1）见解析（2）目为棱画上靠近bl的三等分点，【解析】分析： 要证平面墮已平面空囤，即证卜15丄平面怛墮，即证；（2）目为棱画上靠近£1的三等分点,0为棱匝1中点，利用等体V = 2V = 2V I积法"-EFGH £%-EFH "fTeW即可

8、求得结果.详解：在矩形卜丄日占丄D aB n 6已=0"停】丄平面曲DD巧卜叫丄匚.，日平面止Z又空平面IE也平面平面ana岀上靠近也的三等分点,0为棱0中点,Hb计E = 4 ,所以盹I的面积L收于是四棱锥日因的体积2V= 2V,B-EF他B-EFH F - SEH2 X - X 备痕 X =店=8沪点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法一一分割法、补形法、等体积法.割补法：求一些不规则几何体的体积时， 常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形

9、（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.4. ( 1)见解析；(2)【解析】分析：(1)由平面pAD丄I平面Rbs,根据面面垂直的性质可得1幅丄I平面Mm,由面面垂直的判定定理可得结论；(2)取AD的中点0,则，由，从而利用棱锥的体积公式可得结果详解：(1)证明:平血PAD 丄 1 ifilABCD-f kJpAD n f-jniABCD = AD'AB 丄 AD=>AB 丄 T llilipAD|Ae u

10、 半面PAB J卜怕仙PA&丄平血pad.(2)解：取 AD 的中点 0，则b 丄半iklABO ILpO = J4-x k皿D = Mbcd PO 专 4x J4 - J 弓f = 1 叭3舍去)贝又易知PB = BD = 2Q Hp 0 = 2=5亦0胡ijiiABCD 3，解出所以点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之 间垂直关系进行转化， 转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论I训乐丄丄ml ；(3)利用面面平行的性质 庄口应I丨尸a丄网;(4)利

11、用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.5. (1)证明见解析； 回【解析】分析：(1)推导出BE± CD，AB丄CD从而CD!平面ABE由此能证明平面 ABE1 平面ACD(2)取BD的中点 G 连接eg贝U EG/ BC.推导出BC丄平面 ABD从而EGI平面 ABD由 此能求出线段AE的长.详解：(1)证明：因为匝函，目是棱巨I的中点，所以pE丄又三棱锥虹心I的三条侧棱两两垂直，且所以匝平面回，则匝亘I.因为两2£詛，所以巨习平面画又叵平面回，所以平面唾习平面叵.(2)解：取昭的中点目，连接巨I,则Eg 閃.易证回平面画,从而

12、|eg丄平面RboL11Ae 1x-xAB.-BDxEG=y=-在HrAABiEl中，2'+2 和肚I.证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直r(1)见解析；(2)见解析，E6.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型【解析】分析：(1)取画中点旦,连接回，叵I,先证明氈2面画，再证明匝画.(2) (i)取囤中点月,连接回，夙,则回匪I,国即为所作直线n,证明四边形画为平行四边形即得证.(ii)先分别计算出两部分的体积，再求它们的比 . 详解：(1)证明：取冈中点0,连接陋I,叵阪E旦冋为回中点，卜

13、A0丄BD|又匝Bi,冋为阳中点，卜旳丄bd|又ho门PQuCj卜&3丄I面PAO又叵寸面冈，卩PA丄BD|E©中点目连接国，围则&ee|,回即为所作直线H,(2)(i)取理由如下：叵在屈中目弘别为0、囤中点卜EF"BC|目匠珂同四边形肚Fe|为平行四边形.卜b"閔A0+0D1(ii)卜 PA 丄 ab|pa 丄 bd| 厢 C bp = b I-pa 丄 I面極I 又在函远I中Rb = AD =罪0 = 2屈 卜AB丄AD| 又卜A丄AB|pA仃AD = a|ES1：（ 1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意 在

14、考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力 .（2）对于空间平行垂直位置关 系的证明有几何法和向量法两种方法， 空间几何体体积的计算有公式法、 割补法和体积变换 法三种方法.7.（ 1）见解析；（2）區區云m【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的 判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公式进行求解.详解：（1）因为/ C= 90°,即卩 ACI BC 且 de/ BCo所以 DE± AC,贝U DE丄 DC, DE丄 DAj又因为DCT DA= D,所以DE!平面 ADC 因为A1

15、F?平面A1DC,所以DE丄A1F.又因为 AF丄CD cm DE= D 所以AF丄平面bcde又因为be?平面bcde所以A1f丄be（2）由已知de/ BC且DE=2BC得D, E分别为AC AB的中点,在 Rt ABC中, h+拥,则 A1E= EB= 5 , AM DC= 4 ,则梯形 bcde的面积 S, = 2x (0- 3) X=4 18 ,四棱锥AiBCDE的体积为v=3x 18A1F= 1亦，即AiF=亦,在Rt ADF中，br"滴"2所以因为AiC= AiD= 4,DE/ BC DE±平面 AiDC所以，即F是CD的中点,BC丄平面A1DC,所

16、以BC丄A1C,所以卜严J人化迈|,在等腰 A1BE中，底边 A1B上的高为卢"巾习所以四棱锥AiBCDE的表面积为S= S +A A ec+ -A A. BE=18 + £x 3x4x 4亦+2 X 6x4x2x2 = 36+ 朋 +.点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空间想象能力和数学转化能力.& ( 1)见解析；(2)【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到巨I丄平面國，即tp丄pb,讲而得到平面pAB丄I平面呵,(2)由等体积法求解，h-PEDPUED。详解：(1)证明: 四边形 画?是矩形， CD丄BC. 平

17、面 PBC丄平面 ABCD，平面 PBCn平面 ABCD=BC, CDU 平面ABCD , CD 丄平面 PBC , CD 丄 PB. PB 丄 PD, CD n P D=D, CD、PDU 平面 PCD , PB 丄平面 P CD. PBU平面PAB ,平面 PAB丄平面PCD.(2)取BC的中点O,连接OP、OE.匝呂平面回匝函，P = -BC = 1际 pel；.卜0 丄 BC|.平面 PBC丄平面 ABCD，平面 PBCn平面 ABCD=BC, POu 平面PBC, PO丄平面 ABCD , AEU 平面 ABCD, PO 丄AE. v/ PEA=90O, / PE丄 AE.PO n

18、PE=P , AE 丄平面 POE , AE丄 OE./ C= / D=90O, / OEC = / EAD,.ktAO匚E 7 RtAE" .算二订.bf = q 0 = 4 tE = ED|,. |cE 二 ED =寸2A-PtD P 'AED点睛：本题主要考查面面垂直，线面垂直，考查三棱锥体积的求法，考察学生分析解决问题 的能力，考查学生的空间想象能力。9. (1)见解析；(2)【解析】分析：（1）在梯形匝可中，利用梯形的性质得 応两，再根据平面卜tFE丄I平面画卫I,利用面面垂直的性质定，即可证得叵平面叵0；（2）在梯形叵回中，设紀C BD = nL连接用I,利用比例

19、式得 丽"AnL进而得h财II NF| ,利用线面平行的判定定理，即可得到瓯可平面I画.详解：（1）在梯形 嗣中，顾词.紀"C = ciTa, Ka阮 兀州，.四边形 嗣是等腰梯形，目 卬匚A = 3A£ = 34=pACB二PCB£Dt；A二go.卜C丄 Bc|.'3EM又平面财FE打平面屈I.又平面kCFE n|平面kBfD = Ad.J旺口平面回!三目时，画平面画，在梯形屈中，设hsRD二n|,连接;凶，而 |ef 二 AC = J.|卡MMF = 1：2L平面匝殛，四边形叵亟I是平行四边形，.回卫H，又叵寸平面叵，回点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.10. （ I ）证明见解析；（n）证明见解析；（川）囤和冈的中点，证明见解析.【解析】分析：（I）由菱形的性质可得所以