垂直平分线与角平分线典型题

1、线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD= BD,若点C在直线 m上，则 ACC= BC.定理的作用：证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.课堂笔记:2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图 2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD= BD, 若AC= BC,则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂

2、直平分线上.一.课堂笔记:3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等定理的数学表示：如图 3,若直线i, j,k分别是 ABC三边AR BC CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点 O,且 OA= OB= OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点任二电龙处邯.反之，三角形三

3、边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角 形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交 点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1,在 ABC中，BO 8cm, AB的垂直平分线交 AB于点D,交边AC于点E, 4BCE的周长等于18cm,则AC的长等于A. 6cmC. 10cmD . 12cmBi图1课堂笔记:针对性练习:已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB垂直平分线交 AB于点D,交AC于点A .E,如果4EBC的周长是24cm 那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB垂直平分线交 AB于点D

4、,交AC于点E,如果、BC=8cm那公匕EBC勺周长是D/_3) 如图，AB=AC,AB勺垂直平分线交 AB于/点D,交AC于点E,如果/ A=287度，那么/ EBC是例2.2知：AB=AC DB=DC E是AD上一点，求证：BE=CE课堂笔记:针对性练习：已知：在 ABC中，ON AB的垂直平分线，OA=OC 求证：点。在BC的垂直平分线B-例3.在 ABC中，AB=AC AB的垂直平分线与边 AC所在的直线相交所成锐他50° , ABC的底角/ B的大小为课堂笔记:针对性练习:1 .在AB5, AB=AC AB的垂直平分线与 AC所在直线相交所得的锐角为 40° ,则

5、底角B的大小为例4、如图8,已知 AD是4ABC的BC边上的高，且/ C= 2/B,求证：BD= AC+ CD.证明：在 BD上取一点E,使DE = DC,连接 AE,则AE = AC,课堂笔记：课堂练习:2 .如图，AC=AD BC=BD,则（）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC.CD平分/ ACBD.以上结论均不对3 .如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形4 .下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条

6、；点P在线段A附卜且PA=PB过P作直线MN则乂睚线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个5 . ABO, AB的垂直平分线交ACT D,如果AC=5 cm, BC=4cm那么 DBC勺周长是（A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm6 .已知如图，在 ABC中,AB=AO。是4ABC内一点,且 OB=OC 求证：AOL BC.7 .如图，在 ABC中，AB=AC, ZA=120° , AB的垂直平分线8 M另J交BC AB于点M N 求证：C附2BM课后作业：1 .如图7,在 ABC中，AC= 23, AB的垂直平分线交

7、AB于点D,交BE, 4ACE的周长为50,求BC边的长.2.已知：如图所示，/ ACB /ADBtB是直角，且 AC=AD F上任意一点，求证：CP=DP线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图 4,已知OE是/AOB勺平分线，F是OE上一 点，若CFL OA于点C, DF± OB于点D,则CF DF.定理的作用:证明两条线段相等；用于几何作图问题；,一 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线课堂笔记:5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线性质定理的逆定理：在角的

8、内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上定理的数学表示：如图 5,已知点P在/AOB勺内部，且PCXOA于C, PD ，OB于D,若PC= PD则点P在/AOB勺平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系课堂笔记:6、关于三角形三条角平分线的定理：(1)关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图 6,如果AR BQ CR分别是 ABC的内角/BAC / ABC /ACB的平分线，那么：AP、BQ CR相交于一点I ;若ID、IE、IF分别垂直

9、于 BG CA AB于点D> E、F,则DI = EI = FI.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：(1)会作已知线段的垂直平分线；(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记：经典例题:例1、 已知：如图，点 B、C在/A的两边上，且 AB=AC P为/A内一点，PB=PCPH AB, PF，AC,垂足分别是E、F 求证：PE=PF课堂笔记：针对性练习:已知：PA

10、、PC分别是 ABC外角/ MAC： / NCAf分线,它们交于 P, PD)± BMT D, PF, BN于F,求证：BP为/ MBN勺平分线。例2、如图10,已知在直角梯形 ABCDF, AB/ CD AB,BC, E为BC 中点，连接 AE、DE, DE平分/ ADC求证：AE平分/ BAD.课堂笔记：针对性练习：如图所示，AB=AC BD=CD DE!AB于 E, DF±AC于 F,求证：DE=DF例3、如图11-1 ,已知在四边形 ABCDK 对角线BD平分/ ABC且/ BAD/ BCD互补,求证：AD= CD.课堂练习：1 . 4ABC中，AB=AC AC的中垂线交 AB于E, zEBC的周长为20cm, AB=2BC则腰长为2 .如图所示，AB/CD,。为/A、/C的平分线的交点，OH AC于E,且OE=2则AB与CD之间的距离等于 03 已知：如图，/ B=/ C=9(J, DMff分 /ADCAM¥