平面的性质与直线的位置关系(教案)

1、平面的性质与直线的位置关系（教案）一. 知识梳理1、平面的基本性质：三个公理及公理三的三个推论和它们的用途2、空间两条直线（1）空间两直线位置关系有平行、相交、异面（2）平行直线公理4：ab,bc=>ac等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等3、异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线，叫异面直线.(2) 异面直线所成的角定义： 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条

2、上异面直线所成的角的范围：4、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作5、求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求6、两条异面直线公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线公垂线7两异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段的长度 二. 基础训练1.在空间中， 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中，逆命题为真命题的

3、是 _(把符合要求的命题序号都填上)2. 如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_30°_3.设a、b是异面直线，则下列四个命题中：过a至少有一个平面平行于b；过a至少有一个平面垂直于b；至少有一条直线与a、b都垂直；至少有一个平面分别与a、b都平行正确的序号是_4.对于四面体ABCD，给出下列四个命题若AB=AC，BD=CD，则BCAD.若AB=CD，AC=BD，则BCAD.若ABAC，BDCD，则BCAD.若ABCD，BD=AC，则BCAD.其中真命题的序号是_.(写出所有真命题的序号)5.空间四点A，B，C，

4、D每两点的距离都为a，动点P，Q分别在线段AB，CD上，则点P与Q的最短距离是_三.典型例题例1.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K .求证：M、N、K三点共线.【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法.备题说明：学会用平面的基本性质证明空间三点共线问题.例2.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且；求证：三条直线EF、GH、AC交于一点. 【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸

5、点共线的常用方法.备题说明：学会用平面的基本性质证明空间三线共点问题.例3.已知：ab=a，bÌb,ab=A,cÌa,ca,求证：b、c为异面直线.【解题回顾】反证法是立体几何解题中，用于确定位置关系的一种较好方法，它的一般步骤是：(1)反设假设结论的反面成立；(2)归谬由反设及原命题的条件，经过严密的推理，导出矛盾；(3)结论否定反设，肯定原命题正确.本命题的反面不只一种情形，应通过推证将其反面一一驳倒.备课说明：回忆反证法，能用反证法证明两条直线异面.例4.已知三直线a、b、c互相平行，且分别与直线l 相交于A、B、C三点，证明这三条直线共面.变题：若有n条直线互相平行

6、，且都与另一直线相交，证明这n+1条直线共面.20090216例5.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，AD上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形?(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形?(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形?【解】(1)当AEAB=AHAD=CFCB=CGCD时，四边形EFGH为平行四边形.(2)当E、H为所在边的中点，且时，四边形EFGH为梯形.(3) 当AEAB=AHAD=CFCB=CGCD，且ACBD时四边形EFGH为正方形.本题图形可作适当的变式，如ABCD为正四面体，E，G分别为AB，CD边的中点

7、，那么异面直线EG与AC所成的角为多少?(1990年全国高考题)【说明】第(1)小题的答案不惟一.第(3)小题的空间图形可作适当的变式，如ABCD为正四面体，E，G分别为AB，CD边的中点，那么异面直线EG与AC所成的角为多少?即可变为1990年全国高考题.四、反馈练习1、三点确定一个平面的条件是_；共点的四条直线是多可以确定_平面； 互不相交的三条直线可以确定_平面.解：不共线；四个；一个或两个或三个.2、判断下列命题真假（1）四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形；（ ）（2）四点不共面，则其中任意三点不共线；（ ）（3）“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；（

8、 ）（4）两个平面有三个共公点，那么这两个平面重合。（ ）（5）三个平面可以把空间分成四、六、七、八个部分；（ ）（6）过直线外一点向直线引垂线，有且只有一条；（ ）（7）异面直线a与c、b与c所成的角相等，则a与b平行或异面；（ ）（8）过空间任一点一定可以作一条直线与两条异面直线都相交；（ ）解：´；Ö；Ö；´；Ö；´；´；´.3、下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则PQ与SR一定是异面直线的是（ ）解：C4、下列一定在一个平面内的图形是 （ D ）A、垂直于同一直线的两条直线 B、顺次首尾相连的四条线段C、两两相交的三条直线 D、平行于同一直线的两条直线5、下列两条直线一定是异面直线的是 （ C ）A、分别在两个平面内的两条直线 B、没有公共点的两条直线 C、不同在任何一个平面内的两条直线D、同时和两条异面直线相交的两条直线6、互不重合的三个平面的交线可能有_条.解：0、1、2、3四种.7、已知ac，b与c不平行、 a与b不相交，求证：a,b是异面直线.证明：若ab，又ac，所以bc，与b不平行于矛盾.又a与b不相交，故a,b为异面直线.8、正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢中，对角线A¢