深圳人口与医疗需求预测

1、A题：深圳人口与医疗需求预测摘要深圳市我国经济发展的最快城市之一，也是人口结构最为复杂的城市之一。人口总量依赖于深圳市GDP的增长，人口结构主要为户籍人口与非户籍人口。本文用对深圳市现有数据及深圳市GDP统计年鉴建立模型我们首先利用SAS软件对深圳市总人口未来十年的数量进行预测，得到ARIMA(1，1，0)模型，通过所得到公式对未来十年的总人口数进行求解得出未来十年人口数量，得出结论：在2020年人口数量将达到1342万人，但是根据实际社会情况来讲，这个模型存在很大的不足，只能说是略微估测出人口数量，精确度不足，所以我们将其分为户籍人口与非户籍人口考虑。然后利用SPSS软件对户籍人口进行拟合，

2、发现户籍人口数拟合曲线与三次曲线接近，方差分析中F统计量的检验P值非常显著地小于0.05，说明三次曲线模型是显著成立的。同时模型中三个参数的t检验P值都很小，说明这三个参数是显著非零的。人口拟合出来的三次曲线是有效的。得出结论：在2020年户籍人口数2达到546万人。对于非户籍人口我们依旧利用SAS模型进行建模，得出ARMA（1,1,0）模型，最终预测结果为1034万人，但是这个数据的真实有效性，仍旧存在异议。因为深圳市经济的影响导致未来非户籍人口的增加，所以单凭非户籍人口的ARMA模型仍旧不好。所以我们进行进一步的修改。因为深圳市经济的发展影响着外来人口的变化，所以首先我们在网上查询深圳市年

3、鉴得到深圳市在1979-2010年GDP的统计数据，利用SAS模型建立散点图，发现它有个指数上升的趋势，为使得变成平稳模型，我们进行一阶、二阶差分，发现二阶的平稳性较好，建立ARMA（1，（2）模型，得出未来十年的GDP增长数据。对非户籍人口进行取对数，发现非户籍人口数与GDP的吻合性为0.94727，所以他们存在动态变化的过程，所以建立非户籍人口的ARIMAX模型，得出结论为2020年非户籍人口达到1199.77万人，所以这使得非户籍人口数更具有说服力。我们可以得出未来十年的深圳总人口数量(如表1所示)：表1 未来10年深圳人口数预测（万人）年份2011 2012 2013 2014 201

4、5 人数1123.33 1169.9 1248.52 1319.93 1398.42年份2016 2017 2018 2019 2020人数1471.95 1542.85 1607.08 1664.18 1746.04全市医疗床位数应该与人口数量相匹配，通过预测未来10年人口数量的基础上就可以预测出未来床位需求量。2020年床位数的预测值为31974个。关键词：深圳市人口预测 ARIMA模型 SPSS SAS 一、 问题重述深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人

5、口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了

6、解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1、分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势；2、以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。二、问题分析2.1对问题一的分析：深圳的人口主要有户籍人口与非户籍人口，深圳是中国改革开放建立的第一个经济特区，是中国改革开放的窗口，随着深圳经济高速的发展，大量的劳动人口涌入深圳，非户籍人口远远超过户籍人口，使得城市的人口增长远大于自然的增长。因此，对深圳的人口预测

7、时，仅仅预测人口自然变动状况，已无法准确的描述人口发展的特征。这两类人群的人口增长模式有很大差异，户籍人口应该遵循一般的规律自然增长，而非户籍人口与深圳的经济政策有密切相关，情况比较复杂是个比较难以预测的人群。要预测未来十年深圳市人口数量需将其分为户籍人口与非户籍人口两种类型分别建模分析，预测出两种模型下的人数，并求和即可得出预测总人数。2.2对于问题二的分析：通过分析、查阅资料可知，病床数除了受总人口数的影响外，经济状况也对病床数产生较大影响。然而在问题一中我们对非户籍人口预测时已经考虑到经济因素的影响，且户籍人口的发展几乎不受经济因素的影响。所以在问题二中不妨用问题一中已预测的户籍人口数与

8、非户籍人口数相加得到的总人口数来预测病床数。经过对以往总人口数与病床数的分析，发现它们具有同变性。所以我们对问题二建立了动态回归模型，来预测病床数。三、 模型假设1、 假设题目给出的所有数据都是真实可靠的。2、 假设在数学建模的过程中所有的数据都没有任何的人为缺失和造假。3、 假设深圳市人口是指常住人口，即户籍人口和非户籍人口的总和。4、 假设户籍人口指持有深圳市户籍的人口，非户籍人口指没有持深圳市户籍的人口，包括外地流入居住时间超过6个月的流动人口和原居地未持有户籍证的人口。四、 符号与说明P自回归阶数为AR序列参数q为滑动平均阶数为MA序列参数d为时间序列成为平稳之前所做的差分次数为白噪声

9、，表示独立扰动或称为随机误差；是均值项是延迟算子五、 模型的建立与改进 ARIMA模型简介ARIMA模型的全称为自回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出一著名时间序列预测方法1 ，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归， p为自回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为

10、平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。事实上，自回归(AR)模型和滑动平均(MA)模型实际上是自回归求和滑动平均(ARIMA)模型的特例，因而我们把三种模型都归结为ARIMA(P，d，q)模型来介绍。其模型结构如下式（5.1.1）： (5.1.1)其基本原理如下：若是非平稳序列。若存在正整数d，使得 而是ARMA（p,q）序列，则称是ARIMA（p,d,q）序列。这时，满足。=若为平稳序列，

11、但均值，则为平稳零均值序列，满足此时，称为一般ARIMA序列，若未知，可用的平均值估计。其中，p为自回归阶数，为其参数；q为滑动平均阶数，为其参数；d为时间序列成为平稳之前所做的差分次数；为白噪声，表示独立扰动或称为随机误差；是均值项；是延迟算子，即。问题一模型的建立与求解一、深圳市总人口数量模型的建立与求解5.1.1 模型的建立首先我们运用差分运算的方法对原始数据进行预处理，将原始数据转换成较为平缓趋势的平缓序列。由一阶差分序列时序图可知，一阶差分的效果很好。所以，我们采用一阶差分。然后再对这个平稳序列进行白噪声检验,运用SAS软件编程（详情见附件1）我们得出的结果（如图5.1.1）所示：图

12、5.1.1人口总数的白噪声检验从图中数据可以观察到，白噪声检验的p值小于0.05，即检验拒绝,为非白噪声序列。所以，我们需要对数据进行ARMA 拟合。由图型我们可知数据自相关性是拖尾的，偏自相关系数是一阶截尾的，即p=1,d=1,q=0， ARIMA模型为ARIMA（1,1，0）。最终得出的拟合结果（如图5.1.2）。图5.1.2 一阶差分后的p值检验从图中数据我们可以看出参数显著性检验的p值小于0.05，即拒绝，说明参数是显著非零参数。残差白噪声检验的p值全部大于0.05，即接受。说明这个ARIMA模型进行白噪声检验的结果是序列为白噪声平稳序列，同时也说明了这个数学模型是有效的。5.1.2

13、模型的求解根据上述模型的建立，我们可以得到模型的结果公式为（5.1.2）： （5.1.2）然后，我们用这个模型对未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势用SAS软件编程进行预测(程序见附录1)，预测图为（图5.1.3）。图5.1.3 预测图预测的数据结果（如表5.1.1）：表5.1.1 未来十年总人口数预测表题设中假定深圳市人口是指常住人口，即户籍人口和非户籍人口的总和。但是，这样假设会与实际问题有些差距。所以，我们对模型进行了改进，分别对户籍人口和非户籍人口进行预测。二、 深圳市户籍人口模型的建立与求解5.2.1 模型的求解我们从数据中获知1979-2010年深圳市户籍人口数量，利用SAS画出

14、它的散点图（如图5.2.1所示）图5.2.1 1979-2010年户籍人口数据散点图我们从中发现深圳户籍人口从1979年到2002年左右人口保持稳定增长，其人口增长率基本保持不变，呈现线性增长的趋势，但是在2002年之后因为深圳市经济的不断发展，吸引了越来越多的未来人口，同时也有更多的人通过正当途径加入深圳市户籍，所以在2002年之后，呈现一个向上凸的趋势。但是从整体来看，它仍然是一条较为规矩的递增曲线。所以，我们可以利用SPSS软件用线性、二次、三次、S型以及Logistic曲线对户籍人口数量进行曲线拟合。各自曲线的模型汇总以及参数估计值（如图5.2.2所示）：图5.2.2 各自曲线的模型汇

15、总以及参数估计值从图5.2.2我们可以发现三次曲线的拟合效果更加好，它的R方检验值可以达到0.998，所以，对于户籍人口模型的建立，我们可以利用SPSS进行三次曲线拟合。5.2.2模型求解及检验利用SPSS软件将数据进行三次曲线拟合，得出三次曲线曲线的方差分析以及参数估计值和检验如图5.3.3所示：图5.2.3 三次曲线的方差分析以及参数估计及检验得到三次曲线的公式： （5.2.1）方差分析中F统计量的检验P值非常显著地小于0.05，说明三次曲线模型是显著成立的。同时模型中三个参数的t检验P值都很小，说明这三个参数是显著非零的。人口拟合出来的三次曲线是有效的。由上述三次曲线模型对未来10年深圳

16、户籍人口进行预测，在2015年户籍人口数将达到370万人，2020年达到546万人（如表5.2.2）。 表5.2.2 未来10年深圳户籍人口预测（万人）年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020人数 281.84 301.95 323.35 346.07 370.16 395.68 422.66 451.19 481.24 546.27三、 深圳市非户籍人口的模型建立与求解：首先我们运用差分运算的方法（详情见附件二）对非户籍人口数据进行一阶差分运算，由SAS软件得出的一阶差分序列时序图可知，一阶差分的效果很好。所以，我们采用一阶差分

17、运算。得到一个数据序列之后，对这个平稳序列进行白噪声检验,运用SAS软件我们可以得出的结果（如图5.3.1）。图5.3.1 白噪声检验1由图中的数据可知白噪声检验的P值是小于0.05的，所以拒绝，即数据序列是非白噪声序列，再进行ARMA拟合（如图5.3.2）。图5.3.2 参数检验由图型我们可知数据自相关性是拖尾的，偏自相关系数是一阶截尾的，即为ARIMA（1，1,0）模型。最终得出的拟合结果（如图5.3.3）。图5.3.3 拟合结果从图中数据我们可以看出所有参数显著性检验的p值小于0.05，即拒绝，说明所有参数是显著非零参数。残差白噪声检验的p值全部大于0.05，即接受。说明这个ARIMA模

18、型进行白噪声检验的结果是序列为白噪声平稳序列，同时也说明了这个数学模型是有效的。模型的结果公式为（5.3.1）： （5.3.1）利用这个数学模型对未来十年户籍人口数进行预测，户籍人口预测的程序（见附录3），预测图为（图5.3.4）。图5.3.4 户籍人口预测图得出的预测表为（图5.3.5）：图5.3.5 非户籍人口预测表对于非户籍人口模型的建立是在不受外在因素影响的基础之上，但是在现实生活中非户籍人口流动性较大，因为外来人口数量与深圳经济政策有着密切的相关性，经济政策的变化直接影响人口流动的方向和规模，而这部分人群渐渐形成深圳人口的主要部分，要预测流动人口的规模是很棘手复杂的事情，所以仅靠SA

19、S软件对非户籍人口预测远远不够，在这里我们考虑了深圳市GDP与外来人口数量的关系，对非户籍人口数量模型预测进行改进。非户籍人口数量预测模型的改进： 四、深圳市GDP模型的建立与求解5.4 .1模型的建立我们先根据深圳市统计局提供的深圳市统计年鉴20102画出GDP时序图（如图5.4.1）。显示出它具有指数上升的趋势，为了使它变成一个平稳的时序列，先取对数再一阶差分、二阶差分（如图5.4.2，图5.4.3）：图5.4.1 GDP时序图图5.4.2 对数GDP一阶差分时序图图5.4.3 对数GDP二阶时序图对数GDP序列一阶差分之后还不平稳，但二阶差分序列可以看成平稳序列。所以，我们先对二阶差分序

20、列建立疏系数ARMA(1,(2)模型（详情见附件3），然后再对数据模型进行白噪声检验，得出的数据结果（如图5.4.4）。图5.4.4白噪声检验5.4.2 模型的求解根据上述分析判断模型是有效的，得出的数学模型为系数ARMA(1,(2)模型： （5.4.1）由模型通过编程得到深圳未来10年（2011-2020）的预测值（如图5.4.5），5.4.5 GDP未来十年数未来十年预测值将序列求指数函数，还原得到原序列值，我们发现拟合值和实际值吻合得很好，最后两期的偏差稍微大一些。图5.4.6 系数ARMA(1,(2)模型预测效果图五、非户籍人口的模型改进与求解5.5.1 改进模型的建立对非户籍人口序列

21、取对数，再来考察和GDP对数序列之间的相互关系（详情见附件4）。我们先对同期性进行检验（如图5.5.1） 图5.5.1 吻合度检验我们发现它们同期的相关系数达到0.94727，具有很强的线性相关性，为此建立关于的线性回归方程 ， （5.5.1）但是此时的白噪声序列依旧不是白噪声序列。所以我们要对进行进一步的建模，首先我们要对进行自相关系数检验与偏自相关系数检验，发现它的自相关系数检验为拖尾。偏自相关系数为一阶结尾，我们进行AR（1）、AR（2）与AR(3)建模发现AR(2)的AIC、SBC最小，所以建立AR（2）模型 （5.5.2）将上述的回归模型和AR模型的所有参数联合求解，以提高模型的拟合

22、精度，采用极大似然估计法得到最终的深圳非户籍人口模型为：， （5.5.3）模型的AIC=23.5，SBC=29.36,明显的降低，模型的主要输出结果（如图5.5.2 图5.5.3）图5.5.2 参数显著性检验图5.5.3 白噪声检验模型的参数是显著非零的，残差白噪声检验显示残差是白噪声序列，所以模型是有效的，其拟合值和实际值吻合得很好，除了最初的前2期之外。利用前面模型（5.4.1）得到的2011-2020年的预测值，根据模型（5.5.3）对未来10年进行预测，预测值（如图5.5.4）图5.5.4 非户籍人口未来十年的预测值将序列求指数函数，还原得到原序列值，我们发现模型的拟合值和实际值前期吻

23、合很好，后期拟合值比实际值稍微偏高一点（如图5.5.5 ）。 图5.5.5 非户籍人口模型的预测效果图由模型得到深圳非户籍人口数在2011-2020年的预测值。预计在2015年非户籍人口数达到1028万人，2020年将达到1199万人。表5.5.1 未来10年深圳非户籍人口数预测（万人）年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020人数 841.49 867.95 925.17 973.86 1028.26 1076.27 1120.19 1155.89 1182.94 1199.77在SAS中得到的最终结果为（如图5.5.6）：图5.

24、5.6 SAS的最终结果问题二模型的建立与求解市医疗床位需求量模型的建立与求解随着人口的增加、经济快速的增长和人们生活水平的提高，群众对各种医疗服务的需求量也相应上升，医疗床位数是群众很关注的就医条件之一，它应该与人口数量和经济指标密切相关。从深圳市统计年鉴中搜集1979-2010年医院床位3数（个）、年末常住人口数（万人）（其中）和GDP序列，画出散点图进行比较分析（如图5.6.1、图5.6.2）。图5.6.1 1979-2010年医院床位数图5.6.2 1979-2010年年末常住人口数对于这三个图形的变化趋势几乎是一致的，都呈现抛物线的增长态势，可以考虑用2或3次函数拟合医院床位数，也可

25、以用年末常住人口数和对床位数进行回归，但考虑到和具有强的相关性，不妨建立关于的动态回归模型。二次曲线模型： （5.6.1）由此模型可以预测到2020年床位数可增长到35885个。动态回归模型（程序详情见附件5）： （5.6.2）由前面得到的2011-2020年年末常住人口数的预测值，依据上述模型可以得到2020年床位数的预测值为31974个，预测结果图（如图5.6.3），程序见（附录3）。图5.6.3 床位需求量动态回归模型的预测效果图六、 模型的评价与推广随着深圳近几十年经济的飞速发展，越来越多的流动人口涌入深圳，对深圳的经济发展有好处。在经济发展的同时，深圳也要面临着如何解决医疗设备的配置

26、等民生问题。我们这篇论文则是很好的解决了这个问题。首先，我们论文的数据是绝对地真实的；同时，我们的数据在数学建模的过程中没有出现任何的人为的不正确的舍弃数据。不仅如此，我们还对数据优化，将数据的特点充分的表现出来。其次是，我们对题目的理解非常得到位，在充分理解题目中所说的问题之后才开始进行建模，对数学模型的建立也是经过多方面考虑才确定的，正确率高，更符合实际问题。再者是我们对模型的补充，因为考虑到对深圳市户籍人口，非户籍人口的影响因素很多，其中经济就是一个很大的因素。所以，我们再原来的数学模型基础上又对数据进行了处理。提出了好几种模型建立的方法，一一对数据进行验证。当然，数据的处理也不是那么容

27、易，相反，这种大数据的题目处理起来很棘手。尤其是在数据给的并不是那么齐全的情况下，我们既要自己把缺失的部分，以最少的损失找回，同时还要对数据进行处理。使得编程和预测都比较艰难，还要考虑一些外在的影响因素。所以，这次的模型建立可以说是非常的不容易的，但是，这些问题我们都一一解决了。所以说我们这次模型的建立，可以说是非常得成功的。在没有特别大的社会变动的情况下，我们的模型是完全可用的。七、 参考文献1司守奎，孙姚亮。数学建模算法与应用M,北京：国防工业出版社，2016年。2深圳市统计局.深圳市统计年鉴2010M,北京：中国统计出版社，2010.3深圳市卫生和人口计划生育委员会，2010年全国医疗基

28、本情况，EB/OL.八、 附录附件1：data a;input year people ;dif=dif(people);keep year people dif;cards;197931.41198032.35198134.99198240.82198352.24198466.83198581.14198690.861987104.501988134.291989172.371990196.771991220.241992249.721993277.951994315.251995340.321996351.801997369.061998387.301999400.052000419.04

29、2001450.852002486.512003530.832004577.482005712.652006849.422007891.742008933.332009954.652010996.11;run;proc gplot;plot people*year=1 dif*year=2;symbol1 v=diamond i=join c=red;symbol2 v=none i=jion c=blue;run;proc arima data=a;identify var=people(1);run;estimate p=1 ;forecast lead=10 id=year out=ou

30、t;run;proc print data=out;run;proc gplot;plot people*year=2 forecast*year=3 (l95 u95)*year=4/overlay;symbol2 c=black i=none v=star;symbol3 c=red i=join v=none;symbol4 c=green i=join v=none l=3 w=1;run;附件2：data a;input year pe;dif=dif(pe);cards;19790.1519801.219813.319829.5198319198430.61198540.29198

31、642.11198749.84198860198976.78199099.131991153.541992187.81993248.281994318.741995349.991996379.511997418.291998465.731999512.712000576.322001592.532002607.172003627.342004635.672005645.822006674.272007699.992008726.212009753.562010786.17;run;proc gplot data=a;plot pe*year=1 dif*year=2 ;symbol1 c=bl

32、ack i=join v=star;symbol2 c=red i=join v=star;run;proc arima;identify var=pe(1);run;estimate p=1 ;run;forecast id=year lead=10 out=out;run;proc gplot data=out;plot pe*year=2 forecast*year=3 l95*year=4 u95*year=4/overlay;symbol2 c=black i=none v=star;symbol3 c=red i=join v=none;symbol4 c=green i=line

33、 v=none l=2;run;附件3：data a;input year GDP;lnx=log(GDP);dif2=dif(dif(lnx);keep year GDP lnx dif dif2;cards;19791.963819802.701219814.957619828.2573198313.1212198423.4161198539.0222198641.6451198755.9015198886.98071989115.65651990171.66651991236.66301992317.3194199345367111995842.48331996

34、1048.442119971297.420819981534.727219991804.017620002187.451520012482.487420022969.518420033585.723520044282.142820054950.907820065813.562420076801.570620087786.792020098201.317620109581.5101;run;proc gplot;plot lnx*year=1 dif2*year=2;symbol1 v=diamond i=none c=red;symbol2 v=star i=jion c=green;run;

35、proc arima data=a;identify var=lnx(1,1);estimate p=1 q=(2) ;forecast lead=10 id=year out=result;run;data result;set result;x1=exp(lnx);x2=exp(forecast);run;proc gplot data=result;plot x1*year=1 x2*year=2/overlay;symbol2 c=black i=join v=star;symbol3 c=red i=join v=diamond;run;附件4：data a;input year l

36、nx lnG;keep year lnx lnG;cards;1979-1.897120.6748811980.182322.99369619811.1939221.60092219822.2512922.11109819832.9444392.57422919843.42132736961033.66413119863.7402853.72918419873.9088184.02359119884.0943454.46568619894.3409444.75062519904.59643250339615.46663719925.23537

37、85.75990919935.5145576.11621119945.7643766.45310719955.8579056.73635419965.9388816.95506119976.0361757.16813419986.1436067.33610819996.2397107.49777120006.3566637.69049220016.3844027.81701620026.4088097.99615520036.44148984546808.36220920056.4705218.50732620066.5136318.66794920076.5510668.82490920086.5878398.96018420096.6248099.01205020106.6671739.1675902011noint 9.3072482012noint 9.3866422013noint 9.4817392014noint 9.5551232015noint 9.6252212016noint 9.682958