保险精算练习题

1、作者: 日期:4.假设1000元在半年后成为12 0 0元，求i(2),.，d解：1000)1200；所以 i(2)0.4i (1i)2；所以i 0.44(1i (m)mm(1d).(n)(1 J nn所以,d(3) 3(1 R(1i)1;d(3)0.343355.当n1时,证明:d(n)i (n)证明：dd(n)因为，1 d(1d(n) )nncnd(n)jn)(jc3jn)(jnd(n)所以得(n) d(n)d(n)m(1);eCn(m)2c3(m)3C；()4所以,d(n)m1(1m)i (n)1:(n)nn即,ln(1i (n)ln(1i)(m)2所以,i(n)(J1)(m)3(m)4

2、i(n)n(1;)1 i(n)(n)1nn1 i,1(n)nnC0cni (n)c2:(n)()2ni(n)(n)所以，i6.证明下列等式成立，并进行直观解释：aan；1 vmamv an所以，amv anvmvmVm nam nasn1 vm解:amv snvmvm n所以，a mlvmsnvmvmvmSm(1、mi) an；解:S(1i)m所以，SS0 i) ans (1m ,(1(1i)msn (1i)m(1 i)n 1i(1 i)”-X m(1 I)ii)m 1(1 i)m n (1i)mS. mi)監解：(同上题)7.某人今年3 0岁，宾计划每年初存假设存款利率在前十年为 6%,后2

3、0年为12% ,求每年能取的养老金额。略。3 0 0元，共存30年建立个人存款能从6 0岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。“ 、20解：S诃S诃(1 i2)s20|“ X 10彳(1i1)1 (1 i2)20“-X10彳(112)1i1i2所以60岁时存款有 300 s测59759.5 (元)由此知， X a20s20 ，可得 X=7774.1 2 (元)1198.某单位在20年内每年存入银行 50 0 0元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起,每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。1解：X

4、 Aj X - 5000 S珂 228809.82。所以 X 18304.79 (元)1 0 0 0元时不在增加，并一直保持每年10001 0 .假设每年第一年收付 2 0 0元，以后每隔一年增加收付1 0 0元，增加到一次收付元的水平连续收付。假设年利率为12%,求这一年金的现值。a 100a,100( Ia)91000a19I解:100(1 i) 1100a8 8(1 i)81 1000 -iV94362.941.依据生命表的基础填充下表:xlxdxPxqx01 00 010 00. 90.11(900)(150)(5/ 6 )(1 / 6)27 5 0(150 )0.8(0.2)3(60

5、 0)(300)(0.5 )(0.5 )43 0 0(180)(0. 4 )0.65(1 2 0)(12 0)(0)(1 )60x3 .已知lx1000(1),计算:120120，d33 , 20 P30 , 30 q20 ；2 5岁的人至少再活20,最多活2 5年的概率；三个2 5岁的人均存活到80岁的概率。解： 1。1000(1)1000 ； 11201000(1120d331 33I341000 2512037 q；30 q2091 201 5020 P30.I 30 20|5 q251 451 50l25 55 P25(1 80)3(|25)(旦)30.074646449194.若 l

6、xc x100000(3544000 ，求：c的值；生命表中的最大年龄；从出生存活到 50岁的概率；1 5岁的人在4050岁之间死亡的概率。解： 135100000(cc 35)3544000o所以，c =90 lx 100000(° x90x)0 ,所以，901 5050 P013 25|10 q15l40 l505.证明并作直观解释：mqxnPxn m Px ；证明:n|m qxlxqxPx证明:n®m Px证明:n m Px6.证明:xlx115lxlxn Pxn m PxttPx证明:Pxt PxxDlxtlxqx n；lxlxlxlxlxn PxnPxlxtdtP

7、xxlxtx tdt-($x lxPxlxlxPxPxlxPxx tdtxtpxtPxtdtxlxlxlxIdlxlx lxtD1 X t 1 X D1 X(lx)2lxlx(lx xlx)1;lx tDlxtlx1 x t / D1 x t D1 x XT"() tPxI X I X tI Xxt)1 PxDlxtlxtDlxt8.若 l 407746，l41lxlxlxttPx7681，计算40-4死亡均匀分布假设；鲍德希假设；假设lx1000/100 x解：4014q4oq400.008409068；140 一4t P x可令tqx41! 400.0084268341,4041

8、(1 t)qx0.008444573o9.证明在鲍德希规律下与n无关。证明:xs(x) 1 n|qxs(x n) s(x n1)s(x)所以，x qn 与n无关。1某人10岁买了定期生存保险 值。,这一保险使其从18岁到2 5岁每年得到20 0 0元生存保险金，以附表2转换函数值计算这一年金现解：2000 8|8 a102000N1081 N10 8 812000 0.22775N10455.5 (元)2 证明下列等式成立，并解释其含义。axvp xax 1 ;证明：axNx1NxDxax1 vpxax1 ; 证明:axax:n(1axnv nPxDxDxaxVPxSx 1VPxQx所以,ax

9、1 vpxax1E )ax:n (1 nEx)Ex);证明:NxNx nDxNx 1 Nx n 1.(1DX n )DxNx1Dx(Nx n 1DX n)Dxax:nax n ；vn证明：n axDxnv n Px ax n ax:nax：mmv mPxaxm:n ；证明:NxNx nax：mNx1DxDxPxaxm:nm ExNx m 1Nxax:mmPxaxm:n|Dx mDxNx m 1DxaRPx 1ax(1i)ax 1证明:PxaxPx 1NxPx 1 NxPx 1 Nx3.某人在50岁时以Dx1Ex1 Dx1V px1 Dx1(1i)ax 150 0 0 0元的趸缴净保费购买了每月

10、给付k元的生存年金。假设购买后次月开始给付,求k值。12k解：a502)12k 50 -) 12k (12.26683 耳)500002 1224k 338.624.给付5 0岁的人每月200元，第一次从6 0岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。(12)解：2400 10|10 a5024OO10E50 a；240010 E50 (a6013、24 a70)7以转换函数表达下面变动年金的现值。对(x )第一年末给付1 0 00元，以后每年比上年增加给付5直到100 0元后保持不变，直到被保险人死亡为止。00元，当年给付金额达到 50 00元时，又以每年1 000元的幅度递减,解：500

11、v500(Ia)x:81000 v9(Da)x9:41000 V14 ax148 .假设对所有X ,有Px(1r) Px，证明以利率i和Px为基础计算的终身年金现值与以i 和Px为基础计算的终1 r身年金现值相等。解:以i, Px为计算基础t1t1axtExvt tpx（Px Px 1 Pxax1.假设(1(1r)t PxPxPxtEx(1lx解:dx lxPx计算V t Px1PxPx 1Px1000(1115),i(1t7) Px Px 1i0-10，求5 0岁的人投保Px t100000元终身寿险的精算现值。1115100000A50100000 l50 t 0J1 (1 t),若被保险

12、人在投保后 20年内死亡，则在第20年末给付1单位保险金, 年年末给付1单位保险金。写出对2.某保单规定若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡19（X ）的保单精算现值的表达式。2020019tlq, t 1、(v q q X )t 20tlqt3.某人在3 0岁时投保了20 I A X10000元延期2 5年的定期寿险,求这一保单的精算现值。解：m| Ax:n1 tZx所以，10000304.证明:证明:AxAx10000AxM XDxCxlx55 M 75 D 251069.6405403.724922286.35I A 25 : 25-jvqx10000 vp xAx 1,Cx298.

13、80，并说明其意义。dx,DxX 1v lx,Dx1 lx1, v p X DDxX MDxvp x(CxDx 11)V Px CxDx1V PxDx 1.1 X 11V .V dxlx XX 1 IVlx 1V PxAx 1dxv lxPx Axv qx V pX Ax 1即(X)寿险精算现值等于在第一年内死亡赔付vqx，在一年后死亡赔付的精算现值 vp xAx 1之和。5 .证明：d A xdxx ,并说明其意义。证明：AxM xDrydyx Dyydyd A xdxdxAxDxDxAx(Dln v l x vx lxx；v lxx D y ydyD x7?x (In v6 .假设死qx n变成为qx n),其他年龄的死亡率变，试证明Ax将增加kvPx(1Ax nAxAxAxAxAx增加值:lx t17.假设ax(1解:0.25dxt|qxq x AxPxPxPxPx15.5 ,i)Ax 1(1 i) 1k(1k(1kv(qxAxPxPxn 1)k)(qxk)t|qxkvn 1n Pxtt 1vt|qx1Ax 0.25，求利率i的值。iax15.5 i218.假设某人从30岁开始投保终身寿险，若在投保第一年死亡，则给付6 000元时，又以每多活一年给付额减少4000元递减，当给付额降为4000元时保持不变。以转换函数的形式写出这