求斜三角形的边长问题教学案例

1、求斜三角形的边长问题教学案例(建议2课时)林志红一、学习目标(1)知识与技能：能根据问题的需要合理作出垂线段 ，构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题。(2)过程与方法：通过探究活动，掌握一般探究活动的基本步骤；通过小组同学评论、动手操作等方法，掌握提高学生发现问题、解决问题的能力。培养学生转化和分类讨论的数学 思想。(3 )情感态度与价值观：经历观察、计算、分析、归纳等过程，体验解决实际问题的基本方法，获得成功和克服困难的体验；通过一题多变，激发学生学习数学的兴趣；通过小组之 间的分工与合作，培养现代社会学习和生活中应具有的交流合作意识。二、重难点分析重点：能根据问题的

2、需要合理作出垂线段，构造两个特殊直角三角形，将斜三角形的问题转化为特殊的直角三角形。难点：(1)在“变式”图形中如何添加辅助线 ，构造特殊的直角三角形;(2)在已知什么条件时应考虑分类讨论。三、活动流程图求斜三角形的边长探寻规律研究斜三角形可解的条件归纳基本图形四、活动记录:（一）复习提问：师：直角三角形 ABC中，/ C=90，请同学们总结我们学习 过的有关直角三角形的所有知识：1.在直角三角形中。30°角所对的直角边等于斜边的一半；2 .直角三角形的斜边中线等于斜边一半；3 .直角三角形中的边角关系：（1）边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那么:的对边sin的邻边；ta

3、n斜边的对边的邻边；cot的邻边的对边（2）三边之间关系a2 +b2 =c2 （勾股定理）(3)锐角之间关系/ A+ / B=90° .（二）探究过程:一. 已知三角形的两角一边，求此三角形其他边长活动1:计算顶角为120°的等腰三角形一边的长、情景弓I入师：你能有几种方法?二、小组活动（一）活动目的：（1）已知如图 ABC中,通过小组活动，总结求 BC长的各种方法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。（二）组员分工:组长（统筹整个小组交流），4人合作进行，1人进行记录并做好交流发言准备，1人进行交流发言。（三）方法总结:解：过点B作BD丄AC于D,

4、在 Rt ABD中，/ A=30° BD= 1ab 5 后/ ACB=120 / BCD=60在 Rt BCD中, BC=BDsin BCD方法二:1 AD=-AB 5732BD=ABcos / B=15/ ACB=120 / ACD=60在 Rt ACD中,CD= ADtan ACD BC=BD-CD=15-5=10方法三：（在方法二的基础上加以改进，利用等腰三角形的条件）解：过点A作ADX BC于D,在 Rt ABD中，/ BAC=30/ ACB=120/ B=30°/ BAC= B AC=BCF面的方法就与方法一完全相同了!师：将方法一的图形进行图形的变换（如旋转、翻

5、折）能否得到方法二的图形?方法四:解：过点C作CDL AB于D,在 Rt ABD中，/ BAC=30/ ACB=120/ B=30°/ BAC= B AC=BC bd=2ab 5 頁 BC= BD 弘'®10cos B730（此时， BCD是等腰三角形）（此时， BCD是等边三角形）活动2 :计算可转化为特殊直角三角形的斜三角形一边的长、情景弓I入(1)已知如图 ABC中，/ A=30° AB=1OJ3,若/ B=15师：根据我们总结的添加辅助线的基本原则,比较活动1的三种方法，哪种方法可行?二、小组活动（一）活动目的：通过小组活动，总结求 BC长的各种方

6、法。在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。（二）组员分工:组长（统筹整个小组交流）,4人合作进行，1人进行记录并做好交流发言准备，1人进行交流发言。（三）比较方法:方法一:方法一可行，因为此图已转化为两个特殊三角形（一个30°, 个45°）,而且已知30o的直角三角形中一边的长方法二:方法二的困难是:在 ABD中，/ B=15° ,而15°的三角函数值我们还需要求出，给我们增添了困难。方法三:B方法三的问题是：由于辅助线的添加将已知的长度“破坏” 了，不能直接利用已知长度求一条边,AB解决的办法是：设 CD=x再将AD与BD都用CD

7、表示，利用方程思想： AD+BD=AB解决问题。但也会遇到与方法二同样的问题： 在 CBD中, / B=15° ,因此此方法不可取!其他方法可行吗？想一想？（渗透方程思想） 活动3 总结：添加适当的辅助线，将斜三角形转化为特殊的直角三角形师：将下列三角形添加适当的辅助线，将其转化成特殊的直角三角形师生共同总结: 两种基本图形：（一幅三角板，有一条边相等二. 已知三角形的两边一角，求此三角形其他边长问题 1:已知 ABC中，/ A=30°, AB=10j3,若 AC=10,求 BC的长.师：上述三种方法依然可行吗?通过小组活动，在独立思考的基础上，小组交流讨论得出结论，培养团

8、结协作精神。解：过点B作BD丄AC于D,在 Rt ABD中,/A=30° BD= 1 AB2573 ADjCOS A CD=AD-AC=5在 Rt BCD中, bc=cD+bD/ BDC=90 BC=10方法二与方法三:由于/ A=30°的条件无法应用,所以此种辅助线无法解题:方法四:分析：过点 C作CDI AB于D,在 Rt ABD中，/ A=30°ACcos A 10 T 朋由此发现ADAB2从而可知 ABC为等腰三角形，此问题可解!师：通过上述两个问题的讨论,请同学们总结，在三角形角与边的条件时，添加辅助线应遵 循什么原则?学生讨论总结:（1）在构造的特殊直角三角形中，应已知一边的长度;（2）充分挖掘已知条件。（如本题实际是一个等腰三角形，但已知条件中并没有告诉我们,需要我们去发现。）2的不同.问题 2:已知 ABC中，/ A=30°, AB=1OJ3,若 BC=10，求 AC的长.师：要求各小组利用作图工具，画出图形，并体会此问题与问题通过小组活动，小组交流讨论得出结论，培养团结协作精神。问题解决:此题有两解：AC=10或20三. 研究三角形可解的