大一上学期高数知识点

1、百度文库第二章导数与微分一、主要内容小结1.定义定理公式(1)导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义(2)定理与运算法则定理1 f(xo)存在f (X0)f (Xo).定理2若y f(x)在点X0处可导，则y f(x)在点X。处连续；反之不真.定理3函数f (x)在X0处可微f (x)在x0处可导.导数与微分的运算法则：设u u(x),v v(x)均可导，则(u v) u v ,d(u v) du dv(uv) uv vu ,d (uv) udv vdu,u、 vu uvu. vdu udv.(-) 2(v 0), d(-) 2(v 0) v vv v(3)基本求导公式2.各类函数

2、导数的求法(1)复合函数微分法(2)反函数的微分法(3)由参数方程确定函数的微分法(4)隐函数微分法(5)哥指函数微分法(6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法(即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x求导)(7)分段函数微分法3.高阶导数/(1)定义与基本公式8080高阶导数公式：(ax)(n) axlnna (a 0)(ex) ex(sin kx)(n) kn sin(kx n )(cos kx)(n) kn cos(kx n )2/ m、(n)m n(x 5)m(m 1) (m n 1)x(xn严 n!(n)(ln x)(1)n 1 (n

3、1)!nx莱布尼兹公式:(2)高阶导数的求法直接法间接法4.导数的简单应用(1)求曲线的切线、法线(2)求变化率一一相关变化率二、例题解析例 2.1 设 f(x)1 sin 一,x(K为整数).问:(1)当K为何值时，f (x)在x 0处不可导;(2)当K为何值时，f (x)在x 0处可导，但导函数不连续;(3)当K为何值时,f (x)在x 0处导函数连续?解函数f (x)在x=0点的导数:xim0f(x) f(0)x 0f (x)lim x 0 xK ci 1f(0)(x) sin；=lim xf (0)当K 1时,8181不存在,0,.1 _ sinx发散，当K 1，当K 1f (x)的导

4、函数为:KxK 1 sin1(x)x0,1 cos-, xx 0为使 lim f (x) f (0) x 0因此，函数f(x)K ci 1x sin , x 0x当K<1时,f (x)在 x0处不可导;2时,2时,f (x)在 xf (x)在 x例2.22sin x1 ctgx0处可导，但导函数在x 0处不连续;0处可导且导函数在x 0处连续。2丝2x,求曳。1 tgx dx分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。解y 而晨sin x cosx3. 33cos x sin x cos xcosx sin x s

5、in x cosx-sin 2x。 2所以y cos2x 。如果不经过化简,直接求导则计算将是十分繁琐的O例 2.3 y arctgexln分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。解因为1arctge - ln e ln(e 1) arctgex n ln(e2x1)所以1“Px(arctgex) x -ln( e2x1)' = e2 2x例2.4x. f (x)dyf (e )e ,求一。 dx2x1 2e2 2x2 e 1x Ye 1""2x&quo

6、t;e 18282解利用积的求导法则及复合函数求导法则，有dy= f(ex)exef(x)f (ex)ef(x) f (x) = ef (x) f (ex )exf(ex)f(x)。dx /例 2.5 设方程 xy2 ey cos(x y2),求 y .本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。解(方法一)方程两端同时对x求导(y看作x的函数y y(x),由复合函数求导法可得y2 2xyy ey y sin(x y2) (1 2yy)22、y sin(x y )y ;-,1r2xy e 2ysin(x y )(方法二)方程两边同时微分：d(xy2 ey) d(cos(x y2)2

7、y ,y dx 2xydy e dy2sin(x y )(dx 2ydy)y _ ,2、,.2. ,2、.(2xy ey 2ysin(x y )dy y sin(x y )dx,2. ,2、所以 dy y sin(x y ) dx 2xy ey 2y sin(x y2)例2.6 、已知x f,f(t)为二次可微函数，且f (t) 0,求 电,d-4y tf (t) f(t)dx dx2分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。解 因为 dy dtf (t) f (t) = tf (t)dtdx df (t) f (t)dt所以dy肾低t。8383.2.d

8、y = ddydtdx2dx dx f" (t)dt1f"(t)错误原因没有搞清求导对象.Jy/dxdy dx日 7ddx常见错解：dJ2y(t) 1。dx阶导数 5对x求导，而t'是一阶导数对 dxt求导。例2.7求函数yx2 1解 dyd . x1 x2.1 x2 dx xd1 x21 x21 x2 dx x d(1 x2)21 x21 x22 .x dx2J2 dx1x2dx2,32 (1 x )3例2.8 设y xx23x 2求 y(n)。分析本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与 有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和

9、，最后仿(xm)(n)的表达式写出所给定的有 理函数的n阶导数。y (x7x 63) x(x 2)(x 1)(n)y = (x8(x 2) 1严(x 1) 1(n)(1)n8 n!(x 2) 1 n(1)nn!(x 1) 1 nn .1) n!(n 2)81n 1n 1(x 2) (x 1)ex , x 0,一一 一 、4、，一 ，一，例 2.9 设 f(x)e ,0 求f(x)的导函数f (x)的连续区间，若间断，判别类型,x2 1, x 0/并分别作f (x)与f (x)的图形。8484分析函数f(x)是用分段表达的函数.在x 0的两侧：当x 0时，f (x) ex ;当x 0时,f (x) 2x .因此，在处，f(x)的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后,再判别它的连续区间。解因为(0)limx 0f(x) f(0)xlimx 0x2 11 0x故(0)limx 0f(x) f(0)x