最新浙江省宁波中学高二上学期期中数学试题(解析版)

1、2019-2020学年浙江省宁波中学高二上学期期中数学试题、单选题1 .下图是由哪个平面图形旋转得到的（【解析】的形状,根据圆柱、圆锥与圆台的定义,判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体进而可得结果第14页共22页B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；A中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意，故选A.【点睛】本题主要考查旋转体的基本定义，考查了空间想象能力，属于基础题2 .设 p ： 0 X 1, q： 2x 1,则 p是 4的（）D.既不充分也不A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

2、要条件必要条件【答案】A【解析】 根据充分必要条件及由 x范围的大小即可判断。【详解】由题设知，2X 1 x 0, 010,，满足p q ,但q ? p ,根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知P是q的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，注意方向性，属于基础题。3 .如图，Rt OAB是一平面图形的直观图，直角边 OB 1 , 则这个平面图形的面积是(A) 2帆(B) 1 (Q 42(D) 4四【答案】C【解析】略4 .已知直线 m, l ,平面 ，且m , l ,给出下列命题，其中正确的是()A.若 / ,则 m lB.若，则 m/lC.若 m l ,则 /D

3、.若 m/l ,则 /【答案】A【解析】 利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系进行判断【详解】已知直线m , l ,平面， ，且m , l ,若/ ,则m ，所以m l , A正确；若 ，则m与l平行、相交或异面，B不正确；若m l ,则 或 与 相交，C不正确；若m/l ,则 ，D不正确.故选：A【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，属于基础题5 .下列命题中为真命题的是 （）A.命题“若则小3的否命题B.命题“若x>y,则x>|y| "的逆命题C.命题“若x=1,则小45丁 口"的否命题D.命题“已知h

4、b#ER|，若;则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真 命题【答案】B【解析】 根据否命题的定义写出 A, C的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；根据逆命题的定义写出 B中命题的逆命题，判断真假 ；根据D命题是假命题可知 D的逆否命题为假命题.【详解】A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若 x<1,则一"假命题；B.命题“若x>y,则x>|y| "的逆命题为“若 x>|y| ,则x>y”真命题.C.命题“若x=1,则1 + x 7二d”的否命题为“若 xwl,则仙"假命题.D.假命题.因为逆命题与否命题

5、都是假命题.【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用.6 .方程（x y 3）J2r6y21 0表示的图形是（）A. 一条直线与一个圆B.两条射线与一个椭圆C.两个点D. 一条直线与一个椭圆【答案】D【解析】由题意知x y 3 0 （2x2 6y2 1 0）或2x2 6y2 1 0,表示一条直线与一个椭圆.【详解】因为（x y 3M2x2 6y2 10,所以 x y 3 0 （2x2 6y2 1 0）或22x y 1 2x2 6y2 1 0, 2x2 6y2 1 0即了彳 1 表示椭圆,26所以方程(x y 3)/2x2 6y2 1 0表示的图形是一条直线与

6、一个椭圆故选：D【点睛】本题考查曲线方程与图象的判断问题，属于基础题7 .矩形ABCD中，AB 4 , BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D ,则四面体 ABCD的外接球的体积是()A 125125125125. 129, 6,3【答案】CAC【解析】 由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线 AC上，且球的半径为 AC长度的一半，3即 r 1AC1VAB"BC2夕，所以 V 9r3 451

7、25-.2223326故选：C本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题 y2298 .过双曲线x2 匚 1的右支上一点P,分别向圆C1: x 4y2 4和圆15222C2： x 4y2 1作切线，切点分别为 M,N,则|PM PN的最小值为()A. 10B. 13C. 16D. 19【答案】B【解析】试题分析：由题可知，PM|2|PN |2( PC1|24) (|PC2|21),因此 PM |2 PN|2PC1|2|PC2 |23 (PC11PC2|)(PC111PC2)32( PCj |PC2 ) 3 2 C1C2I 3 13,故选 B.【考点】圆锥曲线综合题.9.正三棱柱A

8、BC AB1C1 (底面是正三角形，侧棱垂直底面)的各条棱长均相等，D为AA1的中点，M、N分别是BB1、CG上的动点(含端点)，且满足BM CN .当M、N运动时，下列结论中正确的个数是()平面DMN 平面BCC1B1；三棱锥 A DMN的体积为定值； DMN可能为直角三角形；平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为 (0,. 4A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由BM CiN得线段MN5过正方形BCCiBi的中心O,则DO 平面BCGBi,推出面面垂直；由VAiDM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变得到三棱锥A1 DMN的体积为定值；利用反证法说明DMN不可能为直角

9、三角形；设三棱柱棱长为 a, MB t(t 0,1),建立空间直角坐标系，利用向量法表示出平面DMN与平面ABC所成二面角的余弦值，根据 t的范围求出cos的范围即可求得两平面所成锐二面角的范围 【详解】,则线段MN5过正方平面BCCiBi ,正如图当 M N分别在BB1、CCi上运动时，若满足 BM C1N形BCCiBi的中心Q而DO 平面BCCiBi ,所以平面DMN确;当M N分别在BBi、CCi上运动时，VAiDM的面积不变，点N到平面A DM的距离不变，所以棱锥N AiDM的体积不变，即三棱锥 A DMN的体积为定值，正确;设三棱柱棱长为a,MB t(t 0, a)，由 BMCiN

10、易知 DM DN 且DM DN fa2 (2-a x)2 , MN J(a 2x)2 a2 ,若 DMN为直角三角形则o222MDN 90O, DM 2 DN2 MN、所以2 2a2 (-a x)2 2_，(a 2x)2 a2 ,化简得 J2a(2x a)2,解得x©a a 或 x 2i 2一一32 a 0 ,均不符合题意，所以2DMN不可能为直角三角形,错误;建立如图所示空间直角坐标系:设三棱柱棱长为a, MB t(t3iii0,i)iM(a,0,t), N(0, a,a t),D(0, -a-a), 2222uuuu . 3 i i uuirDM ( a,-a,t a),DN22

11、2(0，a，2at)，r设n （x, y, z）为平面DMN勺法向量，则uuuir Duur DNrrnn1, 1 、ax ay (t a)z221ay (-a t)z 0r1可得平面DMN勺一个法向量为n(3,1,- ta-)2uuur易知CC1 （0,0, a）为平面ABC勺一个法向量,设平面DMN与平面ABC所成二面角为 ，则cosr uuuun CC1uuuua1122，4(t a) a2因为 t 0,1,所以 4(t la)2 a2 a2,2a22cosa4(t 2a)2日1所以平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为 （0,正确.4故选：C本题考查面面垂直的判定，椎体的体积，二面

12、角的相关问题，属于中档题10.已知x,y R,则 x2的最小值为（）“ 1A.一4B.C.-2D.21问题转化为点（x,x 1）到点(y,1一）的距离的平方，等价于在直线上找一点,y使得它到图象1 _、一的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解x2 1、_ 可看成点（x,x 1）到点（y, 一）的距离的平方, y点（x,x 1）在直线,，1、，一一一，x 1的图象上，点（y,）在反比仞函数y y1一的图象上,x1,问题转化为在图象 y一上找一点，使得它到直线 y x 1的距离的平方最小.x1注意到反比例函数 y 的图象关于直线 y x对称，直线y x 1也关于y x对称，1,y观察图象知

13、点 p到直线y x 1的距离最短，' x P(1, 1),y x21 1最短距离为d 一,所以11x - 1的最小值为.y2故选：C本题考查两点之间的距离,利用化归与转化思想,将问题转化为在直线上找一点使得它1到图象y一的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题，属于中档题x二、填空题11 .下列语句是命题的有 ，其中是假命题的有 .(只填序号)等边三角形是等腰三角形吗？作三角形的一个内角平分线若x y为有理数，则x, y也都是有理数.x 8.【答案】【解析】根据命题定义可判断出为命题；通过反例可知为假命题，由此得到结果【详解】不是陈述句，不能判断真假，均不符合命题定义，不是命题是

14、可以判断真假的陈述句，是命题；J2, y 展时，x y为有理数，但x,y不是有理数是假命题本题正确结果：；【点睛】本题考查命题的定义和真假命题的判断，属于基础题12 .如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为 ,表面积为62【解析】根据三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱锥，棱锥的图为 1,底面直角二角形的直角边为 1积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体是一个底面为等腰直角三角形，的图为1,底面直角二角形的直角边为 1, 111所以该几何体的体积为V1(-1 1) 1

15、1,326取BC的中点为 D,连接AD因为AB AC BC而 一 _ 1AD AC cos,表面积为 S 3 (- 1622故答案为：1; 3-3621,由棱锥的体积公式及三角形的面侧棱垂苴于底囿的二棱锥，棱锥J2 ,所以VABC为等边三角形且1五痣1.222【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积、面积，属于基础题213.若方程m1表示的曲线是椭圆，则 m的取值范围为【答案】（1,）【解析】由椭圆的性质得m 1 0 ,即可求得m的范围.22若方程 二1表示的曲线是椭圆，则m m 1所以m的取值范围为（1,）.故答案为：（1,）【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题14 .在四棱锥的4个侧

16、面中，直角三角形最多可有个；在四面体的 4个面中,直角三角形最多可有 个.【解析】 在正方体中，选取四棱锥、四面体，判断直角三角形的个数，由此得出结论画出正方体 ABCD EFGH如下图所示，根据正方体的几何性质可知，在四棱锥H ABCD中，HAD, HAB, HBC , HCD都是直角三角形，共4个.在四面体H ABD中，HAD, HAB, HBD, ABD都是直角三角形，共4个.故填：（1） 4; （2） 4.【点睛】本小题主要考查四棱锥、四面体的概念和几何性质，考查空间想象能力，属于基础题2215.点F为椭圆人+匕=1的右焦点，m在椭圆上运动，点 P 1, 2 ,则 MPF周98长的最大

17、值为.【答案】8 2 2【解析】 取椭圆左焦点为左焦点为 Fi( 1,0),连接MFi,则Cmpf FP |MP MF I，因为FP为定值故只需求出|MP| |MF |的最大值即可求得 MPF周长的最大值.【详解】22_由椭圆 +匕=1的焦点在x轴上知a 3,b 2J2, c 1,右焦点F(1,0),左焦点为98F1( 1,0),连接 MF，CMPF FP MP MF 2 MP MF由椭圆定义可知：MFi |MF| 2a,|MP| |MF|MP 12a MFi 6 | MP | MFi ,即 | MP | MFi 最大时,|MP| |MF| 最大，在VPMFi中，两边之差总小于第三边，|MP|

18、 MFJ |PFi| J(1 1)2 (2 0)2 272 ,当且仅当P、M、Fi共线时，|MP| MFi取最大值2J2，此时|MP| |MF |取最大值6+2拒，则周长Cmpf 2 MP| |MF|的最大值为8 272.故答案为：8 2.2【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质，椭圆中三角形周长问题，属于中档题16 .如图，在四面体 ABCD 中，AB CD 2, AC BD J3 , AD BC J5,E,F分别是AD,BC的中点若用一个与直线 EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为【解析】本题首先可以将四面体补成长宽高分别

19、为J3、J2、1的长方体，然后根据EF 平面得出截面为平行四边形，再然后根据三角形相似的相关性质得出两相邻边 的和为J5,再然后求出异面直线 BC与AD所成角的正弦值，最后通过解三角形面积 公式以及基本不等式即可得出结果。【详解】第23页共22页如图所示，将四面体补成长宽高分别为B 叵、1的长方体,由于EF 平面 ，故截面为平行四边形 MNKL ,由平面几何的平行线段成比例可得KL +NK =45 ,设异面直线BC与AD所成角为则 sin。= sin?HFB sin?LKN ,解得 sin5所以平行四边形MNKL的面积S = NK既L sin如KL 2n龈K + KL当且仅当KL = NK时取

20、"”号，故答案为 叵2能否本题考查四面体截面面积的求法，考查解三角形面积公式以及基本不等式的使用,根据四面体构建出长方体以及确定四面体截面的位置是解决本题的关键，考查推理能力，是难题。 2217 .若圆x 4 2 y2 4与椭圆工 y- 1有且只有三个交点 A,B,C,且 ABC是 m n等边三角形，则该椭圆的离心率的值为 .【解析】根据题意作出图象，根据圆心与半径求出点 A即可求得m再利用圆D为 ABC的外接圆由正弦定理求出ABC的边长，然后求出点B的坐标代入椭圆方程即可求得 n,相应值代入离心率公式即可得解【详解】根据题意作出图象如图所示:一2圆X 4y2 4的圆心为D(4,0)

21、,半径为r = 2,取BC与x轴的交点为E,易知E为BC的中点，A(6,0)为椭圆的右顶点，则 后 6, m 36,因为圆D为ABC的外接圆，所以2r -BC- BC 4 2/3, sin A2又ABC是等边三角形，所以 AB BC AC 2 J3 , BE J3，OE AO AE 6ABcos622因为B点在椭圆-y- 36 n931上，所以一 一136 n22所以椭圆方程为L3646,b2,c4 2,椭圆的离心率为故答案为：2_23【点睛】本题考查椭圆与圆的综合问题，椭圆的几何性质及离心率的求解，属于中档题 三、解答题1x2218 .已知a 0 ,命题P ： | a m | ,命题q ：椭

22、圆，y 1的离心率e满足2a2、3 22e ,.23(1)若q是真命题，求实数 a的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数 m的值.5【答案】a32(2,3) ; (2) m 2【解析】（1）根据椭圆的标准方程及其性质，需要分类讨论，利用离心率列出不等式即 可求得a的范围；（2）根据P是q的充分不必要条件推出集合的包含关系列出不等式求解即可.(1)当a 1时，椭圆焦点在x轴上，Qe21 一八解得2 a43;当01时,椭圆焦点在y轴上,Qe2(2,3)2 2) Q|am|根据题意可得13 -或15 -满足题2所以m本题考查根据命题的真假求参数,根据两个命题之间的关系求参数，涉及椭圆的离

23、心率,绝对值不等式，属于基础题19.在三棱锥P ABC中,PAC和 PBC是边长为 应 的等边三角形,AB 2,O,D分别是AB , PB的中点.1.解得4综上所述,（1）求证：OD平面PAC；（2）求二面角P AC B的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析；（2） 叵3【解析】（1）由OMBPA的中位线即可推出 ODPA,从而证明线面平行；（2）首先证明OE AC、PO AB ,推出PEO为二面角P ACB的平面角，求出VPEO的三边长，利用余弦定理即可求得cos PEO.(1) QO,D分别是AB, PB的中点,OM bpa的中位线,则 ODPA,由PA平面PAC OD平面PAC(2)AC

24、中点为E,连接 PE EO PO因为AB2 AC2BC2,所以 BC AC,因为OE为 VABC的中位线，所以 OEBC且OEBC 22又因为 PAC是等边三角形，所以 PE AC ,且PE因为PA PB ,所以 PBC为等腰三角形,又O为AB的中点，所以PO AB,且PO 1,所以PEO为二面角P AC B的平面角,因为cosPEO PE2 OE2 0P22 PE OEAPO 1, PE , OE 2本题考查线面平行的证明，二面角的概念及求解，属于基础题 20.已知三点 A 7,0 , B 7,0 , C 2, 12 .(1)若椭圆过 A,B两点，且C为其一焦点，求另一焦点 P的轨迹方程；(

25、2)直线AM，BM相交于点M ,且它们的斜率之和是 2,求点M的轨迹方程2【答案】(1) x2 -y- 1(x 0) ; (2) xy x2 49(x7)48【解析】(1)设出椭圆的另一个焦点的坐标，利用椭圆的定义，列出方程即可求解轨迹方程；(2)设出点M的坐标，由直线AM，BM的斜率之和是2列出方程化简即可【详解】(1)设另一个焦点P(x,y),则由椭圆定义知：|AC| |AP|BC| | BP | ,Q|AC| & 7 2)2 (0 12)2 15，|BC| J(7 2)2 (0 12)2 13，|BP | |AP| |AC| |BC | 2,说明P是以A、B为焦点的双曲线的左支，

26、其中2a 1,c 7,b2 48,所以焦点P的轨迹方程为x2上1(x 0);48(2)设 M(x,y),则 kAM 一水BM 一, x 7 x 7kAM kBM 工工 2，化简得 xy x2 49(x7),x 7 x 7所以点M的轨迹方程为xy x2 49(x7).【点睛】本题考查轨迹方程的求法，涉及椭圆、双曲线的定义，属于基础题21.如图，直三棱柱 ABC AB1C1中，AC BC, AA1 AB, D为BB1的中点.EB1(I)右E为AB上的一点，且 DE与直线CD垂直，求 Z的值;AB1(n)在(I )的条件下，设异面直线 AB与CD所成的角为45° ,求直线DE与平面AB1C

27、1成角的正弦值【答案】（I）见证明；（n）晅5【解析】（I）取AB中点M ,连接CM , MD ,证明DE CMD ,即可说明DE ABi ,由底面为正方形，可求得果1;AB14（n）以M为坐标原点，分别以 MA,MO,MC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐r标系，求得各点的坐标，以及平面 AB1c1的法向量为n ,根据线面所成角的正弦值的公式即可求解.【详解】（I）证明：取 AB中点M ,连接CM , MD ,有MD / AB1,因为AC BC ,所以CM AB ,又因为三棱柱 ABC ABC1为直三棱柱，所以平面ABC 平面ABB1A,又因为 平面ABC I平面ABB1A=AB,所以CM

28、平面ABB 1A1,又因为DE 平面ABB1A所以CM DE又因为 DE CD,CD I MD D , CD 平面 CMD , CM 平面 CMD ,所以DE 平面CMD ,又因为MD 平面CMD,所以DE MD,因为 MD /AB1,所以DE AB1,连接AiB,设A1B AB1 O ,因为ABB1Al为正方形,所以AiB ABi,又因为DE 平面AAiBiB,AB 平面AA1B1B,所以 DE /A1B,又因为D为BB1的中点,EB1AB1所以E为OB1的中点， 所以如图以M为坐标原点，分别以 MA,MO,MC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标设 AB 2a,由(I)可知 CDM 450

29、,所以 DM CM . 2a ,所以 A(a, 0,0), B1( a,2a, 0), C1(0,2a,、J2a), D( a, a, 0), E( a, a, 0),2 2,11 -(a,a, o),2 2uuiruur uur所以 AB1 ( 2a,2a,0), B1cl (a, Q、2a), DEr设平面ABiCi的法向量为n x, y,z ,uuuv rAB1n 0 2x 2y 0则 uuuiv r ,即 广 ,BiCi n 0 x 、.2z 0则n的一组解为n (V2,&, i).所以r cos. DE,nuur rDE n uur r DE n2.55所以直线DE与平面AB

30、iCi成角的正弦值为2-5【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题.1（a b 0）的左、右焦点,22 .如图，Fi, F2是离心率为 正 的椭圆C：-x2 匕2a2 b2直线l : x J2，将线段Fi , F2分成两段，其长度之比为1:3,设A,B是C上的两个动点，线段 AB的中垂线与椭圆 C交于P,Q两点，线段 AB的中点M在直线l上.（1）求椭圆C的方程；uuur uuun（2）求F2 P F2Q的取值范围【答案】C工1 （2） 8,125） 16829【解析】（1）设F2（c,0）,由线段长度之比可列出等式求出c,代入离心率公式求得 a,再求出b,即可求得椭圆的标准方程；（2）当直线AB斜率不存在时，直线 AB的方程为uuuuu uuuux 衣，求出P、Q坐标直接求F2P F2Q;当直线AB斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立可得关于 x的一元二次方程，利用韦达定理求出x3X4、x3 x4,可求得uuuu uuuuuuur uuuuF2P F2Q的关于m的表达式，根据题意求出m的范围即可求得