插值与拟合matlab实现

1、插值与拟合 matlab 实现插值与拟合的 Matlab 实现王 正 盛 编写在科技工程中，除了要进行一定的理论分析外，通 过实验、 观测数据， 做分析、 处理也是必不可少的一种途径。 由于实验测定实际系统的数据具有一定的代表性，因此在处 理时必须充分利用这些信息；又由于测定过程中不可避免会 产生误差，故在分析经验公式时又必须考虑这些误差的影 响。两者相互制约。据此合理建立实际系统数学模型的方法 成为数值逼近法。一、 插值法1、数学原理工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验 观测数据 中，求自变量 与因变量 的一个近似的函数关系 式。例如：观测行星的运动，只能得到某时刻 所对应的行星位 置

2、（用经纬度表示） ，想知道任何时刻 的行星位置。例如：大气压测定问题；导弹发射问题；程序控制铣床加工 精密工件问题；飞机船舶制造问题等等。都属于此类问题。 因为考虑到代数多项式既简单又便于计算，所以人们就用代 数多项式近似地表示满足 个点 的函数关系式 插值法 建模。（1）计算方法课程中学习了两种多项式插值： Lagrange 插值和 Newton 均差插值： 已知 n+1 个数据点： n 次 Lagrange 插值公式： 特别地，当 n=1 时， 线性插值 当 n=2 时， 抛物线插值或二次插值Newton 均差插值公式： ，其中 是 k 阶均差， 可由均差表方 便计算得到。Lagrange

3、 插值和 Newton 均差插值本质上是一样的，只是形 式不同而已，因为插值多项式是唯一的。（2）Runge 现象和分段低次插值：如 在-5，5上各阶导数存在，但在此区间取 n 个节点构造 的 Lagrange 插值多项式在区间并非都收敛， 而且分散得很厉 害。（ matlabbin Lagrange.m 是自己编写的 M 文件）例 取 n=-10 hold off x=-5:1:5;y=1./(1+x.A2);x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.A2);plot(x0,y0)hold onplot(x0,y1,'b:')le

4、gend('插值曲线','原数据曲线')因此插值多项式一般不要超过四次为宜。 为避免 Runge 现象 提出分段插值，所谓分段插值就是首先把插值点分开，在每 一段上用低次插值，再连接起来。如分段线性插值、分段二次插值、分段三次插值等等。（3）三次样条插值：三次样条插值算法的插值精度较高，所构造的曲线 比较光滑（即在节点处连续可导） 。因此，在许多工程设计 或制造业中，例如飞机、导弹、高速机车、万吨级轮船等外 形设计常常利用本算法进行插值计算。 三次样条插值函数的定义：设已知 n+1 个数据 ，如果函数 满足如下性质： （ 1）在每个子区间 上， 是次数不超过三次

5、的多项式； （2）（3） 在插值区间上二次连续可微，记为 则称 为三次样条插值函数，简称三次样条。三次样条函数 在每个子区间 上可由 4 个系数唯一确 定，因此， 在 上有 4n 个待定系数。由于 ， 故有这里给出了 3n-3 个条件，加上插值条件（ 2），共有 4n-2 个 条件。为了确定 ，通常还需要补充两个边界条件。 常用的边界条件有三类： 第一种边界条件：给定两边界节点处的一阶导数 ，并要求 满足：第二种边界条件：给定两边界节点处的二阶导数 ，并要求 满足：特别地，若 ，则所得的样条称为自然样条（ MATLAB 中即 是自然样条）。第三种边界条件：被插函数 是以 为周期的周期函数，要求

6、 满足：定 理：三次样条插值问题的解存在且唯一。 （证明略） 求三次样条函数 有多种方法，这里介绍一种著名的三弯矩 法。1、表达式：设三次样条函数为，且 ，在 上， 由定义中的（ 2）及 处的二阶导数为 ，则有（1）（2）由于 是三次多项式，所以 是线性函数，于是线性插值，得令 ，得（3）对（ 3）式积分两次，得（4）其中 为积分常数，利用（ 1），有解得代入（ 4）并化简，得（ 5） 这就是系数用二阶导数表示的三次样条的表达式。因此，只 要确定 ，即得三次样条函数 。2、结点的 关系式为了求 ，利用 的一阶导数的连续性： 将（ 5）式对 求导数，得类似地，可得由 ，得上式两边同乘以 ，得令则

7、得到方程组（6）称为结点的 M 关系式（力学上称为三弯矩方程组）3、边界条件（ 6）式中是 n+1 个未知数的 n-1 个方程的方程组，不能 唯一的确定 ，要唯一确定 ，必须附加两个条件，可由实际 情况在两端点 处给出的条件，称为边界条件（端点条件） 常见两种边界条件：（1）给定两端点的二阶导数，（7）这时由结点的 M 关系式 （6）可求出 ， 特别地当 时为自然 样条。（ 2）给出两端点的一阶导数（斜率） ： ，此时由一阶导数 的连续性，可得到两个方程：（8） 边界条件（ 7）和（ 8）可以写成统一形式（9） 其中 当 时，即为（ 7 ）式；当 时， 即为（ 8）式。 将（ 6）式与（ 9）式合在一起得到以下三对角方程组：此方程组对角占优，用追赶法一定可解出 。4、解题步骤 第一步：确定边界条件； 第二步：建立结点的 M 关系式，求出各点