数值分析课后题答案

1、数值分析第二章2.当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4，求f (x)的二次插值多项式。解：x0 1,x11,x2 2,f(x。) 0,f(x1)3,f(x2) 4;，,、 (x x1)(x x2)1 ,l0(x)-(122(x 1)(x 2)(x0 x1)(x0 x2)2) o31241X1XX/V1-2(x4一3l1(x)(x(X%)(x%)(为x2)x2)1)(x2)l2(x)(xx0)(xX)1-(x1)(x1)(x2x0)(x2x1)3则二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)yJk(x)k 06.设Xj,j 0,1,L ,n为互异节点，求证:n(1)xk(x)xk(k 0,1,L

2、 ,n);j 0n (Xjx)klj(x)0 (k 0,1,L ,n);j 0证明(1)令 f (x) xkn若插值节点为xj, j 0,1,L,n,则函数f (x)的n次插值多项式为Ln(x)x：(x)。j 0f(n 1)()插值余项为 Rn(x)f(x) Ln(x) n 1(x)(n 1)!又Q k n,f(n 1)( )0R(x) 0nxklj(x)xk(k 0,1,L ,n);j 0n(xj x)klj(x)j 0n n(C：xj( x)ki)lj(x)j 0 i 0nn_ i k iiCk( x) ( xjlj(x)i 0j 0又Q0 i n由上题结论可知nxklj(x) xij 0

3、n原式 Ck( x)k ixi i 0(x x)k0得证。7设 f(x) C2a,b 且 f(a) f (b) 0,求证:max f (x)a x b8(ba)2max f (x).a x b解：令 x0 a, x1b,以此为插值节点，则线性插值多项式为x 为x x0Li(x)f(x)一2 f (x1)0x0 x1x x0x bx a= f (a) f(b)a bx a又Qf(a) f(b) 0L1(x) 01 -插值余项为 R(x) f (x) L1(x) 3 f (x)(x x0)(x x1)1 .f(x) 2 f (x)(x %)(x x1)又Q (x %)(x Xi)2(X 4(X1

4、4(bXo)Xo)2a)2(XiX)max a x bf(x)8(ba)2 max f (x)7 a x b ，/8.在 4 x4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10 6,问使用函数表的步长 h应取多少?解：若插值节点为Xi 1,Xi和Xi 1 ,则分段二次插值多项式的插值余项为-,、1R(x) f ( )(x Xi 1)(x x)(x Xi 1) 3!R2(X)1/、(-(X Xi i)(X6x)(x Xi i) max f (x)设步长为h,即为1Xih,X 1 Xi hR2(x)1e4 -2-h363,3 e4h3. 27若截断误差不超

5、过10 6,R2(x)10 6 3 4, 36e h 1027h 0.0065.9.若 yn 2n，求 4yn及4yn.，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。nyn 24(j 04(j 04(j 0(2Vn2n14Vn (E21)j1)j1)j1)4VnE4 jVnV4241E 2)4 VnVn1(E 2)4(E 1)4Vn2 4VnVn2n16.f(x)3x1,求 F 20,21,L ,27 及 F 20,21,L ,28解：Q f (x)x7 x4 3x 1若 X 2i,i 0,1,L ,8f (n)()则 f xo,x1,L ,xn n!f if ()7!【f xo,x，L

6、 ,x717!7!f(8)()f xo,x1,L ,% 08!19 . 求一个次数不高于 4 次的多项式 P (x), 使它满足P(0) P (0) 0,P(1) P(1) 0, P(2)解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式x0,x11Vo0, V1 1m0 0m 111%(x)yj j(x)mj j(x)j oj oo(x) (1 2 土二)(土二)2Xo xi xo xi2(1 2x)(x 1)21(x) (1 2 土色)(土一x)2 为 x1 几2(3 2x)x22o(x) x(x 1)21(x) (x 1)x2232H3(x) (3 2x)x (x 1)xx 2x22设

7、P(x) H3(x) A(x x0) (x x1)其中，A为待定常数Q P(2) 1 3222P(x) x3 2x2 Ax2(x 1)2A 141 22从而 P(x) 1x2(x 3)24解法二：采用牛顿插值，作均差表：一阶均差二阶均差00111210-1/2又由得 所以第四章1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度：h hf(x)dx Aif( h) Af(0) Af(h)；2h 2hf(x)dx A#( h) Aof(0) Af(h)；1 1f(x)dx f( 1) 2f (xi) 3f (x2)/3;h L-2 L- 0 f(x)d

8、x hf(0) f(h)/2 ah2 f (0) f (h);m的多项解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h(1)若 f (x)dx A1f( h) A0f (0) Af(h) h令 f (x) 1 ,则 2h A1 Ao A1令 f (x) x,则 0 A 1h Ah22 322令 f (x) x ,则一h h A1 h A3A0 4h 311从而解得 A h3A1 1h3hh令 f(x) x3,则 h f (x)dxhx3dx 0 A1f( h) A0f (0) A1f(h)h4故

9、h f(x)dx A 1f ( h) A3 f (0) Af(h) 成 立 。 令 f (x) x4f (x)dxh “2 Kx4dx 2h5A#( h) A0f (0) A#(h)2h故此时,hh f (x)dxA1f (h) A0f(0) Af(h)h故 h f (x)dx A 1f ( h) A0f(0) A1f (h)f(x)dx A1f ( h) A0f (0) A1f(h)2h 2h令 f (x) 1 ,则 4h A i A0 Ai令 f (x) x,则 0 A1h Ah令 f (x) x2,则 16h3 h2Ai h2A3A 3h8从而解得 A -h3A1 8h3令 f (x)

10、x3 ,则2h故 2h f(x)dx A 1f (2h2hf(x)dxh) A0f(0)2h 3x dx 02hAf(h)成立。A1 f( h) A0f (0) Af(h) 042h2h 464 A令 f (x) x ,则 f (x)dx x dx 一 h 2h2h5LL16 5Aif(h) Aof(0) Af(h) 16 h5 3 2h故此时，2hx)dx A1f ( h) A0f (0) A1f (h)2h因此，2h f (x)dxA 1f( h) A0f (0)Af (h)具有3 次代数精度。1(3)若1 f (x)dx f( 1) 2f(x1) 3f(x2)/31令 f (x)1,则f

11、(x)dx2 f( 1)2f(x1)3f(x2)/3令 f (x)x,贝 U 01 2x1 3x2人222令 f (x) x ,则 2 1 2x1 3x2x0.2899x0.6899从而解得x故1 f (x)dx f( 1) 2f(x1) 3f (x2)/ 3不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。或1x20.5266x20.12663113令 f(x) x ,贝U1 f (x)dx xdx 0 f( 1) 2 f (x1) 3f (x2)/3 0(4)若 f (x)dx0h f (0)f(h)/2 ah2f(0)f(h)h令 f (x) 1 ,则 0 f (x)dx h,hf(0)f(h)

12、/2 ah2 f (0)f(h)令f (x) x,则hh12f (x)dx xdx h0022-_h f (0) f(h)/2ahf(0)令 f (x) x2 ,则hh 213f (x)dx x dx h0032 -_h f (0) f (h)/ 2 ah f (0)故有13132h h 2ah321a 一12令 f (x) x3 ,则h .h 314f (x)dx x dx h00412 rh f (0) f (h)/ 2 hf(121 2 f(h) 2h_132f (h) -h 2ah2_1 41 41 4f (h) h4 h4 h4244令 f (x) x4 ,则h0 f (x)dxh

13、“1Kx dx h0512 hf(0) f(h)/2 /0)f (h)1h521h5 31h56故此时，h0 f (x)dx h f (0) f(h)/21 2 h2f (0) f12(h),h因此，01 2 f (x)dx h f (0) f (h)/ 2 h2 f (0) f12(h)7。若用复化梯形公式计算积分1I exdx,问区间0,1应多少等分才能使截断误差不超过 010 6?解:采用复化梯形公式时，余项为R(f)(),(a, b)1又Q Iexdx0Rn(f) /若 |Rn f | 10 6 ,f(x)(x) ex,a0,b 1.12h2当对区间0,1进行等分时,故有n j J-1

14、2因此，将区间476等分时可以满足误差要求第五章1yn1、 一hf (xn,yn) f (xn 21,yn hf (xn,yn)将 f (x, y)x2y代入上式，得乂1h21 h、1 * 1Xn*12.用改进的欧拉方法解初值问题取步长h=计算，并与准确解相比较。近似解准确解近似解准确解3、解：改进的欧拉法为同理，梯形法公式为yn 12_h2 hyn2hh xn(1xn)xn 1(1 xn 1)0, h0.1代入上二式，计算结果见表95表95x n改进欧拉yn1丫K)Vn 1梯形法yn|y(xn) Vn |0. 10. 00550030. 00523809540. 20. 00.3374180

15、36 100. 00.755132781 100. 30. 030. 030. 40. 00.658253078 100. 00.136648778 100. 50. 70. 80.962608182 10 30.185459653 10 30.125071672 10 20.223738443 10 3 20.152291668 1030.253048087 10可见梯形方法比改进的欧拉法精确。4、用梯形方法解初值问题证明其近似解为并证明当时，它原初值问题的准确解。证明：梯形公式为hVn 1Vn 二f 仇) f 函 y0 1)2代 f (x,y)y入上式，得hr1Vn 1Vn - Vn Vn

16、 l2(r1 ,故hh)Vn2 h 2(2-7) -解得Vn 1)n因为VoVn对 xx nh,n 1，代入上式有以h为步长经n步运算可求得V(x)的近似值Vn ,故yn)hx2 h 2h x2 h ：阿yn网丁lim(1 -2h 02 h2h)h lhm0(1 22hh)2h2hh10 .证明解的下列差分公式是二阶的，并求出截断误差的首项。 ,代入得，截断误差首项为。12 .将下列方程化为一阶方程组：1) (1),其中。2) (2),其中。第六章1、用二分法求方程的正根，要求误差小于.解 设，故1,2为的有根区间.又，故当时，单增，当时单增.而，由单调性知的惟一正根.根据二分法的误差估计式知

17、要求误差小于，只需，解得，故至少应二分6次.具体计算结果见表 7-7.表7-7012-12+2+3-4-5-即.3、为求在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式 ，并建立相应的迭代公式(1),迭代公式；(2),迭代公式；(3),迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根解取的邻域,来考察.(1)当时“故迭代公式在上整体收敛.(2)当时故在口上整体收敛.故发散.由于(2)的L叫小，故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字，只需 即取计算结果见表7-8.表7-8142536由于，故可取7、用下列方法求在附近的根.根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数