江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题专题7圆的综合问题

1、专题07圆的综合问题例1 .如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，。的半径是2,贝U P PB的最小值为（）A. 2B . y5C./3+1D. 2 2p.同类题型1.1如图，O O是 ABC勺外接圆，已知 AD平分/ BAC。于点D,连结CD延长AC BDD相 交于点F.现给出下列结论：2若 AD= 5, BD= 2,则 DE=-;5/ ACB= / DCF（D FDM FCB41若直径 AGL BD交BDT点 H, AC= FC= 4, DF= 3,则 cosF=;则正确的结论是（同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作:C.D.AJB图(

2、4)二-ID图(1)(3)(4)(n8图C3)将圆形纸片左右对折,图折痕为S门）B图(5)将圆形纸片上下折叠，使将圆形纸片沿EF折叠,AB如图（2）所示.B两点重合，折痕 CD与AB相交于M如图（3）所示.使B、M两点重合，折痕 EF与AB相交于N,如图（4）所示.连结AE AF,如图（5）所示.经过以上操作小芳得到了以下结论：CD/ EF;四边形 MEBF!菱形；' AEF为等边三角形； $ AEF ： S圆=3 0 4兀，以上结论正确的有（）A. 1个B.2个C.3个D.4个例2.如图， ABC中，BC= 4, / BAC= 45° ,以4啦 为半径，过 R C两点作。0

3、,连OA则线段 OA的 最大值为.1同类题型2.1如图，已知。O的半径为1,锐角 ABCrt接于。Q BDLAC于点D, OMLAB于点M, OM=-,3则sin / CBD勺值等于（c-子A楙1D-2同类题型2.2如图，直线l经过。O的圆心Q与O O交于A、B两点，点C在。O上，/ AOC= 30° ,点P 是直线l上的一个动点（与圆心 O不重合），直线CP与。相交于点 M且M2 OM则满足条件的/ OCP 的大小为.同类题型2.3如图， ABC / BAC= 90° , AC= 12, AB= 10, D是AC上一个动点，以 AD为直径的。O交BD于E,则线段CE的最小

4、值是（)C. 7D. 8例3.如图，直线l 1 / l 2 ,。与11和12分别相切于点 A和点B.点M和点N分别是l1和l2上的动点,mN&l 1和l2平移.o O的半径为1, z 1 = 60° .下列结论错误的是（43A. MN=工 3B.若MNW0O相切，则AM=小C.若/ MON90 ,则 MNW。相切D. l 1和l2的距离为2同类题型3.1如图，已知 A、B两点的坐标分别为（ 2, 0）、（0, 1）, OC的圆心坐标为（0, 1）,半 径为1.若D是。C上的一个动点，射线 AD与y轴交于点E,则 ABEB积的最大值是 .同类题型 3.2我们将在直角坐标系中圆心

5、坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图，直线 l :y=kx + 4 4 与x轴、y轴分别交于 A、B, Z OAB= 30° ,点P在x轴上，O P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得。P成为整圆的点的直线相切，则。O的半径为P个数是（）C. 10D. 12A.例4.如图，正方形C"c-CabBC= a,a+ b的是（ABCD正三角形同类题型4.1如图，在菱形 ABCDK 切点为N,分另交AC BC于点E, F,CA b, AB= c,下列图形中。O与 ABC的某两条边或三边所在C.0D.AEF都内接于。Q EF与对角线AC BD交于点OBC CD分别相交于点 G H

6、,则EF的值为GH以O时直径画圆 M过D作。M的切线,已知AE= 5, CE= 3,则DF的长是B同类题型4.2如图，已知 ABC勺外接圆。O的半彳仝为1, 口 E分别是 AB AC上的点，BD= 2AD EG= 2AE 则sin / BAC勺值等于线段（）B . BC的长- 2C. - DE的长3_ 3D. 2 DE的长例5.如图，AB是。O的直径，点 C是。上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为 D,直线DC与AB的延长线交于点 P,弦CE平分/ ACB交八8于.点F,连结BE BE= 7，2 .下列四个结论： AC平分/ DAB pF2 =PBpa若BC=2 OP则阴影部分的面积为4n4

7、943;若PC= 24,则tan/ PCB=4 .其中正确的是（）A.B .C.D .E同类题型5.1如图，在半径为2cm,圆心角为90。的扇形 OABK 分别以 OA OB为直径作半圆，则图中 阴影部分的面积为.同类题型5.2某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形 ABCDt角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（ E为上切点），与左右两边相交（F, G为其中两个交点），图中阴影部分为 不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1四 根据设计要求，若/ EOF= 45。，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为 同类题型5.3如图，将半径为2,圆心角为1

8、20°的扇形OA瞰点A逆时针旋转60° ,点Q B的对应点分别为O' , B',连接BB ,则图中阴影部分的面积是（）B . 2 ,3- -3-同类题型5.4如图，已知矩形 ABC用，AEB= 3, AD= 2,分别以边 AD BC为直径在矩形 ABCD勺内部作半 圆。和半圆O2 , 一平行于 AB的直线EF与这两个半圆分别交于点 E、点F,且EF 2 （ EF与AB在圆心。一 八小和Q的同侧），则由AE , EF, FB , AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 DC参考答案例1 .如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一

9、动点，。0的半径是2,贝U P PB的最小值为（A. 2B . ,D . 2C. /3 +1解：作A关于MN勺对称点 Q,连接CQ BQ BC CDT P,此时AN PB= QP PB= QB PN PB的最小值为QB勺长度，连接OQ 0B 点A是半圆上的一个三等分点，/ ACD= 30° . B弧AD中点, ./ B0D= Z ACD= 30° , /Q0呼 2/ QCD= 2X30° = 60 , B0Q= 30° + 60° = 90° .。0的半径是2, 0B= 0Q= 2,BQ=选D.0+0(2=22 ,即P加PB的最小值为

10、2 ./2.同类题型1.1如图，O 0是ABC勺外接圆，已知 AD平分/ BAC。0于点D,连结CD延长AC BD相 交于点F.现给出下列结论：_ 2若 AD= 5, BD= 2,则 D& -;5/ ACB= / DCF 4 FDM FCB41若直径 AGL BD交 BD点 H, AC= FC= 4, DF= 3,则 cosF= ;48则正确的结论是（）A.B .C.D.解：如图1,. ADW / BAC / BAA / CAD / CA关 / CBD ./ BAD= C CBDBDE= / BDEBD&AADB BD DE"Air Bd )4由 AD= 5, BD=

11、 2,可求 DE=,5不正确；/FCDF /ACD= 180 , / ACID- Z ABD= 180 , ./ FCD= /ABD若/ ACB= / DCF 因为/ ACB= / ADB则有：/ ABD= /ADB与已知不符，故不正确；如图3,/ F=Z F, Z FAD=Z FBQFDAA FCB故正确；如图4,又F=Z F, . FCDA FBAFCFD''RET FA ,32由 AU Fe 4, DF=3,可求：AF= 85 FB=, o23BD=BFD口一， 3 .直径 AGLBQ23加41.F+rHH 41 -cosF=af= '故正确; 故选：C.(2)将

12、圆形纸片上下折叠，使 A、B两点重合，折痕 CD与AB相交于M如图(3)所示.（3）将圆形纸片沿 EF折叠，使B、M两点重合，折痕 EF与AB相交于N,如图（4）所示.（4）连结AE AF,如图（5）所示.经过以上操作小芳得到了以下结论：CD/ EF;四边形 以上结论正确的有（A. 1个解：纸片上下折叠 ./ BMD= 90° ,纸片沿EF折叠，.Z BNF= 90 ,MEBF1菱形；* AEF为等边三角.形；SAEF : S圆=34兀，）B . 2个A、B两点重合,R M两点重合,C. 3个D, 4个./ BMD= / BN已 90.CD/ EF,故正确；根据垂径定理，BMB直平分

13、EF,又纸片沿EF折叠，R M两点重合,BN= MN .BM EF互相垂直平分，四边形 MEB层菱形，故正确；如图，连接 ME则ME= MB= 2MN ./ MEN= 30 , EMN= 90° 30° = 60又AM=ME（都是半径）， .Z AEM= / EAM .Z AEM=-Z EMN=- x 60 = 30 , 22' ./AEF= /AEMF Z MEN= 30° + 30 = 60 ,同理可求/ AFE=60 ,/ EAF= 60 ,.AEF是等边三角形，故正确； 设圆的半径为r,则MN= 2，EN=坐r,13EF= 2EN= 3 r, AN

14、= r+2r =213Saaef： $圆=（2*43*耍） 综上所述，结论正确的是共 选D.nr2=3J3: 4 it ,故正确;4个.同类题型1.3同类题型1.4例2.如图， ABC中，BC= 4, / BAC= 45° ,以4啦 为半径，过 R C两点作。0,连OA则线段 OA的 最大值为. _ 1 一 ， 一 、，_解：作O巳BC于F,则BF= C已2 BG= 2,如图，连结 OB在 RtAOBF, O已勺0自bJ= f(4'2 22 = 2'"7 , . / BAC= 45 , BC= 4, 点A在BC所对应的一段弧上一点， 当点A在BC的垂直平分线

15、上时 OA最大，此时 AF± BC AB= AC作BDLAC于D,如图，设BD= x,.ABM等腰直角三角形，AB= i'2B> '2 x,AC I2 x,在 RtABDC,B(2=C2+ BD2 ,42= (、2xx) 2 + x2 ,即x2=4 (2 + 4 ),1_ 1-. 2AF. BO 2 BD. AC,x x;2x . AF= -4=2.j2 +2,. AO= AF+ OF= 272+2+2口 ,即线段OA勺最大值为2%历+ 2+2-5.同类题型2.1如图，已知。的半径为1,锐角 ABCft接于。_ _1Q BDL AC于点 D, OMLAB于点 M

16、, OM=-,3则sin / CBD勺值等于（C 22 3A也 ,2解：连接AO . OM_ AB于点 M AO= BOAOM= / BOM. / AOB= 2/ C / MO® /C,1.OO的半径为1,锐角 ABC接于。O, BCLAC于点D, OM=-,31MO 3 1sin / CBD= sin Z OBM：-=-OB 1 3_ 1则sin / CBD勺值等于-.3选B.占P八、 IOCP解：根据题意，画出图（1）,同类题型2.2如图，直线l经过。O的圆心 Q 与O O交于A、B两点，点 C在。O上，/ AOC= 30° , 是直线l上的一个动点（与圆心 O不重合）

17、，直线CP与。O相交于点M且MP= OM则满足条件的/E O /P AQ图1在 QOC, OC= OM . / OM&/ OCP 在OPW, MP= MO / MOP / MPO 又AOC= 30 ,. ./MP® /OCR /AOC= /OCR 30 ,在OPW, / MOP/ MPO /OMG 180 ,即(/ OCP- 30 ) + (/ OCP- 30 ) +Z OCP= 180 , 整理得，3ZOCP= 120° ,./ OCP= 40° .,_zX o jr爵当P在线段一OA勺延长线上(如图 2).OG= OM ，一一。，一 1 小/ OMP=

18、( 180 - / MOC X 2 ，. OM= PM，一 。，一一/ OPM=( 180 - / OMP X 2 ，在 4OM呻，30° +Z MOC /OMP Z OPIW 180° ,把代入得/ MOC20 ,则/ OMP80 ./ OCP= 100° ;茎当P在线段OA勺反向延长线.上(如图3),. OC= OM ，一一 0 1-/ OCP= OMC=( 180 - / COM X 2 ， .OM= PM 一 。 1 /./ P= (180 -Z OMP x 2 ， / AOC= 30 , Z COM / POIW 150° ，/ P= / PO

19、M 2/ P= / OCP= / OMO,联立得/ P= 10 ° , ./OCP= 180° 150° 10° =20° . 故答案为：40°、20°、100° .同类题型2.3如图，ABC3, / BAC= 90° , AC= 12, AB= 10, D是AC上一个动点，以 AD为直径的。O交BD于E,则线段CE的最小值是（）解：如图，连接 AE则/ AED- / BEA= 90° ,C. 70DQ点E在以AB为直径的。Q上,AB= 10,. QA= QB= 5,当点Q E C三点共线时，Q

20、&CE= CQ（最短），而QE长度不变，故此时 CEM小，. AC= 12,. QC= yAQAC =13,. CE= QC- QE= 13 5=8,选D.例3.如图，直线11 /l2 ,。与11和l2分别相切于点 A和点B.点M和点N分别是11和l2上的动点, MNg-1 1和12平移.O O的半径为1, Z 1 = 60° .下列结论错误的是（）A. MN= 4yB .若MMWO O相切，则A阵小C.若/ MON 90 ,则 MNW。O 相切D. 11和12的距离为2解：A、平移MN1点B与N重合，/ 1 = 60° , rAB= 2,解直角三角形得 MtN=-

21、,正确;3R当MNW圆相切时，M, N在AB左侧以及 M, N在A, B右侧时，AM=43 或坐，错误;3C 若/ MON90° ,连接 NOH1 延长交 MA点 C,则 AOR BON故CO= No MO哑AMoC故MN上的高为1,即O到MN勺距离等于半径.正确; 口 1 1 / 1 2 ,两平行线之间的距离为线段 AB的长，即直径 AB= 2,正确.选B.同类题型3.1如图，已知 A B两点的坐标分别为（一2, 0）、（0, 1）, 0C的圆心坐标为0,1）,半径为1 .若D是。C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E,则 ABEM积的最大值是解：当射线 AD与OC相切时， ABE

22、®积的最大. 连接AC. /AO仔 Z ADC= 90 , AG= AC OC= CD RtAAOCRtAADC(HD ,AD= AO= 2,连接CD设EF= x, DE2 =EF. OE.CF= 1,DE= lx(x+2), . CD& AAOE .CD CEACT AE '即2=x+ 12+ 'x(x+ 2)2解得x=£, 3c、2 / BEX AO 2 (3+ + )11$ ABE= -2=2=百同类题型 3.2我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图，直线 l :y=kx + 4或 与x轴、y轴分别交于 A B, /

23、OAB= 30。，点P在x轴上，O P与l相切，当P在线段OA 上运动时，使得。P成为整圆的点P个数是（）C. 10D. 12解：:直线l: y=kx+43与x轴、y轴分别交于A B, .B (0, 4gh(3), . OB= 4 3 , 在 RUA aO冲，/ OAB= 30 ,OA= J3OB= I3X 4 J3 =12, ,O P l相切:设切点为 M 连接PM则PMhAB 1 .PM= 2 PA设 P (x, 0),PA= 12-x, 1_ 1 O P 的半径 PM= 2PA= 6 5 x, .x为整数，PM整数， .x 可以取 0, 2, 4, 6, 8, 10, 6 个数， ，使得

24、。P成为整圆的点P个数是6. 故选：A.同类题型3.3已知ACL BC于C BO a,，一一 ab ,的直线相切，则。O的半径为-的是(a+ b解：设。O的半径为r,CA= b, AB= c,下列图形中。O与 ABC的某两条边或三边所在 )A -.-O O ABCJ切圆，一 1 1. $ ABC= £ (a+b+c)r =2 ab,aba+b + cR 如图，连接 OD 则 OD= OG= r, OA= br, .AD是O O的切线，. ODL AB即/ AOD= / C= 90 ,. AD6 AACBOA AB= OD BC即(b r) ： c= r ： a,.- ab解得：r=；

25、a+ cG连接OE OD ACM BC是O O的切线，. OEL BC ODL AC ./ OEB= Z ODC= Z C= 90° , 四边形ODCE1矩形，O氏OE .矩形ODCE1正方形，EC= O氏 r, O曰 AC. OE AC= BE： BCr ： b= ( a r) ： a,ab.r =-； a+b '口解：设 AC BA BCWO O的切点分别为 H F、E;连接OD OE . AC BE是。O的切线， ./ODC= /OE仔 / DCE= 90° ;，四边形ODC是矩形；. OD= OE .矩形ODC是正方形；即 OE= OD= CD= r,则 A

26、D= AF= b- r;连接OB OF由勾股定理得：BF2= O-Of2 , B=oBO ,. OB= OB OF= OEBF= BE一,一 c+ b a则 B- AF= BOCE c+b-r = a+r,即=2.故选C.ABC用正三角形 AEF都内接于。O EF与BC。皿别相交于点 G H,则EF的值为例4.如图，正方形解：加图，连接AC BD OFGH设。O的半径是r,则 OF= r,. AO / EAF的平分线，OAF= 60° + 2 = 30° ,. OA= OF ./ OFA= / OAF= 30 ,COF= 30° + 30° = 60。3

27、FI=r sin60 r, EF=3r x 2= ;3 r,. A0= 2OI, 111-0I = J r, CI= r -2r = 2 r,GH CI 1 一= 一= 一 . BD CO 2 '-1 . GH= 2 BD= r,EF 3rGH= k= W -同类题型4.1如图，在菱形 ABCDK 对角线 AC BD交于点Q以O时直径画圆 M过D作。M的切线, 切点为N,分另1J交 AC BC于点E, F,已知AE= 5, CE= 3,则DF的长是.B解：延长EF,过B作直线平行 AC和EF相交于P,AE= 5, EG= 3,AO= C&OE 即有，OE= EN= 1,_ 1

28、又. DMM DEO 且 MN=j DMDE= 3OE= 3,又 OB BP O是DB中点，所以 E也是中点,EP= DE= 3,BP= 2,又EF64PFB相似比是3: 2,3.八EF=EPX - = 1.8 , 5故可得 DF= D& EF= 3+1.8 =4.8 .同类题型4.2如图，已知ABC勺外接圆。O的半径为1, D E分别是AB AC上的点，BD= 2AD EC= 2AE 则sin / BAC勺值等于线段（）A. DE的长B . BC的长C. 2 DE的长D. 3 DE的长32解：如图，作直径 CF连接BF,BD=2AD EC=2AE .AD AB= AE： AC= 1

29、： 3,又EAD= / CAB EA5 ACABBC= 3DEBC 3DE 3 一 sin / A= sin /尸=元=2 DE选D.例5.如图，AB是。O的直径，点 C是。O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为 D,直线DC与AB的 延长线交于点 P,弦CE平分/ ACB交AB于点F,连结BE BE= 7娘.下列四个结论： AC平分/ DAB pF2 =PB pa若BC= 2 OP则阴影部分的面积为7支为3 ；若PC= 24,则tan /PCB= 3 .其 中正确的是（）A.B .C.D .DE 解：连接OC. OA= OCOAC= / O(A. PC是 0O 的切线，ADL CDOCP=

30、 / D= 90° , . OC/ ad. ./ CAD= / OCA= / OAC.即AC平分/ D用.故正确；; AB是直径，/ ACB= 90 , ./ PCBF Z ACD= 90° ,又一/ CAID- Z ACD= 90° , ./ CAB= / CAD= / P(B.又. / ACE= / BCE / PFC= / CABb / ACE / PCF= / PCBF / BCE .Z PFC= / PCFPC= PF, / P是公共角， . PC% APAC. PC PA= PB： PC. PC2 =PB. PA即PF2 =PB PA故正确;连接AEE

31、. / ACE= / BCEAE= BE , AE= BE又 AB是直径， ./AEB= 90 . . ABW2BE=Qx 7婢 =14, . OB= OC= 7, .PD是切线, ./ OCP= 90° ,1 /. BC=2 OPBC是RtOCP勺中线，BC= OB= OC即 OBO等边三角形， ./ BOC= 60° , SJA BOC= 4P/3 ,邑(扇形 BOC=(60)/(360) X n X 7A(2) = (49)/(6)式， 阴影部分的面积为 攀汽44v3 ；故错误;. PCBo PACPB BC,=一PC AC'，八 /_ BC PBtan /

32、PCB= tan / PAC= ,AC PC设 PB= x,贝U PA= x+ 14,. P(2 =PB. PA 242 = x (x+ 14), 解得：x1 =18, x2 =-32, .PB= 18,PB 18 3tan /PCB=同=三=4 ；故正确.故选C.同类题型5.1如图，在半径为2cm,圆心角为90°的扇形 OABK 分别以 OA OB为直径作半圆，则图中 阴影部分的面积为.解：.扇形 OAB勺圆心角为90。，扇形半径为 2,，扇形面积为:90 nx 22360汽(cm2 ),1半圆面积为：2*一一 八一汽，2、SQ+ Sm = SW Sp= -2 (cm ),SQ Sp ,连接AR OD两半圆的直径相等， ./ AOD= / BOD= 45.S录色=堑 AOD= 22-x 2X1= 1(cm2),，阴影部分Q的面积为：S扇形AOB_ S圆一S录色=宜一万一1 =51（cm2）.O的圆心与矩形ABCDf角线的交点重同类题型5.2某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆 合，且圆与矩形上下两边相切（ E为上切点），与左右两边相交（F, G为其中两个交点），图中阴影部分为 不