数学2020年秋季教案5年级-7等差数列(二)

1、教案教材版本：精英版.学 校： .教师年级五年级授课时间年 月 日课时2课时课题第7讲一等差数列（二）教材分析本讲内容是在学生已经认识了等差数列，推导得出等差 数列的求和公式，以及通项公式的基础上学习的。主要是使 学生掌握公式的逆用，使学生能够根据不同题目，在已知任 意几个量之后求得所需求的量，灵活运用，不断提高对公式 的熟悉程度及运用程度。例2、例3题目较为简单，学生可直接利用公式进行计 算，例4有f 难度，教师引导学生分析。拓展训练5,6题稍有难度，教师可提示学生完成。教 学 目 标知识技能1、使学生熟练掌握等差数列求和公式的逆运用，让学生学会逆 用等差数列求和公式解决实际问题；2、用方程

2、的思想认识等差数列求和公式，已知公式中的任意三 个量，可以求出第四个量。3、能熟练运用相关公式解决实际问题。数学思考1、通过探索等差数列求和公式逆用的方法，使学生体会从特殊 到一般，再从一般到特殊的思想，初步形成解决问题的一般思路 及方法。2、能够运用数学的思维方式进行思考，增强分析和利用策略解 决问题的能力。3、学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。问题解决1、使学生经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法。2、与他人合作交流，理清自己的思路，尝试解释自己的思考过 程。3、在分析题目的过程中，能够找出题目的暗含条件，得到题目 中的限制条件。情感态度1、让学生在探索的过程中体验到成功

3、的喜悦。2、初步培养学生的抽象、概括能力、创新意识和思维品质。3、使学生体会到数学与现实生活的密切联系，运用数学知识解 决实际问题。4、激发学生对数学的学习兴趣及应用数学的意识。教学重点、难点教学重点：让学生学会逆用等差数列求和公式，以及通项公式解决实际问题。教学难点：使学生探索并发现等差数列求和公式的逆用公式。教学准备动画多媒体语言课件第一课时复备内容及讨论记录教学过程一、课前交流，激发兴趣。师：同学们，大家国庆假期都去哪里了呢？生：师：大家的国庆假期生活都丰富多彩呢。假期里，欢欢一 家人也安排了活动，T走进他们的生活看看吧。（课件播放导入）师：大家知道欢欢是怎样计算的吗？解答这个问题之前，

4、 先一起走进今天的课堂吧，老师相信学完这节课，这道题对 大家来说便迎刃而解了。二、自主探索，解决问题。师：开始r新课之前，大家回顾上节课我们学习的等差数列 求和公式是什么呢？你能用字母表示吗？生：等差数列的和=（首项+末项）X项数+ 2（教师根据学生回答适时板书）（一）呈现问题例1例1：根据以往解题经验，请你想一想，逆用等差数列求和 公式，可以解决哪些问题？1、教师引导。师：我们已知了等差数列的求和公式，求和公式中含有几 个量呢？分别是什么？生：含有四个量，分别是首项，木项，项数，等差数列的 和。师：在求和时，我们知道其余三个量便可求得和，可以将 等差数列的和作为已知量，求得其它三个量吗？大家

5、自己动 手尝试一下。2、学生独立解答，教师巡视指导。3、汇报交流。师：通过尝试，大家有怎样的收获呢？生：可以推导得出求其它三个量的公式。首项=2X等差数列白W口一项数-末项末项=2X等差数列白W口一项数-首项项数=2X等差数列的和+ （首项+末项）答案：已知四个量中的任意三个量，可以求得另一个量。首项=2 X等差数列的和一项数-末项末项=2 X等差数列的和一项数-首项项数=2X等差数列的和+ （首项+末项）(二)呈现问题例2师：利用刚刚推导得出的等差数列求和公式的逆用公式， 现在我们尝试去做一些题吧。例2:已知等差数列1,4,7,10,13 ,的和是590,那么，这列数的末项是多少？1、学生独

6、立审题，思考。2、教师引导。师：大家观察题目，题目中包含了哪些信息？生：这是一个等差数列，它的首项是 1,公差是3,数列的和是590。师：那么题目要求什么呢？生：要求这个等差数列的末项。师：我们刚刚推出的逆用公式，如何求末项呢？末项=2X等差数列白W口+项数-首项，我们说过已知其中 三个量，才求得第四个量，但现在我们只知道其中的两个 量，有两个量都未知，该如何办呢？4、学生思考，教师引导学生进行尝试。师：既然我们有两个数未知，一个个加又比较繁琐，大家可以尝试假设项数进行计算，根据结果的接近程度适当进行调整，进而得出止确结果。尝试过程：试验前 10 项：1+ (10-1) X 3=28(1+28

7、) X10+ 2=145显然145和590相差太多。试验前 20项：1+ (20-1) X 3=58(1+58) X 20+ 2=590前20项和恰好等于590,所以末项为第20项。答案：通过尝试，这个等差数列共有20项。1+ (20-1 ) X3=58答：这列数的末项是58。（三）呈现问题例3例3:已知一个等差数列的第一个数是 3,最后一个数是48, 这列数的和是408。那么这列数共有多少个？1、学生独立审题。2、教师提问。师：这道题已知了哪些条件，要求什么？生：已知等差数列的首项=3,末项=48,和=408,要求等 差数列的项数。师：同学们提取信息的能力非常棒，知道这些，自己动手解答吧。比

8、比谁算的既快又准哦！3、学生列式解答，教师巡视检查。（请一位学生板演）4、集体校对答案。答案：项数=2X408+ （3+48） =16 （个）答：这列数共有16个。三、拓展运用，巩固提升（一）拓展问题1、21、填空：逆用等差数列求和公式可求得首项，或（），或（）。该题很基础，教师带领学生集体填空即可。2、已知一个等差数列的第一个数是 5,最后一个数是45, 这列数的和是500。那么这列数共有多少个？1、学生读题。2、教师带领学生分析，养成学生用数学语言表示题目已知条件与所求的习惯。师：大家通过读题，从题目获取了哪些信息呢？能否用 我们的数学符号语言表示出来呢？生：已知了首项=5,末项=45,等

9、差数列的和=500。求 项数。师：知道了这些，大家自己动手计算吧。3、学生列式解答，教师巡视指导。4、集体校对。答案：（个）答：这列数共有20个。（二）拓展问题33、木材加工厂把粗细均匀的155根圆木堆成梯形状，最下面 的一层是20根，从下往上，每一层比下一层少1根，共有10 层。问：这堆圆木最上面的一层有多少根？1、学生读题，理解题意。2、教师引导提问。师：提炼题目中的有用信息，“每一层比下一层少一根”， 归结到我们的数学问题，是什么呢？生：这堆圆木的摆放相当于等差数列。师：既然是等差数列，从题目中还获得了这个等差数列的哪些信息呢？师：如果我们把最下面的一层作为末项，那么还可以获得这个等差数

10、列的哪些信息呢？生：这个等差数列的和=155,末项=20,公差=1,项数=10,要求首项。师：我们的首项公式是什么？生1:首项=2 X等差数列的和一项数-末项生2:首项=末项-（项数-1） X公差师：看来大家的方法多种多样呢？选择自己喜欢的方法 列式解答吧。3、学生自己列式解答。4、汇报交流，集体校对答案。答案：方法一：2X 155-10-20=11 （根）答：这堆圆木最上面的一层是11根。方法二：20- （10-1 ） 1 1=11 （根）答：这堆圆木最上面的一层是11根。四、课堂小结这节课我们学习了什么内容？通过这节课的学习你有什么收获？第二课时复备内谷及讨论记录教学过程一、谈话导入师：回

11、顾上节课，我们都用到了哪些公式？生：等差数列的和=（首项+末项）x项数+ 2首项=2X等差数列白W口一项数-末项末项=2 X等差数列的和一项数-首项项数=2X等差数列的和+ （首项+末项）师：熟练掌握这些公式，结合题中已知条件选取合适的公 式是我们解决问题的关键。卜时就让找们背起行囊，继续解决 问题。二、自主探索，解决问题。（一）呈现问题例4例4:多多在计算一本杂志的页码总和时，有一个页码漏加了， 结果得到的和为1215。问：这个被漏加的页码是几？1、学生审题，理解题意。2、教师引导思考。师：不管杂志，还是书本，在页码编排时，每相邻两页相差多少？生：1。师：既然相差都是1,我们可以将其看作等差

12、数列。回到 本题本题中已知什么？生：已知等差数列首项=1,公差=1,师：如果没有漏加页码，多多同学计算的页码总和从数学 角度看就是求什么？生：如果没有漏加，就是求首项为 1,公差为1的等差数 列的和。师：假设最后一页是n,同学们该如何列式求和呢？生：1+2+3+- +n=（1+n） Xn+2。师：我们现在不知道n,再回到题中，还启一个信息没有用。题中说，“有一个页码漏加了，结果得到的和是 1215”。同学 们小组讨论，由这个信息可以得出什么？2、小组讨论，教师引导。师：要求等差数列之和，但不知道最后一页的页码，如果我们知道最后一页是100,那么页码数总和是多少？生：5050.师：如果最后一页是

13、20呢？这本书是多少页？页码数总和是多少？生：(1 + 20) X 20-2 = 210师：那么你能假设最后的贞码，并尝试计算找出比1215大的最接近1215的前n项的和吗？(学生尝试计算)讨论：最后的页码应设在什么范围内呢？3、全班交流发现。根据最后的页码算出的值与实际值1215的差不能大于最后的页码。答案：经过试验可知：当 n=49时，页码总和为：(1+49) X 49+ 2=1225所以，被漏加白页码数是：1225- 1215=10答：这个被漏加的页码是10。师：多多非常感谢大家帮助她解决了这个困扰了她很久的问题。(二)呈现问题例5例5:在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个

14、等差数列。这个数列的公差是多少？1、师生读题，分析题意师：插入10个数，且是等差数列，说明每两个数之间的差 是f的。我们可以用植树问题的方法来解决吗？生：可以。师：插入10个数，说明有多少间隔呢？生：共有11个间隔。间隔间差的总和是 245-124=121, 所以每个间隔，也就是等差数列的公差是 11。师：同学们真棒，如果用等差数列的方法，变成等差数列 后这个等差数列一共有多少项？生：12项。因为插入了 10项，再加上124和245两项， 所以一共是12项。师：那这个数列的首项是什么？末项是什么？项数是什么？生：首项是124,末项是245,项数是12。2、学生尝试独立计算师：那么知道首项是12

15、4,末项是245,项数是12。怎么 求公差？师：之前我们学过含肩首项，末项，项数，公差四个量的 公式是什么？生：末项=首项+ （项数-1） X公差。师：现在要求公差，该如何计算？生：公差二（末项-首项）+ （项数-1）3、列式计算，集体核对答案。答案：10+2=12（项）（245-124） + （ 12-1 ） =11答：这个数列的公差是11。4、教师小结。有时我11换个角度来思考，把较复杂的加法计舁转化成可 以口算的一步计算的减法式题，计算起来多简便呀！有些看来 繁杂，难解的问题，只要我们肯动脑筋，根据题目的特点灵活 的运用方法是能够化繁为简，化难为易的。三、拓展应用（一）拓展问题44.一个

16、等差数列共有15个数，第一个数是4,最后一个数是 46,这列数的公差是多少？1、找学生读题，收集题中的信息，2、学生独立完成。教师巡视，对有困难的学生进行适当的指导，并引导孩子们利用公式“末项 =首项+ （项数-1） X公差” 从而求出公差。（这是例5的巩固题，学生独立完成即可）（二）拓展应用55.100225之间能被7整除的所有数的和是多少？1、学生审题。2、教师引导提问。师：100225之间能被7整除的数有什么特点？大家现在 可以尝试列举130以内，所有可以被7整除的数，发现其中 的规律。生：每相邻两个可以被7整除的数之间相差7。是一个等 差数列。师：回到这道题，那么这是一个等差数列求和的

17、题。要求 一个等差数列的和，我们需要知道哪些信息？生：首项，末项，项数。师：100225之间能被7整除的数第一个是多少？最后一 个是多少？（生小组合作，回答上面问题）3、解决问题师：知道了首项，末项，项数该如何求？4、学生列式解答。答案：100 +7=14所以100225之间能被7整除的第一个数是：100 + （72） = 105225 +7= 321所以100225之间能被7整除的最后一个数是：225 1 = 224能被7整除的这列数的公差是7,根据项数=（末项-首项）+公差+1,所以共有：（224 105） +7+1 = 18 （项）求和：（105+224） X 18+2 = 2961（三

18、）拓展应用66.一个数列有11个数，中间一个数最大。从中间的数往前数， 一个数比一个数小2;从中间的数往后数，一个数比一个数小 3。这11个数的总和是200,那么中间的数是几？1、师生合作，分析题意师:假设中间的数是a,那么你能分别写出其他的10个数吗？ 解析：假设中间的数是a,那么其他的数也可以分别写出来：中 问 的 数a 一10a 一8a 一6a 一4a 一2aa 一3a 一6a 一9a 一122、小组合作，尝试解答师：已知这11个数的和是200,那么你能求出中间的数是多少吗？求中间的数，相当于求 a,a如何求呢？3、学生列式计算。答案：把这列数都变成中间的数，15本讲例题与拓展问题答案:例题答案：例1:略例 2: 58例3: 16个例 4: 10例 5: 11拓展问题:则从中间往前依次加2、4、6、8、10;从中间往后依次加3、6、9、12、15。（20