函数函数零点B级学生

1、/B高考要求内容要求层次重、难点函数的零点函数的令点B1. 理解函数零点的概念2. 掌握函数零点的性质3. 明确零点是一个值”，而非一个点的坐标4. 会利用函数的零点探索二次方程根的分布问题二分法A了解二分法的原理W要知识框架重难点一、函数的零点1. 零点的概念：对于函数y=f(x)(x6D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x6D)的零点.2. 函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根u函数y=f(x)的图象与x轴有交点u函数y=f(x)有零点.3. 零点存在性判定定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)f(b)<0,则函数y=f

2、(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c6(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.4. 二次函数零点的判定(1)二次函数零点的判定二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个一重零点无实根无零点(2)二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号.相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.(3)二次函数的零点的应用利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.根据函

3、数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.【定理1】k:x1_x2u.2.：=b4ac-0af(k)>0b>k一2a如图所示:【定理2】X1<x2:：k=b2-4ac：二0<af(k)>0-<k2a如图所示:【定理3】x1:k:x2匕af(k)<0.如图所示:二 0 : x2 匕ac <0 .a(a+b+c)<0.【定理4】有且仅有ki< xi (或 x2 ) < k 2 yf(kl)f(k2)：二0如图所示:a:二0【定理5】ki:二xi二k2Pi二x2:二P2匕f(ki)>0f(k2)<0或f(

4、Pi)<0f(P2)0f(ki)<0f(k2)>0f(Pi)>0f(P2):0【定理 6】k1 < x1 w x2 c k2 =a > 0T(k1)A0f(k2)>0 b k1 :二一：二 k2 2aa<0或f(k1)<0f(k2)<0bk1:二一：二k22a如图所示:二、二分法(1)对于在区间b,b上连续，且满足f(aW(b)<0的函数y=f(x)通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.(2)用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间la,

5、b,验证f(aW(b)<0,给定精确度.第二步：求区间(a,b)的中点为.第三步：计算fx1©f(%)=0,则xi就是函数的零点；f(a)f(x,)<0,则令b=xi；函f(xiW(b)<0,则令a=xi.第四步：判断是否达到精确度s,即若ab<名，则得到零点的近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.岸例题精讲1.函数零点的判定及求解xxx_2【例1】(2010宣武一模理4)设函数f(x)=x3口1，则其零点所在的区间为(2A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【例2】函数igx-的零点所在的区间是()xA.(0,1)B.(1,2)C.(2

6、,3)D,(3,10)x1,x<0,【例3】已知函数f(x)=<则函数y=ff(x)+1的零点个数是(log2x,x0,A.4B.3C.2D.1【例4】(2009石景山一模)已知函数y=f(x)和y=g(x)在一2,2的图象如下所示：给出下列四个命题：方程f g(x )=0有且仅有6个根方程ff(xg=0有且仅有5个根其中正确的命题是方程g ' (x )j=0有且仅有3个根方程g -g(x方=0有且仅有4个根(将所有正确的命题序号填在横线上).【例5】1一设函数 f(x)=-x-lnx ( x>0 ),则 3y = f(x)()A.在区间B.在区间11e,1一,1 L

7、3 ),(1,e )内均有零点.,(1,e州军均无零点.(2)求函数f(x)的单调区间与极值；1C.在区间D.在区间.-,1内有零点，在区间(1,e州无零点.e1一一.-,1内无零点，在区间(1,e户有零点.e【例6】(2009年山东文)若函数f(x尸ax-x-a(a>0且a#1)有两个零点，则实数a的取值范围是.2.二次函数根的分布及零点问题223【例1】已知关于X的万程x(2m8)x+m-16=0的两个实根x1和x2,满足*2<一父入，求实数m的2取值范围.2【例2】若关于x的万程3x5x+a=0的一个根在(2,0)内，另一个跟在(1,3)内，求a的范围.2xx【例3】若关于x

8、的万程2-2a+a+1=0有两个不同的正实根，则实数a的取值范围为.【例4】已知mwR,函数f(x)=m(x21)+xa恒有零点，求实数a的取值范围.3.函数图象与方程1 x【例5】(2010?上海)(上海卷理17)若x0是方程=x3的解，则x0属于区间()2212121A-B1JB-<2,3；C-b,3.JD,10,3；【例6】设X,x2,x3依次是方程log1x+2=x,log2(x+2)="二x,2x+x=2的实数根，试比较X,x2,兄的大小.【例1】试判断方程|x29|=a+2实根的个数.【例2】(2011湖南六校联考)设整，x2是方程lnx2=m(m为实常数)的两个根

9、，则x+x2的值为()A.4B.2C.-4D.与m有关【例3】(2011浙江金华十校)已知f(x)=x2-2x+c,f1(x尸f(x),fn(x)=f,fn(x)(n>2,nwN*)若函数y=fn(x)x不存在零点，则c的取值范围是()1_3_9_9A.c<_B.c>C.c>D.c>4444【例4】(07广东)已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x3a,如果函数y=f(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.【例5】已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x近区间E,t+1上的最大值h(t1ax.(2)是否存在实数m使得y=f(x

10、)的图像与y=g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.函数零点的综合应用【例1】(2010年西城二模理14)已知函数f(x)=ex+alnx的定义域是D,关于函数f(x)给出下列命题： 对于彳J意aw(0,+s),函数f(x)是D上的减函数； 对于彳J意aw(q,0),函数f(x)存在最小值； 存在aw(0,)，使得对于任意的xwD,都有f(x)>0成立； 存在aW(-,0),使得函数f(x)有两个零点.其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号).【例2】(2009天津文21)设函数f(x尸x3+x2+(m2-1)x(xWR),其中m>

11、0.3(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率；(3)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0, X1 , X2 ,且Xi <X2 .若对任意的XE k,X2,f(x)>f(1)恒成立，求m的取值范围.【例3】(2009?广东)已知二次函数y=g(X)的导函数的图象与直线y=2X平行，且y=g(X)在x=_1处取得极小值m-1(m00).设f(X)=g(Xp.(1)若曲线y=f(X旷的点p到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值；(2)k(kwR)如何取值时，函数y=fx-kX存在零点，并求出零点.【例4】(湖南理22)已知函数f(x)=x3,g(

12、x)=x+jX.求函数h(x)=f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；【例5】设函数f(x)=x3+2ax+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中xWR,a,b为常数，已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线1.(I)求a,b的值，并写出切线1的方程；(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0,%,X2,其中x1<x2,且对任意的xx1,x2|,伙)+g(X<m(x-1)恒成立，求实数m的取值范围.三少课堂总结1. 函数零点的判定判断函数y=f(x卢某区间上是否有零点，有几个零点，常用以下方法：解方程：方程根的个数即为零点的个数定理法：利

13、用函数零点存在性定理直接判断图像法：转化为求两个函数图像的交点个数问题进行判断2. 函数与方程思想函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而是问题获得解决.方程的思想，就是分析数学中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题.是问题获得解决.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨、达到解决问题的目的.0赢*课堂检测k.【习题1】已知二次方程(m2)x2+3mx+1=0的两个根分别属于(1,0)和(0,2),求m的取值范围.x22x3xW0【习题2】(2010福建)函数f(x)=4x2x3,x0,的零点的个数为()-2lnx,x0A.0B.1C.2D.3【习题3】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围.2【习题4】(2010广东深圳)已知函数f