解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案

1、解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】、正弦定理a1、正弦定理：在 ABC中，7sin Absin BcsinC2R （R为abc外接圆半径）2、变形公式：（1）化边为角:a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC;(2)化角为边：sin A ,sin B ,sin C ; 2R 2R 2R(3) a: b: c sin A:sin B :sin C(4) 0-Aab 2R.sin A sin B sin C sin A sin B sinC3、

2、三角形面积公式:SABC1111abc2-ah -absinC -acsinB -bcsinA 2RsinAsinBsinC22224R4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）、余弦定理21、余弦定理：a22b c 2bccosA222a b c acos A 2bc2 2 2b c a 2ac cos Bcos B22cab2ca222cab 2ab cosCcos C222abc2ab2、余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角

3、，求第三边和其他两个角；（解唯一）（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）B点的方位角为2、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.（如图2）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）4).【经典例题】1、（2012天津理）在ABC中，内角A,B , C所对的边分别是a,b,c,已知 8b=5c, C=2B,则 cosC7A

4、 . 25【答案】A7 B.257 C.2524 D.25【解析】Q 8b 5c,由正弦定理得8sin B5sinC ,又 QC2B, 8sinB 5sin 2B ,7252、（2009广东文）已知 ABC中,A, B, C的对边分别为a,b,c若a cV6亚且 A75°,则 b42 -所以 8sin B 10sin BcosB ,易知 sin B 0, cosB 一，c°sC c°s2B 2c°s B 15A . 2B. 4+ 273C. 4- 273D. 76 72【答案】A【解析】sin A sin 750 sin(300 450) sin300c

5、os45° sin 450 cos30°由 a c 66 J2可知，C 750，所以 B 300,sin B -2a.2 、6 1由正弦te理得b sin B 一 2,故选Asin A26 242 3、(2011 浙江)在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分 a,b,c.右 acosA bsin B ,则 sinAcosA cos BA . -B. -C. -1D. 122【答案】D【解析】acosA bsin B , sin Acos A sin2 B ,222 . sin AcosA cos2 B sin2 B cos2 B 1 .4、（2012福建文）在ABC中

6、，已知 BAC60 , ABC 45 ,BC3，则 AC【解析】由正弦定理得ACsin 453sin 60AC 25、（2011 北京）在 VABC 中，若 b 5, B. A1 i一 ,sin A一,则 a43【答案】5-2-【解析】：由正弦定理得asin A又 b 5, B 一,sin A 一所以 sin B431355、. 2,a 3 sin 一46、（2012重庆理）设 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA一 ,cos B 55,一，b 3,则 c13一 14【答案】c 1435412【斛析】由 cosA ,cos B - sin A ,sin B 一, 51351

7、33 4由正弦定理ab得a bsin A-513,sin Asin B sin B 12513由余弦定理 a2 c2 b2 2bccosA25c2 90c 56 014c 一57、（2011全国）4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知a sin A csin C、. 2asin C bsin B .(I)求 B； (n)若 A 750,b 2,求a, c.【解析】（I）由正弦定理得a2 c2 72ac b2由余弦定理得b2a2,因此B 45o(II) sin Asin(30o 45o)sin300 cos45o cos30osin 45o,2 . 64.sin A b -sin

8、B<2,61 .3sinC 2 sin B8、（2012 江西文）ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos（B-C）-1=6cosBcosC.(1)求cosA;(2)若a=3,AABC 的面积为 2J2 ,求 b,c.3(cosB cosC sin Bsin C) 1 6cos BcosC3cos B cosC 3sin Bsin C 1【解析】（1）3cos( B C) 1，1cos( A)3则 cos A(2)由,.、，自 2 2一 .（1）得sin A ，由面积可得bc=6，则根据余弦定理3222a b c acosA 2bc22b c 912c2 13

9、 ,两式联立可得9、（2011 安徽）在4ABC中,a, b,c分别为内角A ,B, C所对的边长,a=V3, b=V2, 1 2cos( B C)0,求边BC上的高.【解析】：.A + B+C= 180°,所以 B + C = A,22c 2accosB .故 cosB 2又 1 2cos(B C) 0,，1 2cos(180o A) 0,1即 1 2cos A 0，cos A 二， 2又 0°<A<18O ,所以 A = 60°.在ABC中，由正弦定理asin Ab-得 sinB sin Bbsin A 、2sin60o、2又 b a,所以 B&l

10、t;A, B = 45°, C=75°, .BC 边上的高 AD=ACsinC= J2sin75° J2sin(450 30o)、.2(sin 450 cos300 cos45o sin 30o)a,b,c.角A,B,C成等差数列10、（2012辽宁理）在 ABC中，角A、B、C的对边分别为（I）求cosB的值；（n）边a,b,c成等比数列，求sin AsinC的值.1 【解析】(I)由已知2B A C,A B C , B -,cos B 32(n)解法一：b2 ac ,由正弦定理得 sin AsinC sin2 B 3 ,422222解法二：b2ac, cosB

11、 ac acac,由此得 a2b2 ac ac,得 a c2 2ac2ac3 所以 A B C -,sin AsinC 一3 4【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC中，若 A 60B 45 ,BC 3 2，则 ACA. 4万B, 2m22、（2011 四川）在4ABC 中，sin A2sin BC. V3sin2 CD.sin BsinC ,则A的取值范围是（6, )C. (0,/. 3,)3、（2012陕西理）在 ABC中，角A, B,C所对边长分别为a,b,c,若a2 b2 2c2,则cosC的最小值为2224、（2012陕西）在 ABC中，角 A,B,C所对的边长分别为 a, b,

12、 c,若a b 2c ,则cosC的最小值为（）A.旦.在 C. 1 D,122225、（2011天津）如图，在 ABC中，D是边AC上的点，且 AB CD,2AB J3BD,BC 2BD则sinC的值为（）3、3. 6、6A . - B. C. - D. 6、（2011辽宁）4ABC的三个内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, asinAsinB+bcos2A= J2a ,则上 aA. 26B. 2&C. M7、（2012湖北文）设 ABC的内角A,B,C,所对的 边分 别为a,b,c,若三边的 长为 连续的三个 正整数，且A B C,3bA . 4 ： 3 ： 220

13、acosA,则 sin A: sin B: sinC 为（B. 5 ： 6 ： 7C. 5 ： 4 ： 3）D. 6： 5 ： 48、（2011上海）在相距2千米的A. B两点处测量目标 C,若CAB 750, CBA 600 ,则A C两点之间的距离是千米。1 一9、 （2012重庆又）设 ABC的内角A B、C的对边分别为a、b、c,且a=1, b=2,cosC ，则sinB410、（2012北京文）在 ABC中若a 3,b <3, A ,则 C的大小为.311、（2012陕西文）在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为 a,b,c,若a=2 ,B= £ ,c=2 $

14、3 ,则b=112、（2012 北京理）在 4ABC 中，若 a 2,b c 7 , cosB -,则 b.413、已知 ABC得三边长成公比为 J2的等比数列，则其最大角的余弦值为 .14、如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°, 航行半小时后船到达 C点，观测灯塔 A的方位角是65。，则货轮到达 C点时，与灯塔 A的距离是多少?115、(2009 安徽理)在 ABC 中，Sin(C A) 1, sinB=. 3(I)求sinA的值;(II

15、)设AC= J6,求 ABC的面积.16、（2012 安徽文）设 ABC的内角 A,B,C 所对的边为 a, b,c,且有 2sin BcosA sin AcosC cosAsinC（I）求角A的大小；（II）若b 2,c 1,D为BC的中点，求AD的长.17、（2011江苏）在4ABC中，角A、B、C所对应的边为 a,b,c(1)若 sin(A ) 2cosA,求 A 的值；61 . 一右cos A ,b 3c,求sinC的值.318、（2012天津文）在ABC中，内角A,B,C所对的分别是a,b,c.已知a 2,c J2,cos A4（I）求 sinC 和 b 的值；（II）求 cos（2

16、A ）的值.19、（2010陕西）如图，A, B是海面上位于东西方向相距 5 3 ，3海里的两个观测点，现位于 A点北偏东45°, B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与B点相距20J3海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达 D点需要多长时间？20、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD 6000米， ACD 45 , ADC 75 ,目标出现于地面点 B处时，测得 BCD 30 , BDC 15 （如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留 根号）.【课后作业】1、（2009全国卷

17、n文）已知4ABC中,cot A12A .13r 5B.13C.12 一，则 cosA55D.122、（2009全国卷n理）已知 ABC中,12 A.135B.131312 A,贝U cosA5c 3d 12.13 .13cot A133、（2012湖南文）在ABC中,AC= J7 ,BC=2,B =60，则BC边上的高等于（）A.B 3/3C 桓而 D 也痴2244、在 ABC 中，若 sin2A= sin2B+sin2C+ sinB sinC,则角 A 等于()A.B,守 C. 3f D.345、在 ABC 中，若 acosA= bcosB,则4 ABC 的形状是（）A.等腰三角形 B.直

18、角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、在 ABC 中，a ： b ： c= 1 ： 5 ： 6,则 sinA : sinB : sinC 等于（）A.1：5：6B.6： 5 ： 1C. 6：1：5D,不确定AC 一7、（2009湖南文）在锐角 AB。，BC 1,B 2A,则的值等于，AC的取值范围为.cosA8、（2012湖北理）设 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若（a b c）（a b c） ab,则角C 9、在 ABC 中，已知 c= 10V2 , C=60°, a = 2°3,则/A=.10、在ABC中，已知三边满足（a+ b+c

19、）（a+b-c）=3ab,则/ C等于.11、在 ABC 中，若 a2 =tanA ,则 ABC 是. b tanB12、在ABC中，已知B=135°, C= 15°, a = 5,那么此三角形的最大边的长是.13、在 ABC 中，已知 sin2B-sin2C-sin2A = V3 sinAsinC,求 B 的度数.14、如图，在 ABC中，已知角B=45°, D 是 BC 边上一点， AD = 5, AC= 7, DC = 3,求 AB.4D 32215、（2009全国卷I理） 在 ABC中，内角A、B、C的对边长分别为 a、b、c,已知a c 2b ,且sin

20、 AcosC 3cos Asin C,求 b.uuuA 2 516、（2009浙江理）在 ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c ,且满足cos- , ABuuurAC 3 .（I）求 ABC的面积；（II）若b c 6,求a的值.17、已知 ABC的三个内角 A、B、C依次成等差数列，又三边 a、b、c依次成等比数列，求证：该三角形为正三 角形.cos A 2cos C18、（2011山东）在 ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cosB2c ab（I）求snC的值；（n）若cosB -,b 2,求 ABC的面积S。 sin A419、某观测站C在目标A南偏西25方向，从A出发有一条南偏东 35走向的公路，在C处测得公路上与 C相距31千米的B处有一人正沿此