北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义教案

1、做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。导数的概念及其几何意义教学目标：1 . 了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2 .理解曲线的切线的概念；3 .通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一.创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数 y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数 y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数 f (xo)的几何意义是什么呢？二.新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当Pn(xn,f (xn)(n

2、1234 沿着曲线f (x)趋近于点P(xo, f(xo)时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现，当点Pn沿着曲线无pM接近点 P即Ax- 0时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?切线pt的斜率k为多少？容易知道，割线PPn的斜率是kn = f(xn)- f(x0)，当点Pn沿着曲线无PM接近点 P时，kn无xn -xo限趋近于切线pt的斜率k ,f (XoX) - f (Xo)=f (Xo)P处的切线说明：(1)设切线的倾斜角为 /那么当Ax-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点 的斜率.这个概

3、念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法切线斜率的本质 一函数在X = Xo处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0 , f (%)处的切线的斜率f(XJ 二典f (Xo：X) - f (Xo)X说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求出P点的坐标；求出函数在点x0处的变化率(%)= 鸡 f(f (Xo) = k ,

4、得到曲线在点(Xo, f (Xo)的切线的斜率;利用点斜式求切线方程(二)导函数：由函数f(x)在X=Xo处求导数的过程可以看到，当时，f(xo)是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数 记作：1(*)或丫,即:f (X)=y 飞m0f (x lx) - f (x)X注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.(三)函数f(x)在点xo处的导数f(xo)、导函数f(x)、导数 之间的区别与联系。1)函数在一点处的导数 f (Xo),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数

5、f(x)的导函数_ _ _ _ _3)函数f (x)在点Xo处的导数f (Xo)就是导函数f (x)在X = Xo处的函数值，这也是 求函 数在点xo处的导数的方法之一。.典例分析 例1： (1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：(1)y 1x3=炉乎22(1 . ：x) 1 一(1 - 1)_22 x x -二 2, .xy2 = 2(x1)即 2x y = 0= lim3( x 1) = 6X 1y3 = 6(x 1)即 6xy 3 = 0所以，所求切线的斜率为 2,因此，所求的切线方程为一 2 一 2_22因为 y

6、,=lim3x _31 .lim3(x 一1)一 x ：1x -1 x 1 x 1所以，所求切线的斜率为 6,因此，所求的切线方程为(2)求函数f(x)= -x2 +x在x = -1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：(-1 M2 (-1M -2=3_,x工xlx2_y -(-1x)(-1 . ：x) -2f ( -1) = lim =- =lim (3 lx) =3x0 xx_ x)例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x) =T.9x2 +6.5x+10 ,根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t。、G、t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在

7、t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当1=卜时，曲线h(t)在to处的切线1。平行于x轴，所以，在t =t0附近曲线比较平坦，几 乎没有升降.(2) 当1=灯时，曲线h(t)在L处的切线11的斜率 h色)0,所以，在t=tjff近曲线下降，即函数h(x) = Y.9x2+6.5x+10在t=tfff近单调递减.(3) 当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线的斜率h(t2)0,所以，在t=t2附近曲线下2降，即函数h(x) = -4.9x +6.5x+10在t=t2附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线li的倾斜程度小于直线12的倾斜程度，这说明

8、曲线在 ti附近比在t2附近下降的缓慢.例3.（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=f（t）（单位：mg/mL）随时间t （单位：min）变化的图象.根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到 0.1 ）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f（t）在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线 f（t）在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t =0.8处的切线，并在切线上去两点，如 （0.7,0.91） , （1.0,0.48）,则它的斜率为:所以。48 -。911.0 -0.7:-1.4f (0.8) ： -1.4卜表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0