函数及其表示知识点

1、函数及其表示一、知识梳理1 1 映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A B，f f表示对应法则注意：A A 中元素必须都有象且唯一；B B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2 2 函数的概念(1)(1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的x，在集合B中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为(2)(2) 函数的定义域、值域在函数y f (x), x A中，x叫做自变量，x A叫做y f (x)

2、的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，f(x)x A称为函数y f(x)的值域。(3)(3) 函数的三要素：、和3 3 函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法(1 1 )图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；(2 2 )列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)(3) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4 4 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。(二)考点分析考点 1 ：映射的概念例 1 1 下述两个个对应是A到B的映射吗？(1)A R,B y|y0,f : x y |x|；(2)A x|x 0,B y | y R

3、,f : xy x例 3 3设集合M 1,0,1,N 2, 1,0,1,2，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f (x)的和都为奇数，则映射f的个数是()(A)8 8 个(B)1212 个(C)1616 个(D)1818 个例 2 2若A 1,2,3,4,Ba,b,c,a,b,c R，则A到B的映射有个,B到A的映射有个考点 2:判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例 1 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1)f(x) V臣,g(x)3 3vx; 2x2x + 5.5.例 4.4.已知 g(x)g(x

4、)= x x2 3 3, f(x)f(x)是二次函数，当 x x 1,21,2时，f(xf(x) )的最小值为 1 1，且 f f (x)(x)+ g(xg(x) )为奇函 数，求函数 f(xf(x) )的表达式.2、配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f (x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x)的定义域不是原复合函数的定义域,而是g(x)的值域。121例 2 2 已知f(x -) x (x 0)，求f (x)的解析式xx3、换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法样，要注意所换元的

5、定义域的变化。例 3 3 已知f(.、x 1) x 2., x，求f (x 1)4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 4 已知：函数y x2x 与 y g(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。例5设f (x)满足f (x) 2f)x,求f (x)x1例 6 6 设f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x) g(x),试求f(x)和 g(x)的解析式x 16赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有

6、“任意性”的变量 进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 7 已知：f(0)1，对于任意实数 X X、y y,等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭 乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 8 设f (x)是定义在N上的函数，满足f (1)1，对任意的自然数a,b都有f (a) f (b) f (a b) ab，求f (x)考点 4:求函数的定义域题型 1 1:求有解析式的函数的定义域(1 1 )常规方法总结： 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x

7、的取值范围,实际操作时要注意：分母不能为 0 0;对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负 数；零指数幕中，底数不等于 0 0;负分数指数幕中，底数应大于 0 0;若解析式由几个部分组 成，则定义域为各个部分相应集合的交集；1的定义域为()3例 1 1函数fx、x24一xA A.2,2,3 U 3,C C.2,3 U 3,例 2 2、 函数f(x)0B.B.x|x 0C.C.x |xA.A.题型 2 2 :求复合函数和抽象函数的定义域0 且 x1D.D.x | x 0 且 x1般地： 若y= /()又“ =g(x) , fi.g(x)值域与/(“)定义域的交集不空， 则苗数y= /lWJ

8、叫”的霓合函散其中,=/(“叫外层歯数，u = g(x)叫内层丙数，简耳之： 复介曲数就是：把一个曲数中的自变毎替换成另一个的数所得的新的数.例如：/(x) = 3A: + 5.g(x)= x2+1：H 合网数,(g(x)即把/(x)里而的 x 换成&(x),/(&(劝)=3&(劝+5 =灰卫 +1+5 = 3X * 8复合函数的定义域求法(初期，叮以先帯理解性 id 住其求法，因为它也只有以卜几种题 谢，所以等做了一定的训练之后自然也就理解和掌握了)题型一.已知才的定义域，求复合函数他(功的定义域若/(x)的逗义域为xe(a,b)，求出/(x)屮 d vg(x) h的

9、解才的范鬧，即为/(x)J 的定义域。例 1.已知/的定义域为(-3,5,求隨数于(3 工-2)的定义域：例 2. 若函数y =/(x)的定义域1, 21 求 j = /(A2-1)的建义域练 1 已知/(x)的定义域为(0,3,求f(jc2+ 2x)定义域u题型二已知复合函数仏(“的定义域，求肚 r)的定义域方法是：若/lj?(x)j 的定义域为xe(a,b),则由a xi 义成求得f(x)的定义域，再由f(x)的窪义域求得的定义威。例 4.已知f(x+1)的定义域为-23),求f(x-2)的従义域。练 1.若酣数的定义域为-2, 3,则函数/(2A:-1)的定义域是_ ；函数 f (-4-

10、 2)的定义域为_ X练 2.已知函数/(X2-2)的定义威为1, 3,求函数 f(3x+2)的定义域。题熨四已知兀X)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些革本函数通过四则运算结合而成的，其怎义域为*產本函数定义域 的处集，即先求出并个说数的定义威，再求交集。例 5.已知甫数/定义威为是1,5,求曲数/()=r(x + i) + /(x-l)的定义域例 6.函数 f(x)的定义域为 Lii,bJ,且 b-a0,则 F G) = fW-f(-A)的定义域是总结解题模板1已知丁(Q 的怎义域，求复合函数门曲)1 的左义域方法为：若的定义域为求 Hl fl(x)l 中 av/Qv 力的解

11、 x 的范憎， 即为几?】的定义域。2. 己知复介函数 flg(x)的定义域，求/(x)的定义域方法是：若_/(*)的足义域为则由ax0 时，但域为4口X 33),Vx（2 2）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，例 1 1、y x22x 32例 2 2 、y 2x 8x 5（ 1 1 ）x 1,1（ 2 2 ）x 1,4（ 3 3 ）x 4,8例趴求卜列函数的俏域。 y =+-5,（XI-5,2|） （2）y =-logTlog5+2-（Ae（,2J）（3 3 ）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。它址反解法的一种特殊情孰 把甬数转化威关于 X 的二枕方程 F（y）

12、=O：通过方程竹变数 HJ 刈别犬从|仙求得陳曲技的他域，形如 r =叫宀严*“苇+ c,t码叭不同时为零）的说散的值域常出此方法求斛中伤有分式和 根式 J22x 2x 3x 1例 3 3、y2例 4 4、y二一x x 1x x 1（3 3 ）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，筵用代数代换.将所给西数化成值城较容易的的西 St 以而求得施函数的值 町 闿如=Y =曲* h 土 Jz * d W.hd为常数” I In 的幣数帘用此：丄求耕*叶屮解析兀中作有根式或者旳数解折式较 2 衆的这类国数.叫以勺退通过处 矗的方法将臣曲数化为简中的熬悉的埜木函数*旳鶴式里是一次式时用代数挽 7L. ”

13、|根式毘是二次真时.用二箱代换.竝纫；尸曲寸-如 时于点 在阅或柿同卜.求/M的值域.可用比琴数方起辿行换尤.例10、设函数y 的定义域为M，值域为N，那么()11x(A) M xx 0, N y y 0 (B) M x x 0, N y y R(C) M x x 0且x1,或x 0，N y y0或0 y1或y 1(D) M x x 1或1 x 0或x0，Ny y0例 5 5、y x、12 x例 6 6、f (x)2 x 3v4 x 13(4 4)分段函数分别求函数值域，例 7 7、y |x 3|x 5例 8 8、函数f (x)22x x (0 x 3) ”企7的值域是(2x 6x( 2x0)A A.RB B.9,C C.8,1D D.9,1(5 5)分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。对十分子、分却处齐次闻数的冇理国数.妙如：y 二竺巴cx-u此类问题一龍也町以利用反因数法和利別例 9 9、y1 x2x21(1)7、三角函数法;在一些含肓二角函数的函数中*可以利用工：函数的冇界性來求函数的值域.例 7、求下列函数的值域8.数形结合法函数图象是掌握诵数性质的熏要手段，利用数形结合的方法，根据函数的图 爍求得函数的值域，是一种求值域的車业腔想方法。当曲数的斛析式具肓束种明 显的几何童义(如两点间菲离，賣线的斜率