浙教版数学八年级下册解码专训一：巧用一元二次方程定义及相关概念求字母

1、解码专训一：巧用一元二次方程定义及相关概念求字母或代数式的值名师点金：巧用一元二次方程定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求 字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等.利用一元二次方程的定义确定字母的值或取值范围1 .已知(m -3)x2+m +2x= 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范 围是()A. m w3 B. m >3C. m>-2 D . m>一2 且 m w32 .已知关于 x 的方程(m + 1)xm 2+ 1 + (m 2)x 1 = 0.(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程.(2)m取何值时，它是一

2、元一次方程？金戈铁制卷利用一元二次方程的根的概念求字母的值3 .若一元二次方程（2a 4）x2 + （3a + 6）x + a 8 = 0没有一次项，则a的值为 _4 .已知关于x的一元二次方程（m1）x2+5x + m21 =0的常数项为0,求 m 的值字母或代数式的值5 .已知关于x的方程x2 + bx+a = 0的一个根是一a（a刈），则ab的值为（）A. -1 B. 0 C. 1 D. 26 .已知关于x的一元二次方程（k + 4）x2 + 3x + k2 + 3k4 = 0的一个根为0,求k的化7 .已知实数a是一元二次方程x2 2 015x + 1=0的根，求代数式a2 2a2 +

3、 1014a 2 015的值.金戈铁制卷形如(x + m)2 = n(n >0)的一元探究性问题8 .已知m, n是方程x2 2x 1=0的两个根，是否存在实数 a使(7m2 14m a)(3n 2 6n 7)的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由解码专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有开平方法、因式分解法、配方法和公式法等，在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果次方程适合用开平方法求解1 .方程4x2-25=0的解为（）A. x=- B. x = 一C. x = ±5222 .用开

4、平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为 （）A. x25 = 5 B. -3x2=0C. x2+4=0 D. (x+1)2 = 03 .用开平方法解下列方程：(1)9x2 = 121 ;(2)(x + 3)2 2 = 0.金戈铁制卷能化成形如(x + a)(x + b)=0的当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时，用配方法求解较方便4 .(中考兰州一元二次方程x2 8x 1 = 0配方后可变形为()A. (x+4)2=17 B. (x + 4)2 = 15C. (x 4)2=17 D. (x 4)2 = 155 .解方程：x2+4x 2=0.6.已知 x2-10x +y216y +89=0

5、,求一的值.y元二次方程适合用因式分解法求解7 .(中考宁豆一元二次方程x(x 2) = 2 x的根是()A1 B 0C 1 和 2D1 和 28 解下列一元二次方程：(1)x2 2x=0; (2)16x2-9 = 0; (3)4x2 = 4x1.如果一个一元二次方程易化为一金戈铁制卷般式，则可用公式法来求它的解19 .用公式法解一兀二次方程x2 4 = 2x ,方程的解应是()2210 .解下列方程：(1)x2 6x = 5;(2)x2 4x+ 1 =0.如果在方程中出现一些相同的代数式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法来求解11 .若(a+b)(

6、a + b + 2) 8 = 0,则 a + b 的值为()3A. 4 或 2 B. 3 或2C. 2 或4 D. 3 或212 .解方程：(x 2)23(x2)+2 = 0.解码专训三：特殊一元二次方程的解法技巧名师点金：一元二次方程的解法是本章的重点，也是解决其他问题的根本，只有熟悉各 种解法的特点，才能准确地找出所给方程的最佳解法. 除了常见的几种一元二次 方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的解法.构造法1 .解方程：6x2+ 19x + 10=0.金戈铁制卷换元法2 .解方程：(x1)(x2)(x3)(x 4) = 48.3 .解方程：6x435x3+62x235x+6 =

7、0.配方法4 .若 m , n , p 满足 mn = 8, mn+p2+16=0,求 m+n + p 的值.特殊解法5 .解方程：(x 2 013)(x 2 014) =2 015 X2 016.解码专训四：巧用根的判别式名师点金：对于一元二次方程ax2 + bx + c=0(a W0),式子b2 4ac的值决定了一元次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1 .(中考潍坊已知关于x的方程kx2+(1 k)x 1 = 0,下列说法正确的是()A.当k=0时，方程无解B.当k

8、=1时，方程有一个实数解C.当k=1时，方程有两个相等的实数解D.当kw0时，方程总有两个不相等的实数解2.已知方程x2 2xm=0没有实数根，其中m是常数，试判断方程x2+ 2mx + m(m +1) = 0有无实数根.利用根的判别式求字母的值或取值范围3.(中考北京已知关于x的一元二次方程x2 + 2x+2k4 = 0有两个不相 等的实数根(1)求 k 的取值范围；(2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值利用根的判别式求代数式的值4 .已知关于x的一元二次方程mx2+nx 2=0（m汽）有两个相等的实数根,mn 2求（m+4） 2+n2 16 的化利用根的判别式确定三角形的

9、形金戈铁制卷5已知a， b ， c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(b c)x 22(a b)x + b a = 0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.解码专训五：根与系数的关系的应用名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征在实数范围内运用一元二次方程根与系数的关系时，必须注意b2 4acR这个前提，而应用判别式的前提是二次项系数aw0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件 b2-4ac>0和a网.利用根与系数的关系求代数式的值1 .设方程4x27x 3 = 0的两根为xi, X2,不解方程求下列各式的值：金戈铁制卷

10、X2 X1仅L3)(X23)；口+ X2+ 1(3)X1 X2.利用根与系数的关系构造一元二次方程2 .构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2+2x 3 = 0两根的 负倒数.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3 .(中考梅州已知关于x的方程x2+2x + a2=0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2)若该方程的一个根为1，求 a 的值及该方程的另一根巧用根与系数的关系确定字母参数的存在性4 .已知X1, X2是一元二次方程4kx2 4kx + k+1 = 0的两个实数根，是否3存在实数k,使(2xi X2)(xi 2x2) = £成立？若存

11、在，求出k的值；若不存在,请说明理由.解码专训六：常见热点考题名师点金：本章主要考查一元二次方程的解法、 根的判别式、根与系数的关系、实际应 用问题等，考查形式多以选择题、填空题、解答题形式出现，一元二次方程是中 考的热点之一.解方程问题1 .用配方法解方程x2 2x1=0时，配方后所得的方程为()A. (x+1)2=0 B. (x1)2 = 0C. (x+1)2=2 D. (x1)2 = 22 . 一元二次方程x22x 3 = 0的解是()A. xi = 1, x2=3 B. xi = 1, x2= 3C. xi = - 1 , x2= 3 D . xi=1, x2 = 33 .(中考山西解

12、方程：(2x 1)2 = x(3x + 2) 7.根的判别式的问题4 .下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A. x2 + 1=0 B. x2 + x+1 =0C. x2 x+ 1 = 0 D. x2 x1=05.已知关于x的一元二次方程（x + 1）2 m = 0有两个实数根，则m的取值 范围是（）A. m >-3 B. m >04C. m >1 D , m >2根与系数的关系6 .已知方程x2 3/2x + 1 =0,构造个一元二次方程使它的根分别是原方 程两根的倒数，则这个一元二次方程是()A. x2+3>J2x + 1=0 B. x2 + 31y2x-

13、1 =0C. x2-32x+1=0 D. x2-3y/2x-1 =0实际应用问题7 .(中考泉州某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形， 如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A, B出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与13时间t(s)满足关系：1 = 丁2 + 2母R)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？（第7 题 ）8 如图，某海关缉私艇在C

14、处发现正北方向30 海里的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以60 海里 /时的速度向正东方向航行缉私艇随即调整方向，以75 海里/时的速度航行，这样可同时到达B 处进行拦截缉私艇从C 处到达 B处航行了多少小时？（第8题）新定义问题9 .（中考厦若xi, X2是关于x的方程x2 + bx+c = 0的两个实数根，且 |xi|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2 + bx+c = 0为“偶系二次方程”.如方 程 x2-6x-27=0, x2-2x-8 = 0, x2 + 3x-红=0, x2 + 6x-27 = 0, x2 + 4x4+ 4=0都是“偶系二次方程”.判断方程x2 + x

15、12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.解码专训七：常见题型荟萃名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单明了一元二次方程的概念1 .方程mx23x x2 + 2 = 0是关于x的一元二次方程的条件是（）A. m = 1 B. m wlC. m 0 D . m为任意实数一元二次方程的解法2 选择适当的方法解下列方程：(1)(x 1)2 + 2x(x 1) = 0; (2)x26x 6 = 0;(3)6 000(1 x)

16、2 = 4 860; (4)(10 +x)(50 x) = 800.元二次方程根的情况金戈铁制卷3 .在等腰三角形ABC中，三边长分别为a, b, c.其中a = 5,若关于x的方程x2+(b+2)x + (6 b) = 0有两个相等的实数根，求 ABC的周长.一元二次方程根与系数的关系4 .设xi, X2是关于x的一元二次方程x2 + 2mx + m2 + 4m 2 = 0的两个实数根，当m为何值时，xi2 + x22有最小值？最小值是多少？金戈铁制卷一元二次方程的应用5当x 取何值时，多项式x2 3x 与多项式5x 15 的值相等？6.在一块长16 m,宽12 m的长方形荒地上，要建造一个

17、花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.(第 6 题 )(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部 分涂上阴影，并加以说明答案金戈铁制卷解码专训一m 3 却，1 . D点拨：由题意，得解得m一2且m #3.m +2>0,m2+ 1 =2,2 .解：(1)当时，它是一元二次方程.解得 m = 1.m + 1却当m = 1时，原方程可化为2x2 x1=0.m 2 w0,(2)当或当m + 1 + (m 2

18、)刃 且m2+1 =1时，它是一元一次m +1 =0方程.解彳m m = 1或m = 0.故当m = 1或m=0时，它是一元一次方程.3a+6 = 0,3 . -2点拨：由题意得解得a= 2.2a4 9m21=0,4 .解：由题意，得解彳4m = 1.m 195 . A 点拨：二,关于x的方程x2 + bx+a= 0的一个根是一a(a0), .' a2 ab +a = 0.a(a b + 1) = 0. aab+1 =0.a b = 1.6 .解：把 x = 0 代入(k + 4)x2 + 3x + k2 + 3k4 = 0,得 k2 + 3k4 = 0.解得 k1= 1, k2 =

19、4.k + 4w0,kw4, .k=1.7,解：二.实数a是一元二次方程x22 015x+1=0的根，. a2 2 015a +1=0. a2+1=2 015a , a2 2 015a = 1. a22 014a -a1 =a2 2 014a 2 015a =a2 2 014aa = a22 20152015金戈铁制卷015a = 1.8.解：由题意可知， m2 2m1=0, n2 2n 1 =0 ,.(7m 214m + a)(3n2 6n 7) = 7(m 2-2m) +a3(n 2-2n) 7 = (7+a)(3 7) = 4(7 + a), 由一4(7+a) = 8 得 a= 9,故存

20、在满足条件的实数a,且a的值等于-9.解码专训二1 . C 2.C3.解：(1)9x2=121.(2)(x+3)2 2 = 0.3x = ± 11.1111X1 = , X2= 334 . C5 .解：x2 + 4x2 = 0.x2+ 4x = 2.(x + 2)2 = 6.x+2=±/6.x1 = -2+，6, 乂2=-2-吊6.6 .解：x2 10x + y2 16y+ 89 = 0.(x2-10x+25) + (y2- 16y+64) =0.(x 5)2+(y 8)2 = 0. x = 5 , y = 8.x 5=一.y 87 . D8 .解：(1)x22x = 0,

21、 x(x2)=0, xi = 0, X2 = 2.(2)16x2-9 = 0, (4x + 3)(4x -3) = 0, xi = -3, x2=3. 441(3)4x2 = 4x1, 4x2 4x+1 = 0, (2x 1)2 = 0, xi = x2=3.9. B10 .解：(1)x 2 6x + 5 = 0 , a=1, b= 6, c = 5, -.b2 4ac = ( - 6)2 46±Jl6X1 X5=16 , . x=.2X1x1=5, x2=1.(2)x2-4x+ 1 =0,a= 1 , b = 4, c= 1, .b2 4ac = (4)2 4X1 X1 = 12.

22、 x1=2+，3, x2 = 2-近11 . A12 .解：(x 2)2 3(x 2) + 2=0.设x2 = y,原方程化为y2 3y + 2 = 0, 解彳3 y 1 = 1 , y2 = 2.当 y=1 时，x 2 = 1 , x = 3,当 y = 2 时，x 2 = 2, x = 4.二原方程的解为xi = 3, x2 = 4.解码专训三1 .解：将原方程两边同乘以6,得(6x)2+19 (6x) +60 = 0.解彳36x = - 15或6x = - 4.2 .解：原方程即(x1)(x 4)(x 2)(x3) =48, 即(x2 5x + 4)(x2 5x + 6) = 48.设

23、y = x2 5x + 5,则原方程变为(y 1)(y +1) = 48.解彳4 y1 = 7, y2 = - 7.当 x2 5x + 5 = 7 时，金戈铁制卷当 x2 5x + 5= 7 时，b2 4ac = ( 5)2 4X1 X12 = 23<0 ,方程无实数根.原方程的根为x1=7 335333,x2 二223.解：经验证,x = 0不是方程的根，原方程两边同除以 x2,得6x2-35x+ 62"+£=0,x x2即 6 x2 + 1 -35x2x + - +62 = 0. x& y = x+-,则 x2 + = y2- 2, xx2原方程可变为6(

24、y2 2)35y+62 = 0.解彳y yi=, y2 = .23151当 x+-=一时，解得 xi=2, x2=一;x 221 101当 x+一=一时，解得 x3 = 3, x4= 一 . x 33经检验，均符合题意.1 1原方程的解为 x1 = 2, x2 = 一, x3=3, x4 = 一.2 34 .解：因为 mn = 8,所以m=n + 8.将 m = n + 8 代入 mn + p2 + 16 =0 中，得 n(n + 8) + p2 + 16 = 0,所以 n2 + 8n + 16+p2 = 0,即(n+4)2 + p2=0.又因为(n+4)2>0, p2R,n +4 =

25、0 , n = 4,所以解得p =0,p =0.所以m=n + 8 = 4,所以 m+n + p = 4 + (4) + 0 = 0.x-2 013 =2 016 ,5 .解：方程组的解一定是原方程的解，解得x = 4 029.x-2 014 =2 015x-2 013 = 2 015 ,方程组的解也一定是原方程的解，解得 x= 2.x-2 014 = 2 016V原方程最多有两个实数解，:原方程的解为x = 4 029, x2= 2.点拨：解本题也可采用换元法,设 x-2 014=t,则x 2 013=t+1,原 方程可化为t(t+1) = 2 015 X2 016 ,先求出t,进而求出x.

26、解码专训四1 . C点拨：当k = 0时，方程为一元一次方程，解为 x=1;当k刈时, 因为 b2 4ac = (1 k)2 4k (1) = k2 + 2k + 1 =(k + 1)2>0,所以当 k = 1 时, b2 4ac=4,方程有两个不相等的实数解；当k=1时，b2 4ac = 0,方程有两个相等的实数解；当k0时，b2-4ac>0,方程总有两个实数解.故选 C.2 .解：:x2 2x m=0没有实数根，.(2)2 4 (m)=4 + 4m<0 ,即 m< 1.,对于方程 x2 + 2mx +m(m +1) = 0,b2 4ac = (2m) 2 4 m(m

27、 + 1) = 4m>4 ,方程x2 + 2mx +m(m + 1) =0有两个不相等的实数根.3 .解：(1)根据题意得 b2 4ac=4 4(2k 4)=20 8k>0 ,解彳3k< 5.2(2)由k为正整数，可得k = 1或k= 2.利用求根公式可求出方程的根为 x= 145 2k ,.方程的根为整数，.5 2k为完全平方数，.*的值为2.4 .解：由题意可知，b2 4ac = n2 + 8m =0,. 8m = n2,mn2mn2mn2二一'-； " - ； ；二(m+4) 2+n2 16 m2+8m +16+n2-16m2 + 8m+n2mn 2

28、mn 2-zz z= .m2 n2 + n2m2me吗工8.m2 m5 .解：一元二次方程(b c)x2 + 2(a b)x + b a = 0有两个相等的实数根,. 2(a -b)2-4(b c) (b a) = 0 ,. 4(a b)(a c) = 0 ,a = b 或 a= c,.此三角形是等腰三角形.解码专训五1 .解：根据一元二次方程根与系数的关系，有73Xl+X2 = , X1X2= .44(1)(X1 3)(X23) = X1X23(X1 + x2) + 9= 3 3x7+9=3.44X2X1 X2(X2+1) +X1(X1 + 1)(2)；+>；-"-xi +

29、1 X2+1(X2+1) (xi + 1)X12 + X22 + Xl + X2X1X2 + X1 + X2+ 1（X1+X2）2 2X1X2+（X1 + X2）X1X2+（X1 +X2）+ 17237-2 X-+444101= 3 + 7+132.（X1 X2）2 =（X1+X2）2 4X1X2= - -4X -=4416金戈铁制卷2 .解：设方程5x2 + 2x 3 = 0的两根为X1, X2,23则 X1+X2= , X1X2= .55设所求方程为y2+py + q = 0,两根为y1，y2,则 y = 一 _, y2一 一 一.X1X2 -p = （y1 + y2）=一-= + = x

30、 = ; q=y1y2=- X1 X2 X1 X2X1X23X1115一二 =一X2 X1X232.所求的方程为y2 + 3即 3y2 + 2y 5 = 0.3.解：(1)224X1 X(a 2) = 124a>0 ,解得 a<3. a的取值范围是a<3.设方程的另一根为X1,由根与系数的关系得金戈铁制卷(2x1 x2)(x1 2x2)二2'k+94k1+xi = 2,a=1, 一解得 八1 xi=a 2,xi = - 3.4.解：不存在.理由如下：;一元二次方程4kx2 4kx +k+1 = 0有两个实数根，且 b2 4ac = ( 4k)2 4X4k(k + 1)

31、 = 16k >0,.*<0.x1, x2是方程4kx24kx +k + 1 = 0的两个实数根,k+ 1x1+x2=1, x1x2 =4k (2x 1 - x2)(x1 2x2)= 2(x 1 + x2)2 - 9x1x2 =k + 939二一一，«=一.4k253又*<0，不存在实数k,使(2x1 x2)(x12x2) = 2成立.解码专训六1 . D 2. A3 .解：(2x 1)2 = x(3x + 2) 7.4x2-4x + 1 =3x2 + 2x7.x2 6x + 8 = 0.xi = 2, X2 = 4.4 . D 5. B6 . C 点拨：设方程x2

32、 3y2x+1 = 0的两根分别为xi, X2,新方程为x2 + bx + c = 0,新方程两根分别为 xi 42,，贝收1 + x2 = 3，2 , xix2=1, b = 11xi +x2厂1 11（xi 兴2）= + = 3l2 , c = xi x2/=1.xi x2xix2xi x2 xix21 3137.解：（1）当 t = 4 时，| = 2t2 + 2t = 2X42 + 2X4=14.答：甲运动4 s后的路程是14 cm.（2）设它们运动了 m s,根据题意，得m 2 + m + 4m = 21. 22解得：mi=3, m2 = 14（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动

33、到第一次相遇时，它们运动了3 s.（3）设它们运动了 n s后第二次相遇，根据题意，得1n2 + 3n +4n=21 X3.22解彳4 ni = 7, n2 = 18（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s.8 .解：设缉私艇航行了 x小时到达B处.根据题意，得302 +（60x）2 = （75x）2,22解彳#xi = ；, x2= ；（不符合题意，舍去）. 332答：缉私艇从C处到达B处航行了 3小时.点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答.9.解：不是，理由如下：解方程 x2 + x12 = 0,得 xi = - 4, X2 = 3.|xi| + |x2| = 4 + 3=2X|3.5|.3.5不是整数，方程x2 + x12=