原函数与不定积分

1、8-1 不定积分概念与 基本积分公式一、原函数 不定积分是求导运算的逆运算. 四、基本积分表三、不定积分的几何意义二、不定积分微分运算的逆运算是由已知函数微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数求函数f(x), 一、原函数使使s ts tv t( ),( )( ). 使使例如例如v ts t( ),( ).已已知知速速度度函函数数求求路路程程函函数数即即求求,( ),k x又又如如 已已知知曲曲线线在在每每一一点点处处的的切切线线斜斜率率求求( ),( ),f xyf x使使的的图图象象正正是是该该曲曲线线 即即使使得得( )( ).fxk x( )( ).fxf x 定义定义1ff

2、i设函数与在区间上都有定义,若设函数与在区间上都有定义,若.ffi则则称称为为在在区区间间上上的的一一个个原原函函数数fxf x( )( ) ，,xi 32(ii)3xx是是的的一一个个原原函函数数: :xx32.3 例例1s tv t(i)( )( )路程函数是速度函数的一个原函路程函数是速度函数的一个原函).()(tvts数数: :xxx221(iii)ln(1)1 是是的的一一个个原原函函数数: :221ln(1).1xxx从从(iii) (iv)可以看出可以看出, 尽管象尽管象221(iv)1arcsin1:2xxxx是是的的一一个个原原函函数数2211arcsin1.2xxxx221

3、11xx 和和研究原函数有两个重要的问题研究原函数有两个重要的问题:1. 满足何种条件的函数必定存在原函数满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存如果存2. 若已知某个函数的原函数存在若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出如何把它求出这种形式简单的函数这种形式简单的函数, ,要求出它们的原函数也不是要求出它们的原函数也不是一件容易的事一件容易的事. .在原函数在原函数, ,它是否惟一它是否惟一? ? 来来? ?第一个问题由以下定理回答第一个问题由以下定理回答.定理定理8.1 (原函数存在性定理原函数存在性定理)fifi,若函数在区间上连续 则在上存在原函若函数在区间上连续 则在上存在原函

4、( )( ).fxf x 在第九章中将证明此定理在第九章中将证明此定理.数数 f, , 即即定理定理8.2 (原函数族的结构性定理原函数族的结构性定理)( )( ),f xf xi设是在区间上的一个原函数 则设是在区间上的一个原函数 则(i)( )( ),f xcf xic也也是是在在上上的的原原函函数数 其其中中(ii) f (x) 在在 i 上的任意两个原函数之间上的任意两个原函数之间, 只可能相差只可能相差 .为任意常数为任意常数一个常数一个常数. .证证(i)( )( )( ),( )f xcf xf xf xc由知由知( ).f xi也是在上的原函数也是在上的原函数(ii) 设设 f

5、(x) 和和 g(x) 是是 f (x) 在在 i 上的任意两个原上的任意两个原)()() )()(xgxfxgxf 由第六章拉格朗日中值定理的推论由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知即知 f xg xc( )( ).( )( )0.f xf x函数函数, 则则 f xx( )d,二、不定积分定义定义2fif函函数数在在区区间间上上的的全全体体原原函函数数称称为为在在 i 上的上的不定积分不定积分, 记作记作,( ),xf x其其中中称称为为积积分分变变量量为为被被积积函函数数( )d.f xx为为积积分分表表达达式式, , 为为积积分分号号( )( ),8.2,f xf x若是的一个原函数

6、 则由定理若是的一个原函数 则由定理( )d( )r .f xxf xcc为方便起见为方便起见, 我们记我们记( )d( ).f xxf xc其其中中由此由此, 从例从例 1(ii) (iii) (iv)可得可得:xxxc231d,322dln(1),1xxxcx2211d1arcsin.2xxxxxc.c 为为任任意意常常数数若若f (x)是是 f (x) 的一个原函数的一个原函数, 则称则称 y = f (x) 的图的图所有的积分曲线所有的积分曲线都是都是 三、不定积分的几何意义( )yf xc00(,)xy( )yf x xoy像是像是 f (x) 的一条的一条积分曲线积分曲线.到的到的

7、. 沿纵轴沿纵轴方向平移而得方向平移而得由其中一条由其中一条积分曲线积分曲线例如例如, 质点以匀速质点以匀速 v0 运动时运动时, 其路程函数其路程函数00( )d.s tvtv tc若若 t0 时刻质点在时刻质点在 s0 处处, 且速度为且速度为 v0, 则有则有000( )().s tv tts的原函数正是在积分曲线中的原函数正是在积分曲线中00()f xy满满足足条条件件),(00yx通过点通过点的那一条积分曲线的那一条积分曲线.由基本求导公式可得以下基本积分公式由基本求导公式可得以下基本积分公式: 1. 0d.xc2. 1dd.xxxc 13.d(1,0).1xxxcx 14.dln|

8、.xxcx5. e de.xxxc四、基本积分表6.d.lnxxaaxca7. cos dsin.x xxc8. sin dcos.x xxc 29. secdtan.x xxc210. cscdcot.x xxc 11. sectan dsec.xx xxc12. csccot dcsc.xx xxc 122d13.arcsinarccos.1xxcxcx 122d14.arctanarccot.1xxcxcx由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算定理定理 8.3 (不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则)1212( )( ) )d( )d( )d .k f xk g xxkf xxkg xx上都存在原函数上都存在原函数, k1, k2为为fgi若函数与在区间若函数与在区间k fk gi12, 在 上也存在原函数 且在 上也存在原函数 且任意常数任意常数, 则则nnnnaaap xxxxxa xcnn12011( )d.12例例1,)(1110nnnnaxaxaxaxp则则法则法则.例例2 xxxxxx422