2018无锡市一模数学试题含答案[001]

1、第 1 页江苏省无锡市 2018 届高三年级第一次模拟考试数数学学试题试题(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、一、 填空题：本大题共填空题：本大题共 1414 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共计，共计 7070 分分1. 已知集合 A1，3，B1，2，m，若 ABB，则实数 m_2. 若复数a3i12i(aR，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a_3. 某高中共有学生 2 800 人，其中高一年级有 960 人，高三年级有 900 人，现采用分层抽样的方法，抽取 140 人进行体育达标检测，则抽取高二年级的学生人数为_4. 已知 a，b1，2，3，4，5，6，直线 l1：2x

2、y10，l2：axby30，则直线 l1l2的概率为_5. 根据如图所示的伪代码，当输入 a 的值为 3 时，最后输出的 S 的值为_6. 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_7. 已知变量 x，y 满足x2，xy4，2xyc，目标函数 z3xy 的最小值为 5，则 c 的值为_8. 若函数 ycos(2x)(00，b0)及椭圆x216y2121 的焦点重合，离心率互为倒数，设 F1，F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF21PF2的最小值为_12. 在平行四边形 ABCD 中

3、，AB4，AD2，A3，M 为 DC 的中点，N 为平面 ABCD 内一点，若|ABNB|AMAN|，则AMAN_13. 已知函数 f(x)x22x1x2，x12，log121x2，x12，g(x)x22x2.若存在 aR，使得f(a)g(b)0，则实数b的取值范围是_14. 若 函 数 f(x) (x 1)2|x a| 在 区 间 1 ，2 上 单 调递 增 ， 则 实 数 a 的 取 值范 围 是第 2 页_二、二、 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题小题，共计共计 9090 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满

4、分 14 分)如图，已知四边形 ABCD 是菱形，DE平面 ABCD，AFDE，DE2AF.(1) 求证：AC平面 BDE；(2) 求证：AC平面 BEF.16. (本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cosA34，C2A.(1) 求cosB 的值；(2) 若 ac24，求ABC 的周长第 3 页17. (本小题满分 14 分)如图，点 C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 BD 为海岸线，CAB3，ABBD，BC是以 A 为圆心，1km为半径的圆弧形小路该市拟修建一条从点 C 通往海岸的观光专线 CPPQ，其中 P 为BC上异于点 B，C 的一点，

5、PQ 及 AB 平行，设PAB.(1) 证明：观光专线 CPPQ 的总长度随的增大而减小；(2) 已知新建道路 PQ 的单位成本是翻新道路CP的单位成本的 2 倍当取何值时，观光专线 CPPQ 的修建总成本最低？请说明理由第 4 页18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 E：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为22，F1，F2分别为左、右焦点，A，B 分别为左、右顶点，原点 O 到直线 BD 的距离为63.设点 P 在第一象限，且 PBx 轴，连结 PA 交椭圆于点 C.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 若三角形 ABC 的面积等于四边形 OBPC 的面积，求直线 PA 的方程；(3

6、) 求过点 B，C，P 的圆的方程(结果用 t 表示)第 5 页19. (本小题满分 16 分)已知数列an满足11a111a211an1an，nN*，Sn是数列an的前n项和(1) 求数列an的通项公式；(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；(3) 是否存在kN*，使得akak116为数列an中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由第 6 页20. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)ex(3x2)，g(x)a(x2)，其中 a，xR.(1) 求过点(2，0)且和函数yf(x)的图象相切的直线方程；(2) 若对任意x

7、R，有f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)g(x0)，求实数a的取值范围20182018 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试( (八八) )数学附加题数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B. 选修 42：矩阵及变换(本小题满分 10 分)已知矩阵 A34ab，若矩阵 A 属于特征值1的一个特征向量为 a112 ，属于特征值2的一个特征向量为 a223 ，求矩阵 A.C. 选修 44：坐标系及参数方程(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方

8、程是x12t，y32tm(t是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是4sin，且直线l及圆C相交，求实数m的取值范围第 7 页22. (本小题满分 10 分)某公司有 A，B，C，D 四辆汽车，其中 A 车的车牌尾号为 0，B，C 两辆车的车牌尾号为 6，D 车的车牌尾号为 5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车已知 A，D 两辆汽车每天出车的概率为34，B，C 两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0 和 5星期一1 和 6星期二2 和 7星期三3 和 8星期四4 和 9星

9、期五(1) 求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2) 设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望23. (本小题满分 10 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABP 是等边三角形，底面 ABCD 是直角梯形，DAB90，ADBC，E 是线段 AB 的中点，PE底面 ABCD，已知 DAAB2BC2.(1) 求二面角 PCDA 的正弦值；(2) 试在平面 PCD 上找一点 M，使得 EM平面 PCD.20182018 届无锡高三年级第一次模拟考试届无锡高三年级第一次模拟考试数学参考答案数学参考答案1. 32. 63. 474.1125. 216. 507.

10、58.69. 1 02410. 1911. 812. 613. (2，0)14. (，172，15. 解析：(1) 因为 DE平面 ABCD，所以 DEAC. (2 分)因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD.(4 分)因为 DEBDD，(5 分)所以 AC平面 BDE.(6 分)(2) 设 ACBDO，取 BE 的中点 G，连结 FG，OG，所以 OG12DE 且 OG12DE.(8 分)因为 AFDE，DE2AF，所以 AFOG 且 AFOG，从而四边形 AFGO 是平行四边形，FGAO. (10 分)因为 FG平面 BEF，AO 平面 BEF，所以 AO平面 BEF，即 AC平面

11、BEF. (14 分)第 8 页16. 解析：(1) 因为cosA34，所以cosCcos2A2cos2A12342118. (3 分)在ABC 中，因为cosA34，所以sinA74.(4 分)因为cosC18，所以sinC11823 78，(5 分)所以cosBcos(AB)sinAsinBcosAcosB916. (7 分)(2) 根据正弦定理asinAcsinC，所以ac23.又 ac24，所以 a4，c6.(10 分)b2a2c22accosB25，b5.所以ABC 的周长为 15. (14 分)17. 解析：(1) 由题意，CAP3，所以CP3，又 PQABAPcos1cos，所以

12、观光专线的总长度f()31coscos31，03.(3 分)因为当 03时，f()1sin0)，则总成本 g()a322cosa2cos32，03，(8 分)g()a(12sin)(9 分)令 g()0，得sin12.因为 03，所以6.(10 分)当 06时，g()0，当60，(12 分)第 9 页所以当6时，g()最小(13 分)故当6时，观光专线 CPPQ 的修建总成本最低. (14 分)18. 解析：(1) 因为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，所以 a22c2，bc，(1 分)所以直线 DB 的方程为 y22xb，又 O 到直线 BD 的距离为63，所以b1126

13、3，所以 b1，a 2，(3 分)所以椭圆 E 的方程为x22y21.(4 分)(2) 设 P( 2，t)，t0，直线 PA 的方程为 yt2 2(x 2)，(5 分)由x22y21，yt2 2（x 2） ，整理得(4t2)x22 2t2x2t280，解得 xC4 2 2t24t2，则点 C 的坐标是4 2 2t24t2，4t4t2，(7 分)因为三角形 ABC 的面积等于四边形 OBPC 的面积，所以三角形 AOC 的面积等于三角形 BPC 的面积，SAOC12 24t4t22 2t4t2，SPBC12t24 2 2t24t22t34t2，则2t34t22 2t4t2，解得 t 2.(9 分

14、)所以直线 PA 的方程为 x2y 20. (10 分)(3) 因为 B( 2，0)，P( 2，t)，C(4 2 2t24t2，4t4t2)，所以 BP 的垂直平分线为 yt2，BC 的垂直平分线为 y2t2x2tt24，第 10 页所以过 B，C，P 三点的圆的圆心为(t282（t24），t2)，(12 分)则过 B，C，P 三点的圆方程为xt282（t24）2yt22t42（t24）2t24，(14 分)即所求圆方程为 x22t28 2t24xy2ty8t240.(16 分)19. 解析：(1) 因为11a111a211an1an，nN*，所以当n1 时，11a11a1，a12，(1 分)

15、当n2 时，由11a111a211an1an和11a111a211an11an1，两式相除可得 11anan1an，即anan11(n2)，所以数列an是首项为 2，公差为 1 的等差数列.于是，ann1. (4 分)(2) 因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，所以apSq60，apSq182，于是ap6，Sq54或ap54，Sq6.(7 分)当ap6，Sq54时，p16，（q3）q254，解得p5，q9，当ap54，Sq6时，p154，（q3）q26，无正整数解，所以p5，q9.(10 分)(3) 假设存在满足条件的正整数k，使得akak116am(mN*)，则 （k

16、1） （k2）16m1，平方并化简得(2m2)2(2k3)263，(11 分)则(2m2k5)(2m2k1)63，(12 分)所以2m2k563，2m2k11或2m2k521，2m2k13或2m2k59，2m2k17，(4 分)解得m15，k14 或m5，k3 或m3，k1(舍去)，综上所述，k3 或 14. (16 分)20. 解析：(1) 设切点为(x0，y0)，f(x)ex(3x1)，则切线斜率为ex0(3x01)，第 11 页所以切线方程为 yy0ex0(3x01)(xx0)，因为切线过(2，0)，所以ex0(3x02)ex0(3x01)(2x0)，化闻得 3x208x00，解得 x0

17、0 或 x083. (3 分)当 x00 时，切线方程为 yx2，(4 分)当 x083时，切线方程为 y9e83x18e83.(5 分)(2) 由题意，对任意 xR 有 ex(3x2)a(x2)恒成立，当x(，2)时，aex（3x2）x2aex（3x2）x2max，令F(x)ex（3x2）x2，则F(x)ex（3x28x）（x2）2，令F(x)0 得x0，x(，0)0(0，2)F(x)0F(x)单调递增极大值单调递减F(x)maxF(0)1，故此时a1.(7 分)当x2 时，恒成立，故此时aR.(8 分)当x(2，)时，aex（3x2）x2aex（3x2）x2min，令F(x)0 x83，x

18、2，838383，F(x)0F(x)单调递减极小值单调递增F(x)minF83 9e83，故此时a9e83.综上 1a9e83.(10 分)(3) 因为f(x)g(x)，即 ex(3x2)a(x2)，由(2)知a(，1)9e83，令F(x)ex（3x2）x2，则x(，0)0(0，2)(2，83)83(83，)F(x)00F(x)单调极大单调单调极大单调第 12 页递增值递减递减值递增(12 分)当x(，2)，存在唯一的整数x0使得f(x0)g(x0)，等价于aex（3x2）x2存在唯一的整数x0成立，因为F(0)1 最大，F(1)53e，F(1)1e，所以当a53e时，至少有两个整数成立，所以

19、a53e，1. (14 分)当x(2，)，存在唯一的整数x0使得f(x0)ex（3x2）x2存在唯一的整数x0成立，因为F83 9e83；最小，且F(3)7e3，F(4)5e4，所以当a5e4时，至少有两个整数成立，所以当a7e3时，没有整数成立，所有a(7e3，5e4.综上：a53e，1(7e3，5e4. (16 分)21. 解析：由矩阵 A 属于特征值1的一个特征向量为 a112 可得，34ab12 112 ，即381，a2b21，(2 分)得a2b10，由矩阵 A 属于特征值2的一个特征向量为 a223 ，可得34ab23 223 ，即61222，2a3b32，(6 分)得 2a3b9，

20、解得a12，b11，即 A341211 ，(10 分)22. 解析：由4sin，得24sin，所以 x2y24x，即圆 C 的方程为 x2(y2)24，(3 分)又由x12t，y32tm，消去 t，得3xym0，(6 分)由直线 l 及圆 C 相交，所以|m2|22，即2m6.(10 分)23. 解析：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件 A，则 A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车第 13 页P(A)142122C123414122C121212142964. P(A)1P(A)5564.(3 分)答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为5564.(2) 由题意，的可能值为 0，1，2，3，4，P(0)122142164；P(1)C121212142