第三讲__排序不等式

1、兰州一中数学组第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题知识、方法、技能I 排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组a1 a2an及b1b2 bn.则ah a2b2anbn （同序和）a1bj1 a2bj2an bjn （乱序和）a1bn a2bn 1anb1 （逆序和）其中ji,j2, ,jn是1 , 2,，n的任一排列.当且仅当aia2an或bi b2bn时等号（对任一排列ji, j2, ,jn）成立.证明：不妨设在乱序和S中jn n时（若jn n ,则考虑jn 1）,且在和S中含有项akbn（kn）, 则 akbn anbjn anbjn anbn.事实上，左右=（an ak）（bn bj

2、n ）0,由此可知，当jn n时，调换S aibj1akbjkanbjn（ jn n）中bn与jn位置（其余不动），所得新和Si S.调整好an及bn后，接着再仿上调整 an 1与bn 1,又得 S2 Si . 如此至多经n i 次调整得顺序和aibi a2b2anbnaibji a2bj2anbjn这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当a1 a2an或b1 b2bn时,an ak.这时中不等中等号成立.反之，若它们不全相等，则必存在jn及k,使bn bjn号成立.因而对这个排列中不等号成立 .类似地可证“乱序和不小于逆序和”II .应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n个正数 a，a2

3、, ,an的算术平均数和几何平均数分别是Anaa2an -n 和 Gnna an此外,还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到Hna1 a2an和平方平均（在统计学及误差分析中用到）Qn2 a?2a 这四个平均值有以下关系Hn GnAnQn. O其中等号成立的充分必要条件都是a1 a2an.卜面首先证明算术平均数一几何平均数不等式：AnGn.aa2aa2 an,XnTnG1;1y1 一,y2X1X2，yn 一Xn由于数组X1,X2,xn和数组y1,y2, yn中对应的数互为倒数,由排序不等式得XMX2y1Xnyn （逆序和）X1 ynX2 y1,Xn yn 1 ,即n旦恐Gn GnanGn从而

4、An Gn.等号当且仅当x1x2xn或y1 y2yn时成立，而这两者都可得至U aa2an.111 、一一下面证明Gn H n .对n个正数一, , 应用Gn An ,得 ai a2an111aia2an111n.na a2an即Gn Hn.(符号成立的条件是显然的).最后证明An Qn,它等价于n(a； a|a2)(aa2an)20.而上式左边=(a1a2) (a1a2)(aan)(a2a3)(a2 an)(an 1 an)2 0 ,于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见，An Qn对一切a1,a2,an R成立.III 应用算术平均数一一几何平均数不等式，可用来证明下述重要

5、不等式柯西(Cavchy)不等式：设a1、a2、a3,，an是任意实数，则(为“ a2b2anbn)2 (a；a2a2)(b12 b1b：).等号当且仅当kak为常数，i 1,2, ,n)时成立.证明：不妨设ai(i 1,2, , n)不全为o, bi也不全为0 (因为ai或bi全为0时，不等式显然成立). 记 A=va12a2a2 , B=Jb2 b2b2 .a ；b一且令X立*(i1,2,n),AB则x； x2x2 1, y； y2 y2 1.于是原不等式成为X1 y1X2Y2xnyn1.即 2(Xiyi X2y2xn y n )22XiX2222Xnyiy2y2.它等价于22(xi yi

6、 )(X2 y2 )2(Xnyn )0.其中等号成立的充要条件是Xiy/i1,2,n).从而原不等式成立，且等号成立的充要条彳是bi kai(k A).IV .利用排序不等式还可证明下述重要不等式切比雪夫不等式：若 ai a2an，blb2bn ，则 aha2b2anbnaia2an bib2bn证明：由题设和排序不等式，有aibianbn = aibia2b2an。，a1blan bna1b2anbi ，aibian bnaibna2bianbn i.将上述n个不等式叠加后,两边同除以即得欲证的不等式.赛题精讲I .排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式，请看下述例题例i ：

7、对a, b,c R ,比较a3 b3 c3与a2b b2c c2a 的大小.【思路分析】要应用“排序不等式”,必须取两组便于排序的数，这要从两式的结构上去分析.【略解】取两组数,2,22a, b,c; a ,b ,c .不管a,b, c的大小顺序如何，a3 b3 c3都是同序和a2b b2c c2a都是乱序和a3 b3 c3 a2b b2c c2a【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键22a b例 2： a,b,c R ,求证 a b c 2c2a2bbccaab【思路分析】 应先将a、b、c三个不失一般性地规定为0.由排序不等式,得a2a、b、b2b2以上两个同向不等式相加再除以c对称

8、，可设a1一-（逆序和） c2,即得原式中第一个不等式0.b2,再考虑数组1一（乱序和）.aa3 b3c3 0,及工-bc ca1,、， 人一，一，仿上可证第二个不等式，请读者自己完成ab【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组例3:在 ABC中，试证:aA bB cC【思路分析】可构造 ABC的边和角的序列,应用排序不等式来证明之不妨设aC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBaAbBcCbAcBaAbBcCcAaBcC, aC, bC.相力口,3(aAbBcC)(a bc)(AB C) (a b c)

9、,/曰 aA bB cC得a b c 3又由 0 b c a,0 a b c,0 a c b,有0 A(b c a) C(a b c) B(a c b) a(B C A) b(A CB) c(A BC)a( 2A) b( 2B) c( 3C) (a b c) 2(aA/日 aA bB cC得-.abc 2bBcC).由、得原不等式成立【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明例4：设a1,a2, an是互不相同的自然数，试证1一 a1 na222an2 . n【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序【略解】将a1,a2, ,an按由小到大的顺序排成ahaj2ajn 其中 j1, j2,1,

10、2,，n的一个排列，则aj11, aj22,ajn.于是由排序不等式,a2a12an-2a j1naj222ajjn-2n例5：设D也，,bn是正数a1，a2,an的一个排列,求证a1b1a2b2a n bnn.【思路分析】 应注意到ai-1(i1,2,n)ai【略证】不妨设a1a2an ,因为 a1, a2,an0.所11a1a2又,b1 b2bn是1 ，一的任意一个排列，于是得到a1a2an1na1 一a1a2a2ana1 b11 a2ban1bn【评述】此题比较简单,但颇具启发意义，读者应耐心体会1 )(c c1例6：设正数a,b,c的乘积abc 1,试证：（a 1 ）（b bxyz【略

11、解】设a ,b -,c -,这里x,y,z都是正数，则原需证明的不等式化为 yzx(x y z)( y z x)(z x y) xyz,显然x y z, y z x, z x y 中最多只有一个非负数.若x y z, y z x, z x y中恰有一个非正数，则此时结论显然成立x y z,yz x, z x y均为正数，则 x, y,z是某三角形的三边长.容易验证(x y12 /z)(y z x)(z x y) (x (y 3z x) y2(z xy)z2(x y z).故得（xy z)(y z x)(z x y) xyz.利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数b、c的乘积abc

12、1,证明证明：设(b c)1b2(c1二 2,a) c (a b)Lb x1一,c y1 i , 一 一,则xyz 1,且所需证明的不等式可化为 z,据排序不等式x y两式相加并化简可得22x y2(y z z例7:设实数xi置换，证明:n(xiyi)2z,则2 z 一)yx2(xixn, yizi)2.33 xyzy23.yn,zi,z2,7门是丫1,丫2, ,yn 的一个【略解】显然所需证不等式等价于Xi yi1nXi Zi,这由排序不等式可直接得到i 13.【评述】 应用此例的证法可立证下题:设ak是两两互异的正整数(k 1,2,),证明对任意正整数n,n均有i 1k2证明：设“，b2,

13、 ,bn是a1，a2, ,an的一个排列，使b1b2bn ,则从条件知对每个1 kn,bkk ,于是由排序不等式可知bk1 k2II .柯西不等式的应用应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式例 8：设 xx2,Xn R ,求证:22X1X2X2X32Xn 1Xn2XnXiX1X2Xn .【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之【详解】, X1,X2, ,Xn 0,故由柯西不等式,(X2 X32-XXnX1)( 一X22X2X32Xn 1Xn2 xn) X1XiX3X2.XnXn 12,X1(XiX2Xn 1Xn)2,2X22XnX2X3XnX1X1X2Xn.这是道高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之针对性训练题1 .设a、b、c R ,利用排序不等式证明:(1) aabbabba(a b)；2a, 2b 2c(2) a b c(3) 3上q3；b cc aa b212,1212abc10,1010(4) a b c .bccaab2.设a、b、c是三角形三边的长，求证:abcb c a cab a b c3.已知 a、b、c一一*.一 b, a b