高中数学6.4.3余弦定理正弦定理第4课时三角形中的几何计算学案新人教A版必修第二册

1、第4课时三角形中的几何计算考点学习目标核心素养有关三角形面积的计算掌握三角形的面积公式的简单推导和应用逻辑推理、数学运算三角形的综合问题能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题数学运算1研读导学宜试-8 -问题导学预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题:如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？三角形的面积公式1.1.1（1） S=,aha = 2b hb=/c hc（ha,hb,h=分别表本边 a,b,c 上的局）.1 1.1（2） S= 2absin C= bcsin A= acsin B.-1（3） S= 2（a+b+c） r（为 ABCft切圆白肉半径）.

2、名师点拨 _ 1 _ 1三角形的面积公式 S= 2absin C与原来的面积公式 S= 5a h（h为a边上的高）的关系为h= bsin C,实质上bsin C就是 ABC3 a边上的高.判断（正确的打“，”，错误的打“X”）（1）三角形的面积公式适用于所有的三角形.（）（2）已知三角形两边及其夹角不能求出其面积.（）（3）已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积.（）答案：（1） V （2） X （3） XB.在ABC43, A= 60° , AB= 1, AC= 2,则 Saabc的值为（）A.2C. 3D. 2 3角军析：选 B.Saabc= 2AB AQinA= 2X1X2X

3、一 3 1 .已知 ABC的面积为2,且b=2, c=，3,则A=(B. 60°A. 30°C. 30° 或 150°D. 60°或 120°1.3斛析：选 D.由 Sabc= 2bcsin A= 2,3 .得 3sin A= 2, sinA$由 0° <4180° ,知A= 60° 或 A= 120° .在ABC43, A= 30,AB= 2, BC= 1,则ABCW面积为BC AB解析：由s=赤'知 sin C= 1,则 C= 90° ,C所以B= 60。，1 一从而

4、 SLabc= 2AB- BC- sin B= -23.答案:年解惑探究突破与三角形面积有关的计算问题（2019 湖南娄底重点中学期末）在ABC43,已知BG= 6, A= 30 , B= 120 ,则 ABC勺面积等于（）A. 9B.18C. 9 3D.18 3（2）在ABC内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.已知 C=2, C=,且 & ABC= q3,3【解析】（1）在 ABC中，由正弦定理，得ACBCsin-B= snA，所以 AC=BC- sin Bsin A6X sin 120sin 30= 6 3.又因为 C= 180° 120° 30&#

5、176; =30° ,所以 8ABC= 2X 63 X 6X2= 93.(2)由余弦定理，得 a2+b2-ab=4,又 ABC的面积等于 平 所以；absin C= 43,得ab=4,a2+ b2ab= 4联立方程组1,ab= 4解得 a=2, b= 2.【答案】 (1) C (2)22三角形面积计算的解题思路 _ 1_ 11对于此类问题，一般用公式S= 2absin C= 2bcsin A= -acsin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及

6、夹角，再利用三角形 面积公式进行求解.1. (2019 黑龙江大庆中学期中)在ABC4角A B, C所对的边分别为a, b, c,若a =7, b= 3, c = 8,则 ABC勺面积等于()21A. 12B.C. 28D. 6 3解析：选D.在 ABC中，由余弦定理可得64=49+ 92X7X3 cos C,-1 ，4 3所以 cos C= 7,所以 sin C=1所以 Sabc= 2absin C= 643,故选 D.2.如图，四边形ABCDK/B=Z C=120°,AB= 4,BC= CD= 2,则该四边形的面积等于()A.3B. 5 3C. 6 3D. 7 3一一、“, _一

7、，180° 120。 一，解析：选B.连接BD在 BCD,由已知条件，知/ DBC= 30 ,所以/ ABD= 90。.在 ABCDK 由余弦定理得 BD=BC+ CD2BC CtCos C,知 BD= 22+22-2X2X2 cos1 ，一一 1120 = 12,所以 BD= 2后所以S 四边形 ABCD= SL ABD+ SL BCD= 2 X 4X2y3 + 2><2X2Xsin 120°3.在ABC3, A= 60,b=1, ABC勺面积为® 则边a的值为1.解析：由 $ abc= bcsin1A= 一 csin 602黄，得 c=4,因为 a

8、2 = b2 + c2 2bccos A= 1 +168cos 60=13,所以 a=03.答案：13三角形中的线段长度和角度的计算已知四边形 ABCD勺内角 A与C互补，AB= 1, BC= 3, CD= DA= 2.(1)求C和BD(2)求四边形ABCD勺面积.【解】(1)连接BD则由题设及余弦定理得，BD=BC+ CD2BC- CDcos C= 1312cos C,BD=A戌+DA2AB DAcos A= 5+4cos C.1由得cos C= 2，故 C= 60 , BD=，7.(2)四边形ABCD勺面积11S= 2AB DAsin A+ 2BC- Ctsin C=gx 1 X2 + ；

9、X3X2 sin 60三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只 需通过解三角形，一般问题便能很快解决.(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.已知四边形 ABCD荫足/ BA氏90 , / BCD= 150 , / DAC= 60° , AC= 2, AD=5 +1 .求CD的长和 ABC勺面积.解：在 ACD3,由余弦定理得 CD= aD+ aC 2AD- AQos/CAa6,所以CD=*.在ACD,由正弦定理得ACCDsin / CAD sin / ADC则 sin /ADC=y，又 0

10、 </ADC120 ,所以/ ADC= 45° ,从而有/ ACD= 75° ,由/BCD= 150 ,得/ ACB= 75 ,又/ BAC= 30 ,所以 ABC为等腰三角形，即 AB= AC= 2,故 Sz ABk 1.三角形中的综合问题bcos(2019 郑州一中期末检测)在ABC4角A B, C的对边分别为a, b, c,且满足A= (2 c+ a)cos(兀一B).(1)求角B的大小;(2)若b=4, aABC勺面积为® 求 ABC勺周长.【解】(1)因为 bcos A= (2 c+ a)cos(兀一B),所以 bcos A= (2c+a)( co

11、s B).由正弦定理可得，sin Bcos A= ( - 2sin C sin A)cos B,即 sin( A+ E) = - 2sin Ccos B= sin C。， ，一。，1,又角C为 ABC勺内角，所以sin C>0,所以cos B= 5.又BC (0 ,兀)，所以B=,11(2)由 Saabc= 2acsin B= 3,得 ac= 4.又 b2 = a2+ c2+ ac= (a+ c)2 ac= 16.所以a+c=2 5,所以 ABC勺周长为4+2 5.变条件、变问法在本例(2)中，去掉条件“ ABC勺面积为«3”，求(1) ABCW长的取值范围;(2) ABC面积

12、的最大值.解：(1)由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accos B, 即 b2 = a2+ c2+ ac.又 b= 4,所以 16= a2+c2+ac= (a+ c) 2- ac>( a+ c) 2-,32,2 64所以(a+c) <16,所以(a+c) < -.即 4<a+ cw型3.所以 8<a+ b+ c<4+ 驾3. 33(2)由余弦定理得 b2=a2+c22accos B,即b2= a2+ c2+ ac,又 b= 4,所以16= a2+ c2+ ac>2 ac+ ac=3ac,即 ac<-.3所以1 16S abc= -acsi

13、n B< -x x223即ABC®积的最大值为 Y3解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变 换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解.(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先 要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求 解.在 ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知 A=-4, bsin 'y+Cf-csin f-4+B；=a.求证：B C=万;(2)若a=42,求 ABC勺面积.解：(1)证明

14、：由bsin J-4 + C ；-csin 号+ Bj=a及正弦定理，得A,即sin_2 ,2sinC+ 乎cos C: sin升 £cos整理得sin BcosC cosBsin C= 1,即sin( B C)= 1.，一_3兀 _一3兀一一一 一 兀由于 0<B<, 0<C<,从而 B- C= £.(2)因为 B+ C=兀-A= 34L, B- C="2, 心.兀 asin B _ . 5兀asin C _ .兀由 a=V2，A= 丁b=F= 2sin 可，c=MK = 2sin 干萼sin= J2cos 9sin 看=；88882验任

15、反佛达标一.一1所以 ABC的面积 S= 'bcsin A= 2sin测评案 0(B1 .在ABC3, A= 60° , AB= 2,且 ABC勺面积 8abc= 当,则边BC的长为()A.3B. 3C.7D. 71 _ 一解析：选 A.因为 &abc= 2AB AQin A,1-_所以2X2 AGin 60所以AC= 1.又 BC2=A+AC 2AB AC- cos A=4+ 12X2 cos 60 ° = 3.所以BC= 3.a, b, c. b=2, Z B=, Z C=, 642 .已知 ABC的内角/ A / B, / C的对边分别为则 ABC勺面

16、积为()A. 2+2 3B. 3+ 1C. 2-2D. V3-1c2l兀 兀 7兀解析：选B.由正弦定理，得 =,解得c= 2y2.又/ A=兀- - - - =则兀.兀6412sin 7 sin_6 ABC勺面积 S= ；bcsin 常=.3+1.3.在ABC3,角A,B,C所对的边分别为a, b,c,若c=、/3,b= 1,C=120°.(1)求B的大小；(2)求 ABC勺面积S_ _ b c解：(1)由正弦定理一一-=-sin B sin C得sinB=bsin12'因为在 AB®, b<c且C= 120。，所以 B= 30。(2)因为 A+ B+ O

17、180° ,所以 A= 180° 120° 30° =30° ,所以 S= 2bcsin A= -4.应用案，回强化培优通关 .A. 5B. 6-9 -A 基础达标1 .在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c,其中a= 4,b=3, C= 60° ,则ABC的面积为（）A. 3B. 3 3C. 6D. 6 31 .- 13解析：选 B.ABC勺面积为 2absin C= 2x 4X 3x 看= 3>/3.2 .在ABC3,/A, /B,/C所对的边分别为a,b,c,cos2A=sin A bc= 2,则ABC的面积

18、为（B.1A2C. 1D. 2解析：选 A.由 cos 2A=sinA,彳导1 2sin 2A= sinA,解得sinA= 2或sinA= 1(舍去)，所以 Saabc= 2bcsin A= !x 2x ：= 2. 222 23.在ABC4已知b2- bc- 2c2=0,且 a = 6, cos A=三,则 ABC勺面积等于(A.152B. . 15C. 2D. 3解析：选A.因为b2 bc 2c2= 0,所以(b2c)( b+c) =0,所以 b=2c.由 a2= b2+c22bccos A,解得 c= 2, b=4,因为cos A= 7所以sin1581152X4X2X丁1.所以军abc=

19、 2bcsin4 .已知 ABC勺周长为20,面积为10，3, A= 60° ,则BC边的长为（）C. 7D. 81解析：选 C.由题设 a+b+c=20, bcsin 60=1043,所以bc=40.a2= b2+ c2 2bccos 60 ° = (b+ c)2 3bc= (20 a)2 120.所以a= 7.即BC边的长为7.5.在ABC若b=2, A= 120° ,其面积 S= 8 则 ABC7卜接圆的半径为(A.3B. 2C. 2 3D. 4-、”一、，一 1解析：选B.因为S= 2bcsin A,1所以 >/3 = 2X2csin 120,所以

20、c=2,所以 a= b2+ c2- 2bccos A= 4+42X2X2X J 11 2g设 AB/卜接圆的半径为 R, , a所以2R=- sin_2?A=也=4,所以 R= 2.-1.6.在ABC, a=3j2, b=243, cos C=-,则 ABC勺面积为31 斛析：因为cos C=0<C<兀,3所以sin C=挛， 31 .一所以 SLabc= 2absin C=；X 32 X 2小X 呼=43. 23答案：4 37.已知 ABC勺三个内角满足 2B= A+ C,且AB= 1, BC= 4,则边BC上的中线 AD的长为解析：由 2B= A+ C,及 A+ B+ C=tt

21、 知,_ 兀B= 一.3-19 -在ABD43, AB= 1, BD=5=2,所以 AD= Ag+BD 2AB BDCos9=3.3因此AD= - 3.答案：38.在ABC已知 A= 60° , AB： AC= 8： 5,面积为10日 则其周长为 .解析：设 AB= 8k, AC= 5k, k>0,所以 S>aabc=AB- ACSin A= 103k2= 103,所以 k=1,AB= 8, AC= 5,由余弦定理得 BC= AB+AC2AB- ACCos A= 82+ 52-2X8X5X = 49,所以 BC= 7,所以 ABCW周长为 AB+ BO AC= 20.答案

22、：2049.设 ABC勺内角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,且cos B=b=2.兀 .(1)当A= "6-时，求a的值;（2）若ABC勺面积为3,求a+c的值.解：（1）因为 cos B= 5>0,所以 BC Jo, 2 i, 所以 sin B= 1.5a b由正弦定理7 = , sin A sin B得=,斛得a=".兀 33sin 6（2）由ABC勺面积 S= 1acsin B,得1acx3=3,得 ac=10.225由余弦定理 b2所以（a+c） -2ac= 20,即（a+c） =40,所以 a+ c=2 10.10. (2019 高考全国卷出)

23、 ABC勺内角A B, C的对边分别为a, b, c.已知asin =bsin A(1)求 B;(2)若 ABC锐角三角形，且 c= 1,求 ABC®积的取值范围. = a2+ c2-2accos B,彳4 4= a2+c2-fac= a2+c2-16,即 a2+c2=20,a+c25解：（1）由题设及正弦定理得A+ C sin Asin -= sinBsin A.因为sin Aw0,所以sinA+ C= sin B.2由 A+ B+ C= 180° ,可得A+ CBsin 2=cos2,故 cos -= 2sin -cos-.222 B -一 . B 1 _ _因为 co

24、s2w0,故 sin 2=2,因此 B= 60 .（2）由题设及知丽勺面积S3（2由正弦定理得a=csin A sin (120° - C)也 12tan C+ 2sin Csin C由于 ABC为锐角三角形，故0° <A<90° , 0° 090° .从而-?-< 8由知A+ C= 120° ,。1所以 30 <090 ,故 2<a<2,因此， ABCM积的取值范围是B 能力提升11 .在 ABCK角A B, C所对的边分别为 a, b, c.若c=2, C=-,且a+ b=3,则3AW5 c.1

25、2 ABC勺面积为（）aB. 4d¥解析：选D.由余弦定理得 c2=a2+b22abcos C,所以 22= a2+ b2 2abcos32.即 4 = (a+ b) -3ab,5又 a+ b= 3,所以 ab=-3所以观ABC=7t二absin -= 2312 . (2019 高考全国卷n ) ABC勺内角 A B, C的对边分别为 a, b, c.若b=6, a= 2c,B=卷，则ABC勺面积为3解析：由余弦定理得 b2 = a2+ c2- 2accos B,一一一TT又因为 b= 6, a=2c, B=3222 1所以 36 = 4c + c 2X2 c X2所以 c= 2 ./3,a= 4 3,所以 Sabc= 2acsin B= 2x4X 273 X 23=63.答案：6 313. （2019 株洲二中